第一章 复数与复变函数
一、 选择题 1．当
z
1 i 时， z100 1 i
z75
z50 的值等于（
）
（ A） i ．设复数 z 知足 2
（B）
i ，（C） 1 （D） 1
arc( z
2)
arc (z
2)
5 6
，那么 z
（
3
（ B）
）
（ A）
1
3i
3 i
（ C）
1 2
3 i 2
）
（ D）
3
1 i
2 2
．复数 3
z
tan
i (
2
) 的三角表示式是（
（
A） sec [cos(
) i sin(
2 3
)] 2
3 2
（ B） sec [cos(
3 2
)
i sin(
3 2
)]
（ C）
sec [cos(
) i sin(
)]（）
D
2
sec [cos(
2
）
) i sin(
2
)]
4．若 z 为非零复数，则 （ A） z
2
z2 z 2
与 2zz 的关系是（
2
（B） z
z 2 z 2 2zz 2zz
z 2
2zz
（ C） z
2
（D）不可以比较大小
５．设 x, y 为实数， z1 轨迹是（
）
x
11 yi , z2
x 11
yi 且有 z1
z2
12 ，则动点 ( x, y) 的
（ A）圆 （B）椭圆 （ C）双曲线 （ D）抛物线
６．一个向量顺时针旋转
，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 1
3i ，则原向
3
）
量对应的复数是（
（A）
2 z
2
（B） 1
2
3i
（ C）
3 i
（ D） 3 i
（ D）实数
７．使得
z
建立的复数 z 是（
（ B）独一的
）
（ A）不存在的 （C）纯虚数
1 / 25
复数与复变函数
８．设 z 为复数，则方程
z z 2 i 的解是（ 3 4
） （ A）
3 4
i
（B）
i （C）
3
i
（ D）
3 4
i
4
９．知足不等式 z i z i
2 的所有点 z组成的会合是（
）
（ A）有界地区（ B）无界地区（ C）有界闭地区（ D）无界闭地区 10．方程 z
2 3i 2 所代表的曲线是（ 2 的圆周
）
（ A）中心为
2 3i ，半径为
（ B）中心为 （D）中心为 2
） 2 3i ，半径为２的圆周 3i ，半径为２的圆周
（ C）中心为
2 3i ，半径为 2 的圆周
11．以下方程所表示的曲线中，不是圆周的为（
（ A）
z 1 z
2
2
（B） z
3 z 3
4
（ C）
z a 1 az
1 ( a
1)
（ D） zz
az a z aa
c 0 (c 0)
（
f z1 ( ) 1 ,
z2 2 3 ,
5 i , ，则 f ( z1 z2 )
） 12．设 （ A）
4 4i （B） 4 4i （ C） 4 4i ）
（ D） 4 4i
13． lim
x
Im( z) Im( z0 ) （
x0
z z0
（ A）等于 i
（ B）等于
i （ C）等于 0 在点
（D）不存在
14．函数
f ( z) u( x, y) iv ( x , y) z0 x 0 iy 0 处连续的充要条件是（
（B）） （
在A）
u( x , y) ( x 0 , y0 ) 处连续
v( x, y) ( x 0 , y0 ) 在处连续 （和在C） u( x , y) v( x , y) ( x 0 , y0 ) 处连续（ D） u( x , y) v( x , y) ( x0 , y0 )
在处连续 15．设
z C
3
且 z
1 ，则函数 f (z) z2
z 1 z
的最小值为（ ）
（A） （B）
2
（C）
1
（D） 1
2 / 25
复数与复变函数
二、填空题
(1 i )(2
1．设 z
i )( 3 i )
( 3 i )( 2 i )
，则 z
2．设 z (2 3i )( 2 i ) ，则 arg z
3．设
z
5 ,arg( z i )
3
，则 z
4
4．复数
(cos5 (cos3 6
i sin 5 )2 i sin 3 )2 的指数表示式为
5．以方程 z7 2
15i 的根的对应点为极点的多边形的面积为 z
６．不等式 z 2 5 所表示的地区是曲线
的内部
７．方程
2z 1 i
2 (1 i ) z
1 2i
1 所表示曲线的直角坐标方程为
８．方程 z z
2 i 所表示的曲线是连续点
和
的线段的垂直均分
线
９．关于映照
i ，圆周 x 2 ( y 1)2 1 的像曲线为 z
10．
lim (1 z2 2z4 )
z 1 i
三、若复数
z 知足 zz (1 2i ) z (1 2i )z 3 0 ，试求 z 2 的取值范围．
四、设 a
0 ，在复数集 C 中解方程 z2 2 z a .
z i ，试证
五、设复数 z
是实数的充要条件为
z 1 或 IM ( z) 0
.
