班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.（2013•重庆）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=（ ） A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}
2.（2013•重庆）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（ ）
22
A．对任意x∈R，都有x＜0 B．不存在x∈R，都有x＜0 C．存在x0∈R，使得x02≥0 D．存在x0∈R，使得x02＜0
3.（2013•重庆）A．9
B．
（﹣6≤a≤3）的最大值为（ ）
C．3
D．
4.（2013•重庆）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（ ）
A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8
5.（2013•重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．200 D．240
6.（2013•重庆）若a＜b＜c，则函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x﹣a）的两个零点分别位于区间（ ） A．（a，b）和（b，c）内 B．（﹣∞，a）和（a，b）内 C．（b，c）和（c，+∞）内 D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内
7.（2013•重庆）已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（ ）
A．5﹣4 C．6﹣2 D．B．1
8.（2013•重庆）执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是（ ）
A．k≤6 B．k≤7 C．k≤8 D．k≤9
9.（2013•重庆）4cos50°﹣tan40°=（ ） A．
B．
C．
D．2
﹣1
10.（2013•重庆）在平面上，（ ） A．（0，
]
B．（
，
]
C．（
，
]
D．（
，
]
⊥
，|
|=|
|=1，
=
+
．若|
|＜，则|
|的取值范围是
二、填空题
1.（2013•重庆）已知复数z=
（i是虚数单位），则|z|= _________ ．
2.（2013•重庆）已知{an}是等差数列，a1=1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8= _________ ．
3.（2013•重庆）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是 _________ （用数字作答）． 4.（2013•重庆）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为 _________ ．
5.（2013•重庆）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线
（t为参数）相交于A，B两点，则|AB|= _________ ．
6.（2013•重庆）若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是 _________ ．
三、解答题
1.（2013•重庆）设f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）． （1）确定a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值．
2.（2013•重庆）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的
个数，设一、二、三等奖如下：
奖级 摸出红、蓝球个数 获奖金额 一等奖 3红1蓝 200元 二等奖 3红0蓝 50元 三等奖 2红1蓝 10元 其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级． （1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；
（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E（x）．
3.（2013•重庆）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=PC的中点，AF⊥PB． （1）求PA的长；
，F为
（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．
4.（2013•重庆）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2+b2+（1）求C； （2）设cosAcosB=
5.（2013•重庆）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率
，
=
，求tanα的值．
ab=c2．
，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于
A、A′两点，|AA′|=4．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆
Q外．若PQ⊥P'Q，求圆Q的标准方程．
6.（2013•重庆）对正整数n，记In={1，2，3…，n}，Pn={|m∈In，k∈In}．
（1）求集合P7中元素的个数；
（2）若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并．
重庆高三高中数学高考真卷答案及解析
一、选择题
1.（2013•重庆）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=（ ） A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4} 【答案】D
【解析】∵A={1，2}，B={2，3}， ∴A∪B={1，2，3}，
∵全集U={1，2，3，4}， ∴∁U（A∪B）={4}． 故选D
2.（2013•重庆）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（ ）
22
A．对任意x∈R，都有x＜0 B．不存在x∈R，都有x＜0 C．存在x0∈R，使得x02≥0 D．存在x0∈R，使得x02＜0
【答案】D
【解析】因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为．存在x0∈R，使得x02＜0． 故选D．
3.（2013•重庆）（﹣6≤a≤3）的最大值为（ ） A．9
B．
C．3
D．
【答案】B
【解析】令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣故
（﹣6≤a≤3）的最大值为
+
，而且﹣6≤a≤3，由此可得函数f（a）的最大值为
，
=，
故选B．
4.（2013•重庆）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（ ）
A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8
【答案】C
【解析】乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；∴y=8
甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15，∴x=5． 故选C．
5.（2013•重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．200 D．240
【答案】C
【解析】如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱， 由图知V=
=200．
故选C．
6.（2013•重庆）若a＜b＜c，则函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x﹣a）的两个零点分别位于区间（ ） A．（a，b）和（b，c）内 B．（﹣∞，a）和（a，b）内 C．（b，c）和（c，+∞）内 D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内
【答案】A
【解析】∵a＜b＜c，∴f（a）=（a﹣b）（a﹣c）＞0，f（b）=（b﹣c）（b﹣a）＜0，f（c）=（c﹣a）（c﹣b）＞0，
由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点； 又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，
因此函数f（x）的两个零点分别位于区间（a，b），（b，c）内． 故选A．
7.（2013•重庆）已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（ ）
A．5﹣4 C．6﹣2 D．B．1
【答案】A
【解析】如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，
圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，|PM|+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和， 即：
=5
﹣4．
故选A．
8.（2013•重庆）执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是（ ）
A．k≤6 B．k≤7 C．k≤8 D．k≤9
【答案】B
【解析】根据程序框图，运行结果如下： S k
第一次循环 log23 3
第二次循环 log23•log34 4
第三次循环 log23•log34•log45 5
第四次循环 log23•log34•log45•log56 6
第五次循环 log23•log34•log45•log56•log67 7
第六次循环 log23•log34•log45•log56•log67•log78=log28=3 8
故如果输出S=3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k≤7． 故选B．
9.（2013•重庆）4cos50°﹣tan40°=（ ） A．
B．
C．
D．2
﹣1
【答案】C
【解析】4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°==
=
=故选C
==．
10.（2013•重庆）在平面上，（ ） A．（0，
]
⊥，|
]
|=||=1，=+．若|]
|＜，则||的取值范围是
]
B．（，C．（，D．（，
【答案】D
【解析】根据条件知A，B1，P，B2构成一个矩形A，B1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，设|AB1|=a，|AB2|=b，点O的坐标为（x，y），则点P的坐标为（a，b）， 由
=1，得
，则
∵|∴∴
|＜，∴
∵（x﹣a）2+y2=1，∴y2=1﹣（x﹣a）2≤1， ∴y2≤1 同理x2≤1 ∴x2+y2≤2② 由①②知∵|
|=
，∴
， ＜|
|≤
故选D．
二、填空题
1.（2013•重庆）已知复数z=【答案】
=
=
．
（i是虚数单位），则|z|= _________ ．
【解析】|z|=
故答案为：．
2.（2013•重庆）已知{an}是等差数列，a1=1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8= _________ ． 【答案】64
【解析】∵{an}是等差数列，a1，a2，a5成等比数列， ∴
=a1•（a1+4d），又a1=1，
∴d2﹣2d=0，公差d≠0， ∴d=2．
∴其前8项和S8=8a1+
×d=8+56=64．
故答案为：64．
3.（2013•重庆）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是 _________ （用数字作答）． 【答案】590
【解析】直接法：3名骨科、1名脑外科和1名内科医生，有C33C41C51=20种， 1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，有C31C43C51=60种， 1名骨科、1名脑外科和3名内科医生，有C31C41C53=120种， 2名骨科、2名脑外科和1名内科医生，有C32C42C51=90种， 1名骨科、2名脑外科和2名内科医生，有C31C42C52=180种， 2名骨科、1名脑外科和2名内科医生，有C32C41C52=120种， 共计20+60+120+90+180+120=590种 故答案为：590．
4.（2013•重庆）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为 _________ ．
【答案】5
【解析】在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，∴BC=AB•sin60°=∵CD是此圆的切线，∴∠BCD=∠A=60°． 在Rt△BCD中，CD=BC•cos60°=，BD=BC•sin60°=15．
2
由切割线定理可得CD=DE•DB，∴，解得DE=5．
．
故答案为5．
5.（2013•重庆）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线【答案】16
【解析】将直线极坐标方程ρcosθ=4化成直角坐标方程为x=4，代入曲线
（t为参数）中得A，B两点的直
（t为参数）相交于A，B两点，则|AB|= _________ ．
角坐标为（4，8），（4，﹣8）， 则|AB|=16． 故答案为：16．
6.（2013•重庆）若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是 _________ ． 【答案】（﹣∞，8]
【解析】由于|x﹣5|+|x+3|表示数轴上的x对应点到5和﹣3对应点的距离之和，其最小值为8， 再由关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，可得a≤8， 故答案为：（﹣∞，8]．
三、解答题
1.（2013•重庆）设f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）． （1）确定a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值． 【答案】（1） （2）见解析
【解析】（1）因f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，故f′（x）=2a（x﹣5）+，（x＞0）， 令x=1，得f（1）=16a，f′（1）=6﹣8a，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣16a=（6﹣8a）（x﹣1）， 由切线与y轴相交于点（0，6）． ∴6﹣16a=8a﹣6， ∴a=．
