2022年山东省烟台市莱州市八下期中数学试卷
1. 二次根式 √2，√12，√30，√𝑥+2，√40𝑥2，√𝑥2+𝑦2 中，最简二次根式有 ( ) 个．
2. 用直尺和圆规作一个以线段 𝐴𝐵 为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 是菱形的依据是 ( ) A． 1 个
B． 2 个
C． 3 个
D． 4 个
1
A．一组邻边相等的四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
3. 若最简二次根式 √2𝑥2−4 与 √𝑥2+5 是同类二次根式，则 𝑥 值是 ( )
A． 3 B． 0 C． ±3 D． −3
4. 关于 𝑥 的一元二次方程 𝑥2−(𝑚+𝑛)𝑥+𝑚𝑛=0 的根的情况是 ( )
5. 如图，下列条件不能判定四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 是矩形的是 ( )
A．有两个相等的实数根 C．有两个实数根
B．有两个不相等实数根 D．没有实数根
A． ∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐵𝐶𝐷=90∘ B． 𝐴𝐵∥𝐶𝐷，𝐴𝐵=𝐶𝐷，𝐴𝐵⊥𝐴𝐷 C． 𝐴𝑂=𝐵𝑂，𝐶𝑂=𝐷𝑂 D． 𝐴𝑂=𝐵𝑂=𝐶𝑂=𝐷𝑂 6. 方程 𝑥2=0 的根为 ( )
A． 𝑥1=𝑥2=0
B． 𝑥=0 C． 𝑥2=0 D．无实数根
7. 用配方法解方程 𝑥2+𝑥−5=0 时，此方程变形正确的是 ( )
8. 下列判断正确的是 ( )
9. 三角形的一边长为 10，另两边长是方程 𝑥2−14𝑥+48=0 的两个根，则这个三角形是 ( )
10. 如图，𝑂 是菱形 𝐴𝐵𝐶𝐷 的对角线的交点，𝐸，𝐹 分别是 𝑂𝐴，𝑂𝐶 的中点，下列结论：
①四边形 𝐵𝐹𝐷𝐸 是菱形； ② 𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐸𝐹×𝐵𝐷； ③ ∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐸𝐷𝑂； ④ △𝐷𝐸𝐹 是轴对称图形． 其中正确的结论有 ( ) A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．无法确定
A．有一组邻边相等的平行四边形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形
C．两条对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D．有一个角是直角的平行四边形是正方形 A． (𝑥+)=
2
12
214
B． (𝑥+)=
2
12
194
C． (𝑥+1)2=6 D． (𝑥+1)2=4
11. 将 √ 化成最简二次根式为 ．
310
A． 1 个 B． 2 个 C． 3 个 D． 4 个
12. 使式子 √𝑥+1+√3−𝑥 有意义的 𝑥 的取值范围是 ．
13. 已知关于 𝑥 的一元二次方程 (𝑘−1)𝑥2+6𝑥+𝑘2−3𝑘+2=0 的常数项为零，则 𝑘 的值为 ．
14. 一个矩形的两条对角线的一个夹角等于 60∘，对角线长为 8，则矩形的较长边等于 ．
15. 如图，𝑃 是正方形 𝐴𝐵𝐶𝐷 内一点，且 𝑃𝐴=𝑃𝐷，𝑃𝐵=𝑃𝐶，若 ∠𝑃𝐵𝐶=60∘，则 ∠𝑃𝐴𝐷= ．
16. 已知 𝑥=−3，则计算 √𝑥2= ．
17. 如果一个直角三角形斜边上的中线长为 6.5 cm，一条直角边长为 5 cm，则另一条直角边的长为
cm．