1 z2
1六、关于映照
(z
1
2 z1 ) ，求出圆周 z 4的像. z z1 z2 0) 的充要条件为
七、试证１ .
z2 0 ( z2
z1
z2 ；
3 / 25
复数与复变函数
２.
z1 z2
0 ( zj
0, k
j , k , j
1,2, , n )) 的充要条件为
z1 f ( z)
z2 zn z1 z2
zn
.
八、若 lim
x x0
A 0 ，则存在
0 ，使适当 0 z z0
时有 f ( z)
1
A .
2
九、设 z
x
iy ，试证
x y
z
x y .
2
十、设 z x
iy ，试议论以下函数的连续性：
2xy
x 3 y
1.
f ( z)
x 2 y 2 ,z 0
2.
f ( z)
x 2
y2
, z 0
0,
z 0
0,
z
第二章
分析函数
一、选择题：
2
．函数
1
f (z) 3 z 在点 z 0处是 (
)
（ A）分析的 （B）可导的
（ C）不行导的
（D）既不分析也不行导
2
．函数 f (z) 在点 z可导是 f (z) 在点 z分析的 (
)
（ A）充足不用要条件
（B）必需不充足条件
（ C）充足必需条件
（D）既非充足条件也非必需条件
．以下命题中，正确的选项是 3 ( )
（ A）设 x, y 为实数，则 cos( x iy ) 1
（B）若不行导 z0 是函数 f ( z) f ( z) 在点的奇点，则 z0
（C）若 u, v 在地区 D 内知足柯西 - 黎曼方程，则 f ( z) u iv 在 D 内分析
（D）若 f ( z) 在地区 D 内分析，则 if ( z) 在 D 内也分析
4．以下函数中，为分析函数的是
( )
4 / 25
. 0
复数与复变函数
（ A） x 2
y2 2 xyi
（ ）
B x 2
xyi
（ C） 2( x
1) y i ( y 2 x 2 2x )
（ D） x
3
iy 3
z 0
5．函数 f (z)
z2 Im( z)在
处的导数 ( )
（ A）等于 0
（ B）等于 1
（ C）等于 1
（ D）不存在
6．若函数 f ( z) x 2 2 xy y 2 i ( y2
axy x 2 ) 在复平面内到处分析，那么实常
数 a (
)
（A） 0
（B） 1 （C） 2
（ D）
2
7．假如 f ( z) 在单位圆 z 1
内到处为零，且
f ( 0)
1 ，那么在 z 1
内 f ( z) ( )
（A）
0
（B） 1
（ C）
1
（ D）随意常数
8．设函数 f (z) 在地区 D 内有定义，则以下命题中，正确的选项是
（ A）若 f (z) 在 D 内是一常数，则 f (z) 在 D 内是一常数
（ B）若 Re( f ( z)) 在 D 内是一常数，则 f (z) 在
D
内是一常数
（ C）若 f ( z) 与 f ( z) 在 D 内分析，则 f ( z) 在 D 内是一常数
（D）若 arg
f (z) 在 D 内是一常数，则
f ( z) 在 D 内是一常数
9．设
f (z)
x 2 iy 2 ，则 f (1 i ) ( )
（A） 2
（ B） 2i （C） 1 i
（ D） 2 2i
10． i i 的主值为 (
)
（A） 0
（B） 1 （ C） e
2
（ D） e
2
11． ez 在复平面上 ( )
（ A）无可导点
（ B）有可导点，但不分析
（ C）有可导点，且在可导点集上分析 （ D）到处分析
sin z ，则以下命题中，不正确的选项是
12．设 f ( z)
( )
（ A） f ( z) 在复平面上到处分析
（ B） f ( z) 以 2 为周期
5 / 25
复数与复变函数
（ C）eiz e iz
f (z)
2
（ D） f (z) 是无界的
13．设
为随意实数，则
1 ( )
（ A）无定义
（B）等于 1
（ C）是复数，其实部等于 1 14．以下数中，为实数的是 (
)
（D）是复数，其模等于 1
3 i
（A） 15．设
(1
i )3
（ B） cosi )
（C） ln i
（D） e
2
是复数，则 (
（ A） z 在复平面上到处分析 （ C） z 一般是多值函数
（ B） z 的模为 z
（ D） z 的辐角为 z 的辐角的
倍
二、填空题
1 ．设 f (0)
1, f (0)
1 i ，则 lim
z 0
f (z) 1
z
．设
f (z) 2 3 ．导函数 f
u
iv 在地区 D 内是分析的，假如 u v 是实常数，那么 f ( z) D u i 在地区 D 内分析的充要条件为
x x y
在内是 ( z)
v
4．设
f (z)
x
3
3
ix y ，则 f (
223 i ) 2 2
3
5 ．若分析函数 ．函数 f (z) 6 7 ．设 f (z)
f ( z) u iv 的实部 u zIm( z) Re( z) 1 z5 5
x 2 y 2 ，那么 f (z) z
仅在点
处可导
(1 i ) z，则方程 f
(z) 0 的所有根为
i ．复数 的模为 8 i
9 ． Im{ln( 3 4i )}
10．方程
1 e z
0 的所有解为
6 / 25
复数与复变函数
三 、 设 f ( z) u( x , y) iv ( x , y) ) iv (
为 z x iy
．
的分析函数，若记
w( z, z) u(
z zz z ,
z zz z , 2 2 2i
) ，则 w 0 2i z
四、试证以下函数在 z 平面上分析，并分别求出其导数 1． f (z)
cos x cosh y e x ( x cos y 2zw ez
i sin x sinh y; ysin y)
2． f (z)
ie x ( y cos y ix sin y);
五、设
w
3
0 ，求
dw
, d 2 w .
