论文_铅球投掷问题

长沙学院信息与计算科学系

数学模型作业

铅球投掷问题

系 部： 信息与计算科学 专 业： 数学与应用数学 学 号： 2009031122 学生姓名： 李琼奇 成 绩：

2012 年 ６月

铅球投掷问题

摘 要

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本文在物理相关知识的基础上，建立对铅球投掷的远度影响的数学模型，并在出手速度与出手高度一定时，对其进行求解，完成了表中内容的计算。运用相关物理知识建立在不考虑出手高度情况下铅球投掷的远度的数学模型；通过分析从而建立铅球投掷的远度的数学模型；根据模型分析出手速度v与出手高度h一定时，如何选择最佳的出手角度，使远度s最大。

关键词：铅球投掷，出手速度，出手角度，出手高度

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一、问题重述

对于投掷的远度与投掷时的出手速度与投掷角度的关系，利用物理知识建立其函数关系模型，根据该模型把铅球的出手高度考虑进去建立完整的铅球投掷的远度模型。从而利用微积分对模型求解，得铅球投掷的远度，代入数据完成表中内容的计算。在出手高度h一定情况下，最佳出手角度 随速度v的增大而增加，在出手速度一定情况下，最佳出手角度随出手高度h的增大而减小。

二、基本假设

1、假设铅球被看作是一个质点。

2、假设铅球运行过程中忽略空气的阻力。 3、假设出手角度与出手速度无关。

三、符号说明

s h v  g t1表示铅球投掷的远度 表示运动员的出手高度 表示运动员的出手速度 表示运动员投掷角度 表示重力加速度（9.8ms2） t2 表示从出手至最高点所经历的时间 表示下落距地面h高度所需要的时间

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四、模型的建立与求解

在右图坐标系下

铅球运动方程

铅球从 A 到B 运动的时间:

t1vsing

铅球运动的最大高度：

Hhvsin2g22

铅球从H 高度落下所有时间：

t22Hg2hgvsing222

铅球运动的水平距离：

S(v,)(t1t2)vcos

化简可以求得铅球的投掷距离为

Svsincosg22vhcosg22vsin42cosg22

上式即为铅球投掷的远度与投掷时的出手速度与投掷角度的关系，这也是我们所求的铅球投掷模型。 这个关系式还可以表示为

Sg2vcos(hStan).

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222由此计算

得最佳出手角度为

cos2ggv/h12

12cosghghv2

和最佳成绩为

Svg2v2gh.

因此，在出手高度h一定情况下，最佳出手角度随速度v的增大而增加，在出手速度一定情况下，最佳出手角度随出手高度h的增大而减小。

最佳投掷模式:由给定出手高度h、出手速度v ,从而可以计算出最佳出手角度和相应的投掷距离，这样将构成将最佳的铅球投掷模式。 指导训练的工作表如下：

出手速度 出手角度 与投掷距离 出手高度 1.9m 10 11 12 13 14 15 40.48 41.16 11.95 14.11 40.28 40.99 12.03 41.71 42.15 42.51 16.48 19.05 21.81 41.55 42.01 42.39 21.90 42.80 24.78 42.70 24.87 42.59 24.97 2.0m 14.20 16.57 19.14 2.1m 40.08 40.82 12.12 41.40 41.88 42.27 22.00 14.29 16.65 19.29

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五、模型改进与推广

5.1 模型的改进

由于此模型只适用于理想条件下，而理想条件难以达到。当考虑运动员臂展对投掷结果的影响的条件下，我们对模型进行了适当的改进。

5.2 模型的推广

在此模型中我们探讨的是当物体受力仅为重力和空气阻力（可忽略）并有一定的初速度的情况下，如何达到预期的投掷结果，即水平距离最远。在现代化科技领域，如何控制发射角度使导弹的射程最远，则与此模型有相同之处。同样，在跳远比赛中，如何控制发力使腿部与地面达到合适的角度，从而跳得最远，也可参照此模型。

六、参考文献

[1] 姜启源.数学模型（第三版）.北京：高等教育出版社.2003.

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