18. 如图，𝐴𝐷 是 △𝐴𝐵𝐶 的角平分线，𝐷𝐸∥𝐴𝐶 交 𝐴𝐵 于 𝐸，𝐷𝐹∥𝐴𝐵 交 𝐴𝐶 于 𝐹．且 𝐴𝐷 交
𝐸𝐹 于 𝑂，则 ∠𝐴𝑂𝐹= 度．
19. 如图，四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 的 ∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶=90∘，𝐴𝐵=𝐴𝐷，𝐴𝐸⊥𝐵𝐶 于 𝐸，△𝐴𝐵𝐸 绕着点 𝐴 旋转
后能与 △𝐴𝐷𝐹 重合，若 𝐴𝐹=5 cm，则四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 的面积为 ．
20. 如图，正方形 𝐴𝐵𝐶𝐷 的对角线 𝐴𝐶 是菱形 𝐴𝐸𝐹𝐶 的一边，则 ∠𝐹𝐴𝐵 的度数为 ．
21. 计算：
(1) (3√18−4√+√50)÷√32．
25(2) (√3+3√2−√6)(√3−3√2−√6)．
22. 解方程：
(1) 9(𝑥−1)2=(2𝑥+1)2．
1
1
(2) 3𝑥2+7𝑥+4=0．
23. 已知关于 𝑥 的一元二次方程 𝑥2−(2𝑘+1)𝑥+4(𝑘−2)=0 两个相等的实数根．
(1) 求 𝑘 的值． (2) 求出这时方程的根．
24. 如图，已知 △𝐴𝐵𝐶 中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝐷 是角平分线，𝐹 为 𝐵𝐴 延长线上的一点，𝐴𝐸 平分
∠𝐹𝐴𝐶，𝐷𝐸∥𝐵𝐴 交 𝐴𝐸 于 𝐸．求证：四边形 𝐴𝐷𝐶𝐸 是矩形．
1
25. 已知 𝑎，𝑏，𝑐 分别为 △𝐴𝐵𝐶 的三条边，试判断关于 𝑥 的一元二次方程 4𝑥2−𝑏𝑥+(𝑎+𝑐)2=
0 的根的情况．
26. 解答下列各题：
(1) 通过计算，判断下列各式是否成立（划“√”或“×”）：
√2−3=2√3 ， √3−=3√ ，
44
41
3
1
2
1
1
√4−5=4√5 ， √5−=5√ ．
6
6
5
1
(2) 根据（1）中的结果，你能发现什么规律？请用含有自然数 𝑛 的式子将你发现的规律表示出
来，并注明 𝑛 的取值范围． (3) 请说明你所发现的规律的正确性．
27. 小宇将两张长为 8 宽为 2 的矩形条交叉如图①，发现重叠部分可能是一个菱形．
(1) 请你帮助小宇证明四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 是菱形．
(2) 小宇又发现：如图②时，菱形 𝐴𝐵𝐶𝐷 的周长最小，等于 ．
(3) 如图③时菱形 𝐴𝐵𝐶𝐷 的周长最大，求此时菱形 𝐴𝐵𝐶𝐷 的周长．
28. 先阅读然后解决问题：
【阅读】如图 1，在平行四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，过点 𝐷 作 𝐷𝐸⊥𝐴𝐵 于点 𝐸 沿 𝐷𝐸 线将 △𝐷𝐸𝐴 剪切下来，并平移 △𝐷𝐸𝐴，使其拼接在 △𝐶𝐸ʹ𝐵 处这样，原来 𝐴𝐵𝐶𝐷 就变成一个矩形 𝐸𝐸ʹ𝐶𝐷． 【问题解决】如图 2，将 △𝐴𝐵𝐶 通过剪切和拼接，得到一个矩形． 要求：
（1）剪切线用实线，拼接图用虚线； （2）说明剪下的图形是怎样运动拼接的；
（3）加注必要的字母，拼接后的非重合字母在原字母的右上角标注“ʹ”，如：𝐸ʹ．
29. 如图，正方形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，对角线 𝐴𝐶=8 cm．射线 𝐴𝐹⊥𝐴𝐶，垂足为 𝐴．动点 𝑃 从点 𝐶 出发
在 𝐶𝐴 上运动，动点 𝑄 从点 𝐴 出发在射线 𝐴𝐹 上运动，两点的运动速度都是 2 cm/s，若两点同时出发，多少时间后，四边形 𝐴𝑄𝐵𝑃 是特殊四边形？请说明特殊四边形的名称及理由．
答案
1. 【答案】C