dz dz2
xy 2 ( x iy ) x 2
六、设
f ( z)
y 4 0,
,
z 0 z 0
试证 f (z) 在原点知足柯西 - 黎曼方程，但却不行导 .
七、已知
u
v x 2 y 2 ，试确立分析函数 f ( z) u iv .
八、设
s 和 n 为平面向量，将 s 按逆时针方向旋转
2
即得 n . 假如 f ( z)
u
iv 为分析函数，则有
u
s
v , u n n
v （ s
s
与
分别表示沿 s , n 的方导游数） .
n
九、若函数 f ( z) 在上半平面内分析，试证函数 f ( z) 在下半平面内分析 .
十、解方程 sin z i cosz 4i .
第三章
复变函数的积分
一、选择题：
2
1．设 c 为从原点沿 y
x 1
至i 的弧段，则
c
( x iy 2 )dz
( )
（ A） 1 5 i
（ B）
6 6
1 5 i
6 6
（ C）
1 5 i 6 6
（ D）
1 5 i 6 dz 为 ( 1)2
6
2．设 c 为不经过点
1 与 1 的正向简单闭曲线，则
z 1)( z
)
c ( z
7 / 25
复数与复变函数
（ A）
i
（ B
）
i
（C） 0
（D） (A)(B)(C) 都有可能
2
2
3．设
sin z
c1 : z 1 为负向， c 2 : z 3 正向，则
( )
c c1 c2 z2
dz
（A）
2 i
（B） 0
（ C） 2 i
（ D） 4 i
z
2 cos z
4．设 c 为正向圆周 ，则
2 dz ( )
c (1 z)
（ A）
sin1
（ B） sin 1
（ C） 2 i sin 1
（D） 2
i sin 1
z3 cos 1
5．设 c 为正向圆周 z
1 2
，则 z
dz ( )
2 c
(1 z) 2
（A） 2
i( 3 cos1 sin 1)
（B） 0
（ C） 6 i cos1
（ D）
2 i sin 1
6．设
e
f (z)
z
d ，此中z
4 ，则 f ( i）
( )
4
2 i
（ A）
（ B）
1 （ C） 2 i
（ D） 1
7 ． 设 f ( z) 在 单 连 通 域 B 内 处 处 解 析 且 不 为 零 ， c 为 B 内 任 何 一 条 简 单 闭 曲 线 ，
f ( z) 2 f ( z) f (z)
c
dz
(
)
f ( z)
（ A）于
2 i
（ B）等于
2 i
（ C）等于
0
（ D）不可以确立 8．设 c 是从 0 到 1
i 的直线段，则积分 zezdz
（
）
2
c
（A） 1
e (B)
1
e (C)1 e i (D)
1
e i
2
2
2
2
9．设 c 为正向圆周 x
sin(
2
2 4 z) y 2 x 0 ，则
dz ( )
c
z2 1
（ A） 2 i （ B） 2 i
（C） 0
（ D）
2 i
2
2
8 / 25
则 积 分 复数与复变函数
10．设 c 为正向圆周 z i
1, a i ，则
zcos z
2 dz
( )
c (a
（ A） 2 ie
（B）
i )
（ D） i cosi
2 i
e
（C） 0
11．设 f ( z) 在地区
D 内分析， c 为 D 内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于
D ．假如 f ( z) 在 c 上 2，那么对 c 内任一点 z0 , f (z0 ) ( )
（ D）不可以确（ A）等于 0
（ B）等于 1
（ C）等于 2
立
12．以下命题中，不正确的选项是 ( )
（ A）积分 1 dz的值与半径 r (r 0) 的大小没关
r z z a
a
（ B） ( x
2
iy 2 )dz 2 , 此中 c 为连结 i 到 i 的线段
c
（ C）若在地区 D 内有 f ( z) g( z) ，则在 D 内 g (z)存在且分析 （ D）若 f ( z) 在 0z
1 内分析，且沿任何圆周 c : z r ( 0 r
1) 的积分等于零，则 z 0处分析
13．设 c 为随意实常数，那么由调解函数
u
