数学模型2012-2013B试卷及答案

课程 数学模型 考试B卷答案

一、 填空题(每小题4分，共计20分）

1．“光盘的数据容量\" 模型中，光盘环形区域内圆半径为R1, 外圆半径为R2，信道间距为d，则恒定角速度(CAV） 光盘的信道总长度为： L2R1R2R1 。 d2。“商人怎样安全过河”模型中，允许状态集合 S = {（x , y)｜ x=0, y=0,1,2,3; x=3，

y=0,1,2,3； x=y=1,2}，状态转移律的公式是 ： sk1sk(1)kdk 。

3．“人口指数增长模型”的人口数为x（t），其微分方程为

dxrx 。 dt“人口阻滞增长\"模型是在假设 人口增长率是人口数量的减函数 得到的。

4．“经济增长模型\"中，衡量经济增长的指标有 总产值的增长 、 单位劳动力产值的增长 . 5．“传染病模型\"中SIS模型把人群分为 二 类,分别是 已感染者（病人）和未感染者（健康人） 。接触数= / 。

二、（12分)某企业每年需要某零部件48000件，不能停工待料。现知每批定货费1500元，存储费每月每件3元。求最佳订货周期和定货量。并计算每月的平均费用。 解:因为r48000124000，c11500,c23 (2分) 故订货周期为T2c1215000.5（月）约15天 (6分） c2r34000订货量为Q=rT=0.5＊4000=2000(件）. （8分） 每月的平均费用 C2c1c2r2*1500*3*40006000（元） （12分）

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三、（12分)学校共有1000名学生，235人住在A宿舍，133人住在B宿舍，632人住在C宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，试用惯例的方法和Q值方法分配各宿舍的委员数。

235102.351000133解:按惯例法：因为 101.33

1000632106.321000A宿舍得2个委员，B宿舍得1个委员,C宿舍得6个委员，由于小数点后最大是0。34，故剩下的一个委员给A宿舍，即分配名额为3、1、6。 （6分）

2352QA92042(21)13328844.5 按Q值方法：因为 QB1(11)6322QC95106(61)由于QC最大，故剩下的一个委员给C宿舍，即分配名额为2、1、7. （12分）

四、(12分)细菌的增长率与总数的成正比。如果培养的细菌总数在于24小时内由100增长到400，那么，第16小时后细菌总数是多少？

解:设t时刻的细菌数为x(t)，依题意得：

dxkx,x(0)100,x(24)400， 其中k为比例常数, （5分） dt解此微分方程得：xce, （8分）

ktln4,x(t)100424 （10分） 把初值代入可得：c=100， k24tx(16)1004252。 （12分）

五、（12分）某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表:

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23货物 甲 乙 体积 （立方米/箱） 5 4 重量 （百斤/箱) 2 5 利润 (百元/箱） 20 10 已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24立方米，重量不超过13百斤.试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润。 （用图解法求解） 解：设甲货物、乙货物的托运箱数分别为x1，x2,所获利润为z.则问题的数学模型可表示为: max z20x110x2

5x14x224 st2x15x213 （8分)

x,x012

用图解法求解。 可行域为：由直线

l1:5x14x224，l2:2x15x213 及x10,x20组成.

直线 l:20x110x2c在此凸四边形区域内平行移动. 易知：当l过l1与l2的交点时,z取最大值

由5x12x14x2245x213 解得 x1x241

zmax20410190. （12分）

六、（10分）已知本厂牙膏销售价格与其它厂家平均销售价格如下表： 销售周期 1 2 3 4 3.70 5 6 7 3.80 本厂价格 3。85 3.75 3。70 3。70 3。60 3.60 其它厂价 4。30 3。80 3.80 3。85 3。85 4。00 试建立本厂销售价格与其它厂家平均销售价格的线性回归模型。

解：线性回归模型y=a+bx关于数据点对(yi,xi)的参数计算公式为：

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bl^lxyxx(yy)(xii1nix),aybx （4分)

^^(xi1ni^x)2,a2.4696. 经计算得：b0.31915^即所求的回归方程为y2.46960.31915x （10分）

七、（10分）报童以每份报纸的购进价为0。8元，售出价为1元，退回价为0。7元，报

1纸需求量服从均匀分布，其密度函数 p(r)9000少份报纸才能使平均收入最高？

900r0，报童每天应购进多

其它　　　

解:设售价为a=1，购进价为b=0.8,退回价为c=0.7,购入n份报纸,需求量为r，需求量

1的分布密度p(r)9000n900r0,则有 （2分)

其它　　　收入G(n)[(ab)r(bc)(nr)]p(r)dr(ab)np(r)dr

0ndG(bc)p(r)dr(ab)p(r)dr0，可得 dn0nnnp(r)dr0ab, （6分） ac把具体数值代入可算得：n=600份报纸 （10分）

八、(12分）雨滴的速度v与空气密度、粘滞系数和重力加速度g有关，其中粘滞系

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数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v的表达式。

解：设v，，,g 的关系为f(v，，，g)=0。其量纲表达式为［v］=LMT,[］

0—1

=LMT,[］=MLT（LTL)L=MLLTT=LMT，[g]=LMT,其中L，M，T是基本量

—3

0

-2

—1—1—1—2

-2-2

—1

-1

0-2

纲。 （4分）

量纲矩阵为

1311(L)A=0110(M)1012(T) (v)()()(g)齐次线性方程组Ay=0 ，即  y1-3y2-y3y40y2y3 0 -y1 -y3-2y40的基本解为y=（—3 ,—1 ，1 ,1） 分）

由量纲Pi定理 得 v31g.

v3g,其中是无量纲常数.

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8分)

（10

12分）

（ （