【解析】因为 √2=
1
√2，不是最简根式， 2
√12=2√3，不是最简根式，
√30 为最简根式，√𝑥+2 为最简根式， √40𝑥2=2∣𝑥∣√10，不是最简根式， √𝑥2+𝑦2 为最简根式，
故有 3 个． 故选C．
2. 【答案】B
【解析】根据尺规作图的痕迹可知，𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷=𝐴𝐷， 因为“四边相等的四边形是菱形”可知四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 是菱形． 故选B．
3. 【答案】C
【解析】由题意可得： 2𝑥2−4=𝑥2+5， 解得 𝑥=3 或 𝑥=−3，
当 𝑥=±3 时，2𝑥2−4=𝑥2+5=14， √14 是最简二次根式， 因此 𝑥=±3．
4. 【答案】C
【解析】 ∵𝛥=[−(𝑚+𝑛)]2−4×1×𝑚𝑛=𝑚2+𝑛2−2𝑚𝑛=(𝑚−𝑛)2≥0， ∴ 方程有两个实数根．
5. 【答案】C
6. 【答案】A
【解析】 𝑥2=0， 𝑥1=𝑥2=0．
7. 【答案】A
【解析】 ∵𝑥2+𝑥−5=0， ∴𝑥2+𝑥=5， ∴𝑥2+𝑥+4=5+4，
1
1
∴(𝑥+)=
2故选：A．
8. 【答案】B
12
214
．
【解析】A选项：也有可能为菱形，故本选项错误； B选项：由正方形的判定定理可以判断是正确的； C选项：也有可能为菱形，故本选项错误；
D选项：也有可能为矩形，但是矩形不是正方形，故本选项错误．
9. 【答案】B
【解析】 ∵𝑥2−14𝑥+48=0， ∴(𝑥−6)(𝑥−8)=0， ∴𝑥−6=0 或 𝑥−8=0， ∴𝑥1=6，𝑥2=8，
∵102=100，62=36，82=64， ∴102=62+82，
∴ 这个三角形是直角三角形．
10. 【答案】C
【解析】 ∵ 四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 是菱形， ∴𝐴𝑂=𝐶𝑂，𝐵𝑂=𝐷𝑂，𝐴𝐶⊥𝐵𝐷， ∵𝐸，𝐹 分别是 𝑂𝐴，𝑂𝐶 的中点， ∴𝐴𝐸=𝐸𝑂=𝐹𝑂=𝐶𝐹， ∴𝐸𝐹=2𝐴𝐶，
∵𝐸𝑂=𝑂𝐹，𝐵𝑂=𝐷𝑂，
∴ 四边形 𝐵𝐸𝐷𝐹 是平行四边形，且 𝐴𝐶⊥𝐵𝐷， ∴ 四边形 𝐵𝐸𝐷𝐹 是菱形，故①正确； ∵𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷=2𝐴𝐶×𝐵𝐷，
∴𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐸𝐹×𝐵𝐷，故②正确； ∵Rt△ADO 中，𝐷𝐸 是 𝐴𝑂 的中线， ∴∠𝐴𝐷𝐸≠∠𝐸𝐷𝑂，故③错误； ∵ 四边形 𝐵𝐸𝐷𝐹 是菱形， ∴△𝐷𝐸𝐹 是等腰三角形，
∴△𝐷𝐸𝐹 是轴对称图形，故④正确， 故正确的结论是①②④． 故选C．
1
1
√30 310
11. 【答案】
√30． 3
【解析】 √3=故答案为：
√30． 3
12. 【答案】 −1≤𝑥≤3
𝑥+1≥0,
【解析】由题意，得 {
3−𝑥≥0,解得 −1≤𝑥≤3．
13. 【答案】 2
【解析】 ∵ 一元二次方程 (𝑘−1)𝑥2+6𝑥+𝑘2−3𝑘+2=0 的常数项为零， 𝑘2−3𝑘+2=0, ⋯⋯① ∴{
𝑘−1≠0. ⋯⋯②由①得：(𝑘−1)(𝑘−2)=0， 解得：𝑘=1 或 𝑘=2， 由②得：𝑘≠1， ∴𝑘 的值为 2．
14. 【答案】 4√3
【解析】如图，
在矩形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，𝐴𝐶=𝐵𝐷=8，∠𝐴𝑂𝐵=60∘， 则 𝑂𝐴=𝑂𝐵=2×8=4， ∴△𝐴𝑂𝐵 为等边三角形， ∴𝐴𝐵=4，
