求解双曲线离心率问题的常见策略

．：　答　默勰　．　苣６　豫　衄　∞　醇　一　＝　　～求解双曲线离心率问题的常见策略　ｌ　Ｊ６　即　河北省邯郸市第一中学赵静　双曲线中离心率是重要的几何性质，决定双曲线的形状是较开阔还是较狭窄，因而高考中常考查离心率问题．Ｐ＝三且口　＋６　＝ｆ　ｄ　，　只要找到口，６，ｃ中任两个量闻的倍数关系即可求出离心率的值：求离心率的范围．在于建立关于　，ｂ，ｃ的不等式．进而转化为Ｐ＝三的　口　不等式求解　一、通过坐标与几何关系确定ａ，ｂ，Ｃ关系求ｅ　例１．设双曲线　一　：ｌ（日＞０，６＞ｏ）的右焦点为Ｆ，右准线，与两条渐近线交于尸，Ｑ两点，￣ＡＰＱＦ是直角三角形，求双　口　Ｄ　曲线的离心率．　解　Ｉ　由　由　～　Ｃ　ｅ＝——：　口　：　‘Ｉ　Ｑ　二、由双曲线的定义与几何关系确定ａ，ｂ，Ｃ关系求ｅ　例２．过双曲线　Ｘ－ａ‘　一　：１的右焦点　作垂直于实轴的弦尸Ｑ，　是　一　／Ｄ　厂　ｌ—ｎｎａ　一…　的离心率　ｂ‘　解：由双曲线的对称性知，△尸　Ｑ为等腰直角三角形，△Ｊｐ　・．．也为等腰直角三角形　　１　‘ｌ＝２ｃ，Ｉ尸　｛＝２ｃ，Ｉ　ｆ＝２√　Ｈ　。　又ｌ　：２口，．．．２　一２ｃ：２　．．三：　：　＋ｌ　ａ　√２一ｌ　三、利用双曲线上点横纵坐标范围建立不等式　例３双曲线　一　Ｖ－：ｌ（　＞０，６＞０）右支上存在与右焦点和左准线等距离的点，求离心率的范围　又　＝鞘　网…．［ＰＦ￣Ｉ　。　Ｉ＝　，　［ＰＮＩ］　＋　ａ十ａｅ　—　ａ＋ａｅ　｜　ｌ　＼．　／　ｏ／。　＼　／／　ｑ／１ｆ＼　ｘ＝—：　～，注意到／２在右支上，．’．　≥ａ从而—＿一又ｅ＞Ｉ，．・．１＋　≥　２一　，≥ａ　为所求　三≥１，ｌ＜∈，≤１＋　又Ｉ　Ｉ．Ｉ　ｌ＝２“，得ｌ　｛＝　２ａ＿　ｌＩ＝　２ａｅ　得　＋　五、　２ｃ，￣ｅ２－－２　又　不等式　＋　例　双曲线事一吾＝－ｃａ＞Ｏ，ｂ＞Ｏ　的右焦点为Ｆ，若过点Ｆ且倾黼为６。。的直线与双曲线的右支有且只有一个交点　Ｂ．（１，２）　Ｃ．【２，＋一）　Ｄ．（２，斗一）　此双曲线离心率的取值范围是（　）　解：直线与双曲线右支只有一个交点　知其斜率小于等于渐近线的斜率，即　ｔａｎ６０。≤鱼即６　√　，得　，ｄ　／ｆ　０Ｄ。～　ｂ　≥３ａ２　ｃ　一口　≥３ａ　．　得ｃ≥２ａ，即ｅ　２．故选Ｃ　．　六、建立函敦关系式求膏心率范圈　例５．已知梯形ＡＢＣＤ中，ＩＡＢ【＝２ｌＣＤＩ，点Ｅ分有向线段ＡＣ所成的比为　．双曲线过Ｃ，Ｄ，Ｅ三点，且以Ａ，Ｂ为焦点，当　，求双曲线离心率的取值范围．　解：如图，以线段ＡＢ的垂直平分线为Ｙ轴，直线ＡＢ为　轴．建立直角坐标系，　则ＣＤ上Ｙ轴．　因为双曲线经过Ｃ，Ｄ，且以Ａ，Ｂ为焦点，有双曲线的对称性知Ｃ，Ｄ关于Ｙ轴对称．　由题意，设　（一ｃ，０），ｃ（三，　），Ｅ（ｘｏ，　），其中ｃ　１　Ｉ　１为双曲线的半焦距，厅是梯形的高・　等：　。：　设双曲线方程为　一　脯心率ｅ：　Ｄ　～　＼ｌ　‘Ｂ　由点Ｃ，！在双曲线上，将点Ｃ，Ｅ坐标和Ｐ＝！代入双曲线方程得　一　：４　ｂ　ｌ，①　簿　一　≤　，得　一＼（　Ｉ　一焘　１　４７创新教育　焘　一一　解得　ｅ＜＿７Ｆ６．　所以双曲线离心率的取值范围为［√７，√１０】．　小结：本题找到　与　的关系式是难点，把　表示为　的关系式后解不等式即可；若把Ｐ表示为　的关系式，则求关于　的函数的值