x 2 y 2 确立的分析函数 f ( z) u iv 是 ( )
(A) iz
2 c
（ B）
iz 2 ic
（ C） z
2
c
（ D） z 2 ic
14．以下命题中，正确的选项是 ( )
（ A）设 v1 , v2 在地区 D 内均为 u 的共轭调解函数，则必有
v1 v2
（ B）分析函数的实部是虚部的共轭调解函数
u （ C）若 f ( z)
u iv 在地区 D 内分析，则
为 D 内的调解函数
x
（ D）以调解函数为实部与虚部的函数是分析函数 15．设 v( x , y) 在地区
D 内为 u( x , y) 的共轭调解函数，则以下函数中为
D 内分析函数的是 ( )
（ A） v( x, y) iu ( x , y)
（ B） v( x , y) iu ( x , y)
9 / 25
f ( z) 在 的值为
复数与复变函数
（ C） u( x , y) iv ( x , y)
（ D）
u x
i
v x
二、填空题
．设 c 为沿原点 z 1
0 到点 z
1 i 的直线段，则 2zdz
c
．设 c 为正向圆周 2
z 4 1
，则 c
z2
3z 2 dz (z 4)2
3
．设
sin(
f (z)
2 ) 2 d , 此中 z z
2 ，则 f (3)
4 ．设 c 为正向圆周
z
3 ，则 z z dz
c
z
5 ．设 c 为负向圆周 z 4 ，则 c e z i )5 dz
6 ．分析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 7 ．设 f (z) 在单连通域
B 内连续，且关于 B 内任何一条简单闭曲线 c 都有 f ( z)dz 0 ，那么 f (z) 在
c
B 内
8 ．调解函数 ( x , y) xy 的共轭调解函数为
9．若函数
u( x , y) x 3 axy 2 为某一分析函数的虚部，则常数
a
10．设 u( x, y) 的共轭调解函数为 三、计算积分 1.
z v( x, y) ，那么 v( x, y) 的共轭调解函数为
6z
2 R ( z1)( z dz
dz 2)
．
,此中
R
0, R 1 R
且2 ;
2.
z
2 z
4
2z2
2
四、设 f ( z) 在单连通域 B 内分析，且知足
1 f ( z) 1 ( x B ) . 试证
１．在 B 内到处有 f (z)
0 ；
10 / 25
复数与复变函数
２．关于 B 内随意一条闭曲线
c ，都有
f (z)
c
f (z)
z a r
dz 0
M ( r ) (0 r R ) ，
五、设 f ( z) 在圆域 z a
R 内分析，若 max f ( z)
( n)则
f
(a) n! M (r )
(n
1,2, ) .
r n
六、求积分
z 1
e z dz ，进而证明 z
ecos cos(sin
0
)d
.
七 、 设 f ( z) 在 复 平 面 上 处 处 解 析 且 有 界 ， 对 于 任 意 给 定 的 两 个 复 数 a,b ，试求极限
R
lim
f ( z)
z
dz 并由此推证 f (a) f (b) （刘维尔 Liouville
定理） .
R ( z a)( z b)
八、设
f ( z) 在 z R ( R 1) 内分析，且 f ( 0)
2
1, f (0) 2 ，试计算积分
z 1
2
f ( z)
( z 1)
z2 dz
并 由此得出 0
cos2 f (ei
2
)d 之值 .
九、设 f ( z) u 2
iv 是 z的分析函数，证明
2
ln( 1
f (z) )
2
ln( 1 f ( z)
2
)
4 f (z)
2
x 2 u( x
2
y 2
y2 ) ，试求分析函数
(1 f (z) 2 ) f ( z) u
iv .
. 2
十、若 u
第四章
级 数
一、选择题：
．设
an 1
( 1) n
n ni
4
( n
1,2, )
，则
lim an ( )
n
（ A）等于 0
（B）等于 1
( )
（C）等于 i
（ D）不存在 ．以下级数中，条件收敛的级数为 2
（ A） 1
(
n 1
3i n
)
（ B）
n 1
(3 4i ) n n!