在 Rt△ABC 中，由勾股定理得：𝐵𝐶=√𝐴𝐶2−𝐴𝐵2=√82−42=4√3．
1
15. 【答案】 15°
【解析】 ∵ 四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 是正方形，
∴𝐴𝐷=𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷，∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐶𝐵𝐴=90∘， ∵𝑃𝐵=𝑃𝐶，∠𝑃𝐵𝐶=60∘， ∴△𝑃𝐴𝐵 是等边三角形，
∴∠𝐴𝑃𝐵=∠𝑃𝐵𝐴=60∘，𝑃𝐴=𝑃𝐵=𝐴𝐵， ∴∠𝐷𝐴𝑃=∠𝐶𝐵𝑃=30∘，
∵𝑃𝐴=𝑃𝐷， ∴∠𝑃𝐷𝐴=
180∘−30∘
2
=75∘，
∴∠𝑃𝐴𝐷=15∘．
16. 【答案】 3
【解析】 原式=∣𝑥∣， 当 𝑥=−3 时，原式=3．
17. 【答案】 12
【解析】 ∵ 一个直角三角形斜边上的中线长为 6.5 cm， ∴ 斜边长为 2×6.5=13（cm）． ∵ 一条直角边长为 5 cm，
∴ 根据勾股定理知，另一条直角边的长为：√132−52=12（cm）． 故答案是：12．
18. 【答案】 90
【解析】 ∵𝐷𝐸∥𝐴𝐶，𝐷𝐹∥𝐴𝐵， ∴ 四边形 𝐴𝐸𝐷𝐹 为平行四边形， ∴𝑂𝐴=𝑂𝐷，𝑂𝐸=𝑂𝐹，∠2=∠3， ∵𝐴𝐷 是 △𝐴𝐵𝐶 的角平分线，∠1=∠2， ∴∠1=∠3， ∴𝐴𝐸=𝐷𝐸，
∴ 平行四边形 𝐴𝐸𝐷𝐹 为菱形， ∴𝐴𝐷⊥𝐸𝐹，即 ∠𝐴𝑂𝐹=90∘．
19. 【答案】 25 cm2
【解析】 ∵𝐴𝐸⊥𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐴𝐸𝐶=90∘，
∵𝐴𝐵=𝐴𝐷，△𝐵𝐸𝐴 旋转后能与 △𝐷𝐹𝐴 重合， ∴△𝐴𝐷𝐹≌△𝐴𝐵𝐸， ∴∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐹，𝐴𝐸=𝐴𝐹， ∵∠𝐶=90∘，
∴∠𝐴𝐸𝐶=∠𝐶=∠𝐹=90∘， ∴ 四边形 𝐴𝐸𝐶𝐹 是矩形，
又 ∵𝐴𝐸=𝐴𝐹，
∴ 矩形 𝐴𝐸𝐶𝐹 是正方形， ∵𝐴𝐹=5 cm，
∴ 四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 的面积 = 四边形 𝐴𝐸𝐶𝐹 的面积 =52=25 cm2．
20. 【答案】 22.5°
【解析】因为四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 是正方形， 所以 ∠𝐵𝐴𝐶=45∘， 因为四边形 𝐴𝐸𝐹𝐶 是菱形，
所以 ∠𝐹𝐴𝐵=∠𝐵𝐴𝐶=×45∘=22.5∘．
2
2
1
1
21. 【答案】
(3√18−4√2+5√50)÷√32(1) =(9√2−2√2+√2)÷4√2=8√2÷4√2=2.
(√3+3√2−√6)(√3−3√2−√6)=[(√3−√6)+3√2][(√3−√6)−3√2](2) =(√3−√6)2−18
=3−6√2+6−18
=−9−6√2.
22. 【答案】
(1) 移项，得9(𝑥−1)2−(2𝑥+1)2=0,因式分解，得(3𝑥−3+2𝑥+1)(3𝑥−3−2𝑥−1)=0,即
(5𝑥−2)(𝑥−4)=0,2
解得𝑥1=5,𝑥2=4.
5𝑥−2=0,𝑥−4=0,(2) 因式分解，得
23. 【答案】
(1) 根据题意得：𝛥=[−(2𝑘+1)]2−4×1×(𝑘−)=0，
2解得 𝑘1=𝑘2=2，即 𝑘=2．
(2) 把 𝑘=2 代入原方程，得 𝑥2−4𝑥+4=0， ∴ 原方程可化为：(𝑥−2)2=0， ∴ 原方程的解为：𝑥1=𝑥2=2．
3
3
3
1
1
1
(3𝑥+4)(𝑥+1)=0,4
解得𝑥1=−3,𝑥2=−1.
