高一第1学期昂立机构数学教案讲义 19—暑假总结复习-教师版

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教师 学生 课程编号 课题 课型 日期 复习 暑假总结复习 教学目标 1．帮助学生梳理高一暑假新课（集合、命题与条件、不等式与函数）中的主干知识和相关方法 2．总结相应章节的易错点 教学重点 1．集合的运算 2．命题与条件的判定 3．不等式的解法与基本不等式的应用 教学安排 1 2 3 4 例题解析 巩固训练 师生总结 课后练习 版块 时长 80 30 10 30

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热身练习

21．已知全集U{3,6,k3k5},A{3,k8} ，则CUA . 【难度】★★ 【答案】6 2．x13x1x26的 条件. 是x3xx9212【难度】★ 【答案】充分不必要

3．已知关于x的不等式组1kx2xk2有唯一实数解，则实数k的取值集合是 . 【难度】★★ 【答案】

4．已知关于x的不等式2x【难度】★★ 【答案】

5．设f(x)是定义在实数集R上的函数，满足f(0)1，且对任意实数a、b， 有f(ab)f(a)b(2ab1)，则f(x) ． 【难度】★★ 【答案】xx1 高一数学暑假课程

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2215，12

227在xa,上恒成立，则实数a的最小值为 . xa3 2 2 / 28

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知识梳理

一、集合与命题

1．区分集合中元素的形式： x|yf(x) 函数的定义域 y|yf(x) 函数的值域 (x,y)|yf(x) 函数图象上的点集

2．研究集合必须注意集合元素的特征，即集合元素的三性：确定性、互异性、无序性．

3．集合的性质：① 任何一个集合P都是它本身的子集，记为PP． ① 空集是任何集合P的子集，记为P． ① 空集是任何非空集合P的真子集，记为P．

注意：若条件为AB，在讨论的时候不要遗忘了A的情况．

集合的运算：①ABCABC、ABCABC； CUABCUACUB、CUABCUACUB． ①ABAABBABCUBCUAACUB．

①对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数 依次为：2、21、21、22．

4．命题是表达判断的语句．判断正确的叫做真命题；判断错误的叫做假命题． ① 命题的四种形式及其内在联系： 原命题：如果，那么；

原命题互 逆逆命题互为 逆否互 逆互 否逆否命题nnnn逆命题：如果，那么； 否命题：如果，那么； 逆否命题：如果，那么；

互 否否命题① 等价命题：对于甲、乙两个命题，如果从命题甲可以推出命题乙，同时从命题乙也可以推出命题甲，既“甲乙”，那么这样的两个命题叫做等价命题．

① 互为逆否命题一定是等价命题，但等价命题不一定是互为逆否命题． ① 当某个命题直接考虑有困难时，可通过它的逆否命题来考虑．

5．常见结论的否定形式： 高一数学暑假课程

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原结论 否定形式

原结论 否定形式 是 不是 都是 不都是 一定 不一定 p或q p且q 大于 不大于 小于 不小于 p且q p或q 至少一个 一个也 没有 至多一个 至少两个 至少n个 至多n1个 至多n个 至少n1个 对所有都成立 存在某不成立 x对任何x不成立 x存在某x成立

6．充要条件： 条件 结论 推导关系 判断结果    是的充分条件 的必要条件 的充要条件  且 是是在判断“充要条件”的过程中，应注意步骤性：

首先必须区分谁是条件、谁是结论，然后由推导关系判断结果．

二、不等式 1．基本性质：（注意：不等式的运算强调加法运算与乘法运算）

① ab且bcac；

① 推论：①．abacbc； ①． ab且cdacbd；

c0acbc① abacbc0c0；

acbcc0① 推论：①．ab0,cd0acbd； ①．ab且a、b同号 ①．a0b11； ab110； ①．ab0,0ab,ab； abbbm① ab0，m0 ；

aam0b① ab0ab；

0b

2．解不等式：（解集必须写成集合或区间的形式）

① 一元二次或一元高次不等式以及分式不等式的解题步骤：

①．分解因式找到零点； ①．画数轴标根画波浪线； ①．根据不等号，确定解集； 高一数学暑假课程

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注意点：①．分解因式所得到的每一个因式必须为x的一次式； ①．每个因式中x的系数必须为正． ①绝对值不等式去绝对值：

①．xaxa或a (a0)； ①．xaaxa(a0)；

①．abab； ①．fxgx(gx0)fxgx或fxgx；

22关键①．fxgxgxfxgx；

① 解含参数的不等式时，定义域是前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键． 而分类讨论的关键在于“分界值”的确定以及注意解完之后要总结：综上所述 ① 对于不等式恒成立问题，常用“函数思想．．．．”、“分离变量思想．．．．．．”以及“图象思想．．．．”．