11 / 25
2
复数与复变函数
（ C）
n 1
i n n
（ D）
( 1) n i
n 1
n 1
3．以下级数中，绝对收敛的级数为 ( )
1
（B）
n 1
(1 i )
（B）
[ ( 1)
n
1 n
n n
n
i n
2
]
(C)
n 2
i n ln n
（D）
( 1)n i n
2n
n 1
4．若幂级数
cn zn 在 z 1 2i 处收敛，那么该级数在 z 2 处的敛散性为 ( )
n 0
（ A）绝对收敛 （ C）发散
（ B）条件收敛
（ D）不可以确立
5．设幂级数
cn zn ,
n 0
nc n z n 1 和 n 0
cn zn 1 的收敛半径分别为 R1, R2,R3，则 R1,R2 ,R3 之
n 0 n 1
间的关系是 ( )
（A） R1 R 2 R3 R2 R3
（B） R1 （D）R 2 R2 (
R3 R3
)
（C） R1
R1
6．设 0
q
1 ，则幂级数
n
q n2 zn 的收敛半径 R
0
（ A） q
（ B）
1 q
（C） 0
（ D） sin
7．幂级数
n 1
n
n 2 () 的收敛半径 R z
( )
n 2
（B） 2
（ A）
1 （C） 2
（D） 8．幂级数
n 0
( 1) n zn 1 在 z 1内的和函数为 n 1
z)
（
（）
A ln( 1
B ln( 1 z)
）
12 / 25
复数与复变函数
（D） ln
1
(D) 1 z
ln 1 1 z
9．设函数
cn zn ，那么幂级数 ez 的泰勒睁开式为
cos z n 0
cn zn 的收敛半径 R ( )
n 0
（ A）
（B）
1
（ C） （ D）
2
的收敛域是 ( )
10．级数
1 z2
1
1 1 z z2 z
（B） 0
（ A） z z 1 （ C） 1z
（ D）不存在的 11．函数
1 z
2
在 z
1 处的泰勒睁开式为 (
)
（ A）
n
( 1) n n( z 1) n 1 ( z 1 1)
1
（ B）
n
1
( 1)n 1 n( z 1) n 1 ( z 1 1)
（ C）
n( z 1)
n 1
n 1
( z 1 1)
（ D）n( z 1) n 1
n 1
( z 1 1)
12．函数 sin z ，在 z
处的泰勒睁开式为 ( )
2
（ A）
( 1) n ( 2n 1)! n
( z
n 0
) 2
2n
2 n 1
( z
2
)
2 ( z
2
( z
2
)
（ B）
n
( 1) ( z )
2 0 (2n)!
( z
（ C）
( 1) n 1
( z
n 0
( 2n 1)! ) 2
2 n 1
)
（ D）
( 1) n 1 ( z (2n)!
) 2n
)
n 0
2
13．设 f ( z) 在圆环域 H : R1
z z0 R2 内的洛朗睁开式为
n
cn (z z0 ) c H n，为内绕 z0 的 13 / 25
复数与复变函数
f ( z)
任一条正向简单闭曲线，那么
c
( z z0 )
2
dz
( )
(A) 2 ic
1
（ B） 2 ic 1 （C） 2 ic 2 （D） 2
if ( z0 )
14．若 n
c
3n ( 1) n , n 4n , n
1 3
0,1,2, 1, 2,
，则双边幂级数
n
cn z n 的收敛域为 (
)
（A）
1
4
z
（B） 3z 4
（C）
1
4
z
（D）
1
3
z
15．设函数
f ( z)
1
z(z 1)( z
（ B）2
4)
在以原点为中心的圆环内的洛朗睁开式有
m 个，那么 m
(
)
（ A）1 二、填空题
（ C）3
（D）4
1．若幂级数
n 0
cn (z i ) n 在 z i 处发散，那么该级数在 z
2 处的收敛性为
．
2． 设幂级 数
n 0
cn z
n
与
[Re( cn )] z
n
的收敛半径分别为
R1 R2
和，那么
R1
与 R2 之间的关系
n 0
是
．
3．幂级数
( 2i )n z 2n 1 的收敛半径 R
n 0
在地区内分析，4．设 f ( z) D z0 为内的一点， d 为 z0 到 D 的界限上各点的最短距离， 那么当 z
z0 d
时，
f ( z)
n 0
cn ( z z0 )n 建立，此中 cn
．
5．函数 arctan z 在 z 0处的泰勒睁开式为
的收敛半径为R，那么幂级数
．
6．设幂级数
cn zn
n 0
(2 n 1)cn zn
n 0
的收敛半径
为 ． 14 / 25
复数与复变函数
7．双边幂级数
( 1) n 1
(z 2)2 n 1
1
n 1
( 1) n (1
z )n 的收敛域为 2
．
8．函数
ez
e z 在 0 z
内洛朗睁开式为 ．
9．设函数 域
cot z在原点的去心邻0
z
R 内的洛朗睁开式为
n
cn zn ，那么该洛朗级数收敛域的外
半径 R
．
10．函数
1 z( z i )
在 1
z i
内的洛朗睁开式为
．
三、若函数
在 z 1
1 z z2
0 处的泰勒睁开式为
n ，则称 an a z nn 0
为菲波那契 (Fibonacci)
数列，试确
定 a n 知足的递推关系式，并明确给出
an 的表达式．
四、试证明 z
1． e 2． (3
1 e z e) z
1 ze z
( z );
ez 1
(e 1) z ( z 1);
n
(k )
五、设函数
f ( z) 在圆域 z R 内分析， Sn
n
1
k 0
f
(0) zk 试证
k !