3𝑥+4=0,𝑥+1=0,
24. 【答案】 ∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝐷 是角平分线，
∴∠𝐵=∠𝐴𝐶𝐵，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶， ∵𝐴𝐸 平分 ∠𝐹𝐴𝐶， ∴∠𝐹𝐴𝐸=∠𝐸𝐴𝐶，
∵∠𝐵+∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐹𝐴𝐸+∠𝐸𝐴𝐶， ∴∠𝐵=∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐹𝐴𝐸=∠𝐸𝐴𝐶， ∴𝐴𝐸∥𝐶𝐷， 又 ∵𝐷𝐸∥𝐴𝐵，
∴ 四边形 𝐴𝐸𝐷𝐵 是平行四边形， ∴𝐴𝐸∥𝐵𝐷，𝐴𝐸=𝐵𝐷， ∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，𝐴𝐵=𝐴𝐶， ∴𝐵𝐷=𝐷𝐶，
∴𝐴𝐸∥𝐷𝐶，𝐴𝐸=𝐷𝐶，
∴ 四边形 𝐴𝐷𝐶𝐸 是平行四边形， 又 ∵∠𝐴𝐷𝐶=90∘， ∴ 四边形 𝐴𝐷𝐶𝐸 是矩形．
25. 【答案】
， =𝑏2−(𝑎+𝑐)2
=(𝑏+𝑎+𝑐)[𝑏−(𝑎+𝑐)]
又 ∵𝑏+𝑎+𝑐>0，𝑏−(𝑎+𝑐)<0， ∴𝛥<0，
∴ 方程没有实数根．
26. 【答案】
(1) √；√；√；√ (2) 根据题意得：√𝑛−(3) 等式左边 =√右边 =𝑛√
1
𝑛𝑛+1
1
∵𝛥=(−𝑏)2−4×4(𝑎+𝑐)2
1
=𝑛√=√
𝑛+1
（𝑛 为 𝑛≥1 的自然数）．
1
𝑛(𝑛+1)−𝑛𝑛+1
𝑛2
𝑛+1
=𝑛√
𝑛+1
，
𝑛+1
，
∵ 左边 = 右边，
∴√𝑛−𝑛+1=𝑛√𝑛+1（𝑛 为 𝑛≥1 的自然数）． 【解析】
(1) ① 原式=√3=2√3，√； ② 原式=√4=3√4，√；
9
14
1
𝑛
1
③ 原式=√5=4√5，√； ④ 原式=√
27. 【答案】
(1) 如图①，过点 𝐴 作 𝐴𝐸⊥𝐵𝐶 于 𝐸，𝐴𝐹⊥𝐶𝐷 于 𝐹， ∵ 两条纸条宽度相同（对边平行）， ∴𝐴𝐵∥𝐶𝐷，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，𝐴𝐸=𝐴𝐹， ∴ 四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形， ∵𝑆平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐵𝐶⋅𝐴𝐸=𝐶𝐷⋅𝐴𝐹， 又 ∵𝐴𝐸=𝐴𝐹， ∴𝐵𝐶=𝐶𝐷，
∴ 四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 是菱形． (2) 8 (3) 如图③，
菱形的一条对角线与矩形的对角线重合时，周长最大， 设 𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝑥，则 𝐶𝐸=8−𝑥， 在 Rt△DCE 中，𝐷𝐶2=𝐷𝐸2+𝐶𝐸2， 即 𝑥2=(8−𝑥)2+22， 解得 𝑥=
174
256
161
=5√，√．
6
1
，
174
所以，菱形的周长 =4×【解析】 (2) 如图②，
=17．
当两纸条互相垂直时，菱形的周长最小， 此时菱形的边长等于纸条的宽，为 2， 所以，菱形的周长 =4×2=8．
28. 【答案】如图，矩形 𝐸𝐶𝐺ʹ𝐸ʹ 即为所求．
29. 【答案】 ∵ 四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 是正方形，
∴𝐴𝐵=𝐵𝐶，
当 𝑃，𝑄 运动 2 s 后，𝐶𝑃=𝐴𝑄=4 cm， ∵𝐴𝐶=8 cm，
∴𝐴𝑃=𝐶𝑃=4 cm，且 𝐴𝐵=𝐵𝐶， ∴𝐵𝑃⊥𝐴𝐶，且 𝐴𝐹⊥𝐴𝐶， ∴𝐴𝐹∥𝐵𝑃，且 𝐴𝑄=𝐵𝑃=4 cm，
∴ 四边形 𝐴𝑃𝐵𝑄 是平行四边形，且 𝐵𝑃⊥𝐴𝐶，𝐴𝑃=𝐵𝑃，
∴ 四边形 𝐴𝑄𝐵𝑃 是正方形．
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