3．基本不等式：

①a,bR，则a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立．

a,bR，则ab2ab，当且仅当ab时，等号成立．

综上，若a,bR，则a2b2(ab)222ab，当且仅当ab时，等号成立． *①若a,bR，则a2b22ab2ab211，当且仅当ab时，等号成立．

ab21*①x1x0,当且仅当xx，即x1时,等号成立x21．

x0,当且仅当xx，即x1时,等号成立

4．不等式的证明：

① 比较法：作差 → 因式分解或配方 → 与“0”比较大小 →

① 综合法：由因导果．

① 分析法：执果索因；基本步骤：要证即证即证． ① 反证法：正难则反．

① 最值法：afxmax，则af(x)恒成立； afxmin，则af(x)恒成立．

三、函数

1．函数的要素：定义域、值域、对应法则 ① 定义域：

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①．给出函数解析式，求函数的定义域（即求使函数解析式有意义的x的范围） （1）y[f(x)]f(x)0；（2）y①．使实际问题有意义的自变量的范围． ①．求复合函数的定义域：

若fx的定义域为a,b，则fgx的定义域由不等式agxb解出； 若fgx的定义域为a,b，则fx的定义域相当于xa,b时gx的值域．

① 值域：函数的值域（或最值）有哪几种常用解题方法？

①．二次函数型或可化为二次函数型；①．单调性；①．基本不等式；①．换元法；①．数形结合；

2．函数的基本性质： ① 奇偶性：

①．定义判断奇偶性的步骤：

（1）定义域D是否关于原点对称；（2）对于任意xD，判断f(x)与f(x)的关系： 若f(x)f(x)，也即f(x)f(x)0yf(x),xD为偶函数； 若f(x)f(x)，也即f(x)f(x)0yf(x),xD为奇函数．

①．图象判断奇偶性：函数图象关于原点对称奇函数； 函数图象关于y轴对称偶函数； ①．判断函数的奇偶性时，注意到定义域关于原点对称了吗？ ①．如果奇函数yf(x)在x0处有定义，则f(0)0．

①．一个函数既是奇函数又是偶函数，则该函数必为：f(x)0,xD（其中定义域D关于原点对称）

①．如果两个函数都是非零函数（定义域相交非空），则有：

奇＋奇奇；奇＋偶非奇非偶；偶＋偶偶；奇×奇偶；奇×偶奇；偶×偶偶． ① 单调性：设任意x1,x2D，且x1x2，则f(x1)f(x2)无单调性

0P(x)Q(x)0；（3）y2nP(x)P(x)0． Q(x)f(x1)f(x2)减函数f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)0；f(x1)f(x2)增函数0；

x1x2x1x2在比较f(x1)与f(x2)大小时，常用“作差法”，比较f(x1)f(x2)与0的大小． ①．奇函数的图象在y轴两侧的单调性一致；偶函数的图象在y轴两侧的单调性相反． ①．互为反函数的单调性一致．

①．增函数＋增函数增函数；减函数＋减函数减函数． ①．复合函数单调性由“同增异减”判定． ①．注意函数“单调性”、“奇偶性”的逆用（即如何体现函数的“奇偶性”、“单调性”） 高一数学暑假课程

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例题解析

一、集合

【例1】集合B{1,2}的所有子集是 ．

【难度】★

【答案】,{1},{2},{1,2}

2【例2】已知集合A{x|axx20}只含有一个元素，则a的值是 ． 【难度】★ 【答案】a0,

【例3】设Ax|3x5，Bx|xa，且AB，则实数a的取值范围是 ． 【难度】★

【答案】a3

18【例4】已知全集U1,0,a22a1，A1,|a1|，

UA4，则a ．

【难度】★ 【答案】1

【例5】已知集合Mx|x3k1,kZ，Ny|y3k1,kZ，那么MN等于（ ）．

A． B．N C．M D．Z

【难度】★ 【答案】A

【例6】设U1,2,3,4,5，A、B都是U的子集，且AB5，UAB4，． B1,2，则以下四个判断中正确的（ ）

A．3A且3B B．3A且3B C．3A且3B D．3A且3B

UAU【难度】★★ 【答案】D

【例7】用集合的交、并、补关系将右图中的阴影部分表示出来 ． 【难度】★★ 【答案】(B

UU

C)[(AC)UB]

【例8】已知全集Ux|x3n,nN,n5，Ax|x2px270,pN，

Bx|x215xq0,qN，A高一数学暑假课程

UB3,9,12,15，求集合A、B及p、q的值．

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【难度】★

【答案】A3,9，B6,9，p12，q54．

【例9】已知集合A{x|x3x20},B{x|xaxa10},C{x|xmx20}，若A222BA,ACC，求a,m．

【难度】★★

【答案】依题设，A{1,2}，再由xaxa10解得xa1或x1，

因为ABA，所以BA，所以a1A，所以a11或a12，所以a2或a3． 因为ACC，所以CA，若C，则m80，即22m22，若C，则1C或2C，解得m3．

综上所述，a2或a3；m3或22m22．

【例10】设S为集合{1,2,3,,50}的一个子集，且S中任意两个元素之和不能被7整除，则S中元素最多有多少 个． 【难度】★★★ 【答案】23

22

【巩固训练】

1．给定二元集合{1,x}，则实数x不能取的值是___________． 【难度】★ 【答案】1

2．设A0,9,x，B0,x2，且ABB，则x的值为 ．

【难度】★

【答案】3,1,3

3．设集合Ax|2x1,Bx|x0，则A【难度】★ 【答案】R

4．设U1,2,3,4,5，A2,4，则

B ．

UA的真子集的个数为 ．

【难度】★ 【答案】7 5．设全集Ux|1x17，集合Ax|2x10，则Bx|3x16，

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UAB ．

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【难度】★

【答案】x|10x16

的关系是（ ） A．M【难度】★★ 【答案】A

7．设A是整数集的一个非空子集，对于kA，如果k1A且k1A，那么k是A的一个“孤立元”，给定S{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个． 【难度】★★