1．
Sn ( z)
1 2
zn 1
z
d
n 1
i r
f ( )
( z r
R ) .
2． f (z） Sn ( z)
zn
1
f ( )
d z) n2
( z
r
R ) 。
2 i
r n
1 (
六、设幂级数
n
n z
1
2 n
的和函数，并计算
之值 .
n 1
2n
七 、 设 f (z)
an zn ( z R1 ), g( z)
n 0
n 0
bn zn ( z R2 ) ， 则 对 任 意 的 r (0 r
R1) ，在
z rR 2 内
a n bn zn 1
f ( )g( )
zd
。 15 / 25
复数与复变函数
n 0
2 i
r
16 / 25
复数与复变函数
八、设在 z R 内分析的函数 f (z) 有泰勒睁开式 f (z)
a0 a1 z a2 z2
试证当 0 2 2
r
R 时 1 ) 2
d
an
r
2 n .
2 0 f (re
i
n 0
九、将函数 ln( 2 z)
在 0 z 1 1 内睁开成洛朗级数 .
z( z
1)
十、试证在
0
z
内以下睁开式建立：
z
1
z
c
e c0
n ( zn
1
n ) 此中 cn 1
e2 cos
cosn d
( n 0,1,2,
0
n 1
z
第五章
留 数
一、选择题：
1
．函数 cot z 在
z i 2 内的奇点个数为 ( )
2z 3
（A）1
（B）2 （ C）3 （ D）4
2 ．设函数 f (z) 与 g( z) 分别以 z a 为天性奇点与 m 级极点，则 z
a 为函数的 ( )
（ A）可去奇点 （ B）天性奇点
（ C） m 级极点
（ D）小于 m 级的极点
3
．设 z 0 为函数 1 e x2
)
z4 sin z 的 m 级极点，那么 m (
（A） 5 （ B）4
(C)3 （D） 2
4
． z 1 是函数 (z
1
1)sin
的 ( )
z 1
(A) 可去奇点
（ B）一级极点
（ C） 一级零点
（ D）天性奇点
3 2z
z3
5
． z 是函数
z
2
的 ( )
(A) 可去奇点
（ B）一级极点
（ C） 二级极点
（ D）天性奇点
17 / 25
an zn
) .
f ( z) g( z) 复数与复变函数
6．设
f (z) an zn n 0
在 z
R 内分析， k 为正整数，那么 Re s[ f (z) ,0] zk
（ C） ak 1
( )
（A） ak
（ B） k! ak
的
（D） ( k 1)! ak 1
7．设 z
a 为分析函数
f (z) m 级零点，那么 Re s[
f ( z) f ( z)
, a]
(
)
(A) m
（ B）
m
（ C） m 1
（D）
( m 1)
8．在以下函数中，
Re s[ f ( z),0] 0 的是（ ez 1 z
2
）
（ A）
f (z)
（ B） f ( z)
sin z 1 z 1 z 1
（C）
sin z cos z
f (z)
z
(D)
f (z)
e z 1 z
9．以下命题中，正确的选
项是 （ A） 设 f (z)
( )
( z z0 ) m ( z) ， ( z) 在 z0 点分析， m 为自然数，则 z0 为 f ( z) 的 m 级极点．
是函数 f (z) 的可去奇点，那么
（ B） 假如无量远点 若 z
Re s[ f ( z), ]
0
0
（ C） （ D）
为偶函数 f ( z) 的一个孤立奇点，则 Re s[ f ( z),0] 0 若
f ( z)dz 0 ，则 f (z) 在 c 内无奇点
c
10．
Re s[ z3 cos 2i , ]
( )
z
（ A）
11．
2 3
1
（B）
2
（ C） i
2
（ D）
2 i 3
3
3
Re s[ ze
1
i
2z i
, i ] (
)
（ A）
（ B）
6
5 i 6
)
（C）
1
6
i
（D）
5
6
i 12．以下命题中，不正确的选项是 (
（
A）若 z0 (
) 是 f ( z) 的可去奇点或分析点，则 Re s[ f (z), z0 ] 0
18 / 25
复数与复变函数
（
B）若 P( z) Q( z) z0 分析， z0 为 Q( z) 的一级零点，则
与在Re s[
P( z) Q( z) , z0 ]
P( z0 ) Q ( z0 ) 自 然数，则
（ C
）
若 z0 为 f (z)
n
的
m
级 极
点 ，
n m 为