（2）由（1）得f（x）=（x﹣5）2+6lnx，（x＞0）， f′（x）=（x﹣5）+=
，令f′（x）=0，得x=2或x=3，
当0＜x＜2或x＞3时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，2），（3，+∞）上为增函数， 当2＜x＜3时，f′（x）＜0，故f（x）在（2，3）上为减函数，
故f（x）在x=2时取得极大值f（2）=+6ln2，在x=3时取得极小值f（3）=2+6ln3．
2.（2013•重庆）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：
奖级 摸出红、蓝球个数 获奖金额 一等奖 3红1蓝 200元 二等奖 3红0蓝 50元 三等奖 2红1蓝 10元
其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级． （1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；
（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E（x）． 【答案】（1）
（2）X的分布列为
EX=
=4元
【解析】（1）设Ai表示摸到i个红球，Bi表示摸到i个蓝球，则与相互独立（i=0，1，2，3） ∴P（A1）=
=
（2）X的所有可能取值为0，10，50，200 P（X=200）=P（A3B1）=P（A3）P（B1）=P（X=50）=P（A3）P（B0）=P（X=10）=P（A2）P（B1）=P（X=0）=1﹣
=
==
∴X的分布列为
EX=
3.（2013•重庆）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=PC的中点，AF⊥PB． （1）求PA的长；
，F为
=4元
（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．
【答案】（1）2
（2）
【解析】（1）如图，连接BD交AC于点O ∵BC=CD，AC平分角BCD，∴AC⊥BD
以O为坐标原点，OB、OC所在直线分别为x轴、y轴， 建立空间直角坐标系O﹣xyz， 则OC=CDcos又∵OD=CDsin
=1，而AC=4，可得AO=AC﹣OC=3． =
，
，0，0）
∴可得A（0，﹣3，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（﹣由于PA⊥底面ABCD，可设P（0，﹣3，z） ∵F为PC边的中点，∴F（0，﹣1，），由此可得
=（0，2，），
∵∴
=（•
，3，﹣z），且AF⊥PB，
=0，解之得z=2
（舍负）
=6﹣
因此，=（0，0，﹣2），可得PA的长为2；
（2）由（1）知=（﹣，3，0），=（，3，0），=（0，2，）， 设平面FAD的法向量为=（x1，y1，z1），平面FAB的法向量为=（x2，y2，z2）， ∵•
=0且•
=0，∴
，取y1=
=0，解出=（3，﹣
得=（3，
，﹣2），
同理，由•=0且•，2），
=
=
∴向量、的夹角余弦值为cos＜，＞=
因此，二面角B﹣AF﹣D的正弦值等于=
4.（2013•重庆）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2+b2+（1）求C； （2）设cosAcosB=【答案】（1）
，
=
，求tanα的值．
ab=c2．
（2）tanα=1或tanα=4
ab=c2，即a2+b2﹣c2=﹣
=
=﹣
ab， ，
【解析】（1）∵a2+b2+∴由余弦定理得：cosC=又C为三角形的内角， 则C=
；
（2）由题意=
，
=，
∴（cosA﹣tanαsinA）（cosB﹣tanαsinB）=
即tan2αsinAsinB﹣tanα（sinAcosB+cosAsinB）+cosAcosB=tan2αsinAsinB﹣tanαsin（A+B）+cosAcosB=∵C=
，A+B=
，cosAcosB=
，
﹣sinAsinB=
，即sinAsinB=
，
，
∴sin（A+B）=∴
tan2α﹣
，cos（A+B）=cosAcosB﹣sinAsinB=tanα+
=
，即tan2α﹣5tanα+4=0，
解得：tanα=1或tanα=4．
5.（2013•重庆）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率
，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于
A、A′两点，|AA′|=4．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆
Q外．若PQ⊥P'Q，求圆Q的标准方程．
【答案】（1）
（2）
，即
①
【解析】（1）由题意知点A（﹣c，2）在椭圆上，则∵离心率联立①②得：
，∴
，所以b2=8．
②
把b2=8代入②得，a2=16． ∴椭圆的标准方程为
；
（2）设Q（t，0），圆Q的半径为r，则圆Q的方程为（x﹣t）2+y2=r2， 不妨取P为第一象限的点，因为PQ⊥P'Q，则P（
，得x2﹣4tx+2t2+16﹣2r2=0．
）（t＞0）．
联立
由△=（﹣4t）2﹣4（2t2+16﹣2r2）=0，得t2+r2=8 又P（
）在椭圆上，所以
．
整理得，．
代入t2+r2=8，得解得：此时
．所以
，．
． ．
满足椭圆上的其余点均在圆Q外． 由对称性可知，当t＜0时，t=﹣故所求椭圆方程为
6.（2013•重庆）对正整数n，记In={1，2，3…，n}，Pn={
|m∈In，k∈In}．
，
．
．
（1）求集合P7中元素的个数；
（2）若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并．
【答案】（1）46 （2）n的最大值为14
【解析】（1）对于集合P7 ，有n=7．当k=4时，Pn={
|m∈In，k∈In}中有3个数（1，2，3）与
In={1，2，3…，n}中的数重复，由此求得 集合P7中元素的个数为 7×7﹣3=46．
（2）先证当n≥15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并集．否则，设A和B为两个不相交的稀疏集，使A∪B=Pn⊇In ．
不妨设1∈A，则由于1+3=22，∴3∉A，即3∈B．同理可得，6∈A，10∈B．又推出15∈A，但1+15=42， 这与A为稀疏集相矛盾．
再证P14满足要求．当k=1时，P14={
|m∈I14，k∈I14}=I14，可以分成2个稀疏集的并集．
事实上，只要取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}，则A1和B1都是稀疏集，且A1∪B1=I14． 当k=4时，集合{A2={，，，当k=9时，集合{
|m∈I14}中，除整数外，剩下的数组成集合{，，，…，}，B2={，，
}．
，
}，
}，可以分为下列3个稀疏集的并：
|m∈I14}中，除整数外，剩下的数组成集合{，，，，…，，
}，B3={，，，
，
}．
可以分为下列3个稀疏集的并： A3={，，，最后，集合C═{
|m∈I14，k∈I14，且k≠1，4，9 }中的数的分母都是无理数，
它与Pn中的任何其他数之和都不是整数，
因此，令A=A1∪A2∪A3∪C，B=B1∪B2∪B3，则A和B是不相交的稀疏集，且A∪B=P14． 综上可得，n的最大值为14．
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