Re s[ f ( z), z0 ]
1 lim d n [( z z0 ) n 1 f ( z)] n! x x0 dz
（D）假如无量远点
为 f ( z) 的 一 级 极 点 ， 则 z
0 为 f ( ) 的 一 级 极 点 ， 并 且
1
z
Re s[ f ( z), ]
lim zf ( )
z 0
1
z
13．设 n
1 为正整数，则
1
n
z 2 z
dz 1
(
)
(A) 0
（B） 2
i
（ C） 2 i
（D） 2n
i
z
n
14．积分
z9
3 z
2
10
1
dz
( )
（A） 0
（ B） 2 i
（C） 10
（D）
i
5
15．积分
z z 2 sin 1 dz z 1
(
)
（A） 0
（B）
1 6
（C）
i 3
（D）
i
二、填空题 1．设 z
0 为函数 z3 sin z3 的 m 级零点，那么 m
．
2 ． 函 数
f ( z)
1 cos 1
在 其 孤 立 奇 点 zk
1
( k 0, 1, 2,
)处的留数
k
z
2
Re s[ f ( z), zk ]
．
19 / 25
复数与复变函数
．设函数 f (z) 3
exp{ z } ，则 Re s[ f (z),0]
21
z2
．设 z 4
a 为函数 f (z) 的 m 级极点，那么 Re s[
f ( z) f ( z)
, a]
． ．双曲正切函数 tanh z 在其孤立奇点处的留数为 5 ．设
f (z) 6
． ．
2z 1 z2
，则
Re s[ f ( z),
]
．设
f (z) 7
1 cos z z5
，则 Re s[ f ( z),0]
．
1
．积分 8
z
z3e z dz 1
．
1 dz
．积分 9 z 1 sin z
．
10．积分
xe ix 1
x 2
dx
．
三、计算积分
z
z sin z dz ． z 1 z)2 1 (e
4
四、利用留数计算积分
0 d a
2
sin 2 (a 0)
五、利用留数计算积分
x 2 x 4
x 2 10 x 2 9 dx
六、利用留数计算以下积分：
１．
0
x sin x cos 2x dx
x 2 1
２．
cos( x x 2
1) dx 1
七 、 设 a 为 f (z) m 为 正 整 数 ， 试 证 a 为 f (z) 的 m 的孤立奇点，
为有限数．
级极点的充要条件是
lim ( z a) m f (z) b ，此中 b 0
z a
八、设 a 为 f ( z) 的孤立奇点，试证：若 f ( z) 是奇函数，则 Re s[ f ( z), a] Re s[ f ( z), a] ；若 f ( z)
20 / 25
复数与复变函数
是偶函数，则 Re s[ f (z), a] Re s[ f ( z), a] ．
九、设 f ( z) 以 a 为简单极点，且在
a 处的留数为 A，证明 lim
z
a
f (z)
2
1 . A
，
1
f ( z) 十、若函数
(z) z
在
1 上分析，当 z 为实数时， ( z) 取实数并且
的虚部，试证明 2
(0) 0 f ( x, y) 表示 ( x iy ) 1)
t sin
f (cos ,sin )d
(t ) ( 1 t
一、 1．（６．（
11．（
B）
A） B）
2．（A） ７．（ D） 12
．（ C）0
1
2t cost 2
第二章 3．（D） 4．（８．（ B） 13
．（ D）
14
21 / 25
C） ５．（ B） ９．（D） 10．（ C） ．（ C）
15
．（ A）
复数与复变函数
复数与复变函数
16 i
二、 1．
2
2 ．
arctan 8
3
． 1 2i
4
． e
5
． 3 3
６． z
2 z 2 5 （或
x 2
y 2
1）
７． x 2 y 2
1
( 5 )2 ( 3 ) 2
2 2
９．1
８． 1 2i ,2
i
Re( w )
2
10
． 7 2i
三、[ 5
2 , 5
2] （或 5
2 z 2
5
2 ）．
四、当 0
a 1 时解为 (1
1 a )i 或 ( 1 a 1)
当 1
a
时解为 (1
a 1) .
u
17
cos
2
六、像的参数方程为
2 0
2 ．表示 w 平面上的椭圆 u
v 2
v 15 sin ( 17 )2 ( 15 ) 2
2
2 2
十、 1． f ( z) 在复平面除掉原点外连续，在原点处不连续；
2． f ( z) 在复平面到处连续
.
第二章
分析函数
一、 1．（ B） 2 ．（ B） 3 ．（D）4 ．（ C）
５．（ A） ６．（ C） ７．（ C）
８．（ C） ９．（ A） 10 ．（ D） 11．（ A）
12 ．（ C）
13
．（ D）
14
．（ B）
15 ．（ C）
二、填空题
1． 1 i
2
．常数
3
． u ,
v 可微且知足 2
u
2 v ,
2u 2v
x x
x 2
x y x y
x 2 4．
27
27 i 5
． x 2 y 2 2 xyi ic 或 z2
ic ， c 为实常数
6
． i
4
8
22 / 25
.
1 复数与复变函数
7．
8 2(cos
4 2k 4
i sin 4 2k
4
), k 0,1,2,3
8
． e 2 k
(k
0,1,2, )
9．
arctan 4 3
( z)
10
． 2k i ( k 0, 1, 2,
)
四、 1． f
sin z;
2
．
( ) ( 1) z .
f z z e
五、
dw dz
2w ez 3w 2 2z
,
z
d 2 w dz2
dw 2 dw
6w ( dz ) 4 dz
3w 2 2z
e
8w 6e zw 12w 2 3e z w 2 4ez
2ez z
.
(3w 2 2z) 2
七、 f ( z)
1 i z2 (1 i )c . c 为随意实常数 . 2 2k
i ln 4 (k
0, 1, 2, ) .
十、 z
第三章
复变函数的积分
一、 1．（ D）2 ６．（ A） 11．（ C）
．（ D） ７．（ C） 12
．（ D）
3 ．（ B） ８．（ A）
4 ．（ C）
９．（A）10 ５．（ B） ．（ C） ．（ B）
13 ．（ D） 14 ．（ C） 15
二、 1．2
2
． 10 i
3． 0
4
． 6 i
5． i 12
6
．均匀值 7．分析
8
． ( y 2 1
2
x 2 ) C
9
．
3
10
． u( x , y)
三、 1．当 0
2．0.
R 1时，0；当1 R
2 时， 8 i ； 当 2 R
时， 0.
23 / 25
复数与复变函数
六、 2 i .
2
2
2
i
七、 0.
f ( z)
2
八、
( z 1)
z 1
dz 8 i , cos
f ( e )d2 2
.
z
0
十、 f ( z)
2c1 ln z c2 ic 3 （ c1 , c 2 , c3 为随意实常数） .
第四章
级 数
4
．（A） ９．（ C） 14
．（ A）
一、 1．（ C） ６．（ D）
2 ．（ C） ７．（ B） ．（ B）
3 ．（ D） ８．（ A）
５．（ D） 10 15
．（B） ．（ C）
11．（ D）12 13 ．（ B）
二、 1．发散
2
．R2 R1
3
．
2 2
4 ． f ( n) (z0 ) ( n
1
n!
f ( z) dz (n 0,1,2, 0,1,2, ) 或（ 1
2 i z z r ( z z0 ) n 1
0
0 r d ) ）
5．
n
( 1) n z2 n 1 ( z
0 2n 1 1 1
1)
6
．
R
7
． 1 z 1 2
2
．
8．
n n! zn 0
1 n
z
n 0 n!
9
10
．
( 1)n i n
n 2 (z i ) n 0三、 a0 a1 1,an
a
n 1
an 2 ( n 2) ，
an
1 {(1 5
z(1 (1
5 ) n 2
z) z)
1
(
1 5 ) n 2
1
} ( n
0,1,2, ) .
k 1
六、 f ( z)
3 ， 6 .
九、 ln( 2
n
z) z(z 1) 1 1 ln( 2 z) z 1 z ( 1)
n 0 k 0 nk 1
(
)( z 1)n .
24 / 25
复数与复变函数
第五章
留 数
4
．（D） ９．（ C） 14
．（B）
一、 1．（ D）2 ６．（ C） 11．（ B）12
．（ B） ７．（ A） ．（ D）
3 ．（ C） ８．（ D）
５．（ B） 10 15
．（ A） ．（ C） 13
．（ A）
二、1．9
2
6 ．
2
7
三、
16 i .
3
四、
. a a 2
1
五、 5 .
12
六、１．
( e e 3
)
4
e4
( 1) k
．
(k
) 2
2
1 8
24
3 ． 0
．
i
12
cos1 .
e
25 / 25
4
． m
9
． 2 i
5
．
1
i
e
．．10
２．
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