【答案】6个【3个元素必须连续】

6．已知集合Mx|xa22a4,aR，Ny|yb24b6,bR，则M、N之间

N B．NM C．MN D．M、N无包含关系

1222321002

8．设[x]表示不超过x的最大整数，用，100，100，…，100组成集合A的元素，

100

求集合A中的元素的个数．

【难度】★★★ 【答案】76

9．设M{aax2y2,x,yZ}，求证： （1）2k1M,(kZ)； （2）4k2M,(kZ)；

（3）若pM,qM，则pqM． 【难度】★★★

【答案】[证明]（1）因为k,k1Z，且2k1k(k1)，所以2k1M． （2）假设4k2M(kZ)，则存在x,yZ，使4k2xy，由于x222222y和xy有相同

的奇偶性，所以xy(xy)(xy)是奇数或4的倍数，不可能等于4k2，假设不成立，所以4k2M．

（3）设pxy,qab,x,y,a,bZ，则pq(xy)(ab)

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a2a2y2b2x2b2y2a2(xayb)2(xbya)2M

（因为xayaZ,xbyaZ）．

二、命题与条件

【例11】命题“若ab0，则a0或b0”的一个等价命题是 ．

【难度】★

【答案】若a0且b0，则ab0

【例12】已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，则p是q的 条件． 【难度】★

【答案】必要非充分

【例13】“x3”是“x2x60”的 条件． 【难度】★

【答案】必要非充分

【例14】全集UR，A,BU，以下四组中M是N的充分不必要条件是 ． （1）M：AB，N：

UBUA； （2）M：AB，N：B；

（3）M：AB，N：AB； （4）M：AB，N：

UAUB．

【难度】★★ 【答案】（2）

【例15】下面说法正确的是 ．

①“x，y中至少有一个小于零”是“xy0”的必要非充分条件；

①“ab0”是“a0且b0”的充要条件； ①“ab0”是“a0或b0”的充分非必要条件． 【难度】★★ 【答案】①③

【例16】命题“能被4整除的整数一定是偶数”及其逆命题、否命题、逆否命题共四个命题中，真 命题的个数是（ ）．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【难度】★ 【答案】B

【例17】甲、乙、丙中选某些要参加会议，若甲参加则乙不参加；若丙不参加则乙必参加，已知甲一定参加会议，则下列结论正确的是（ ）．

A．丙不参加会议 B．丙参加会议

C．乙参加会议 D．乙不参加会议且丙也不参加会议 【难度】★★ 【答案】B

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2【例18】方程ax2x10,(a0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ）． A．a0 B．a0 C．a1 D．a1 【难度】★★ 【答案】C

22【例19】设集合A{x|2x4}，集合B{x|x3ax2a0}，

（1）求使ABB的实数a的取值范围；

（2）是否存在实数a，使AB成立？若存在．求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理 由． 【难度】★

2a4【答案】（1）BA，x3ax2a0x1a,x22a，a(1,2)；

22a4a2或a4（2）ABa(,2][4,)．

2a2或2a422

2【例20】已知集合A{x|ax3x10,xR}． ①若A中只有一个元素，求实数a的值； ①若A中至多只有一个元素，求实数a的值； ①若A中至少有一个负实数，求实数a的值． 【难度】★★

【答案】（1）a0时，3x10x，符合题意；13a0a09a；

4094a09a0或

4（2）A中没有元素时，94a0a99；A只有一个元素时，a0或； 44综上，a9或a0 4（3）A中只有一个负根 当a0，附合题意， 当a992，Axx23x10,xRx9x212x40符合题意． 434994a00a1A中有两根，一正一负，则4a0．

xx0012a0a高一数学暑假课程 暑假总结复习（教师版）

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94a00991aA中有两根，二负，则x1x20040a．

4xx0aa01230a综上，a9． 43x1131329()[()]9x2x2xx24另解：a

133134x0()20x22x2a

【巩固训练】 1．“a2且b2”是“ab4且ab4”的 条件．

【难度】★

【答案】充分非必要

22．“ac0”是“yaxbxc的图象与x轴有两个不同交点”的 条件． 【难度】★★

【答案】充分非必要

3．若命题A成立可推出命题B不成立，那么下列说法一定正确的是（ ）．

A．命题A成立可推出命题B成立 B．命题A不成立可推出命题B成立 C．命题B不成立可推出命题A成立 D．命题B成立可推出命题A不成立 【难度】★★ 【答案】D

4．对原命题“若xy0，则x0且y0”的判断： （1）原命题真，逆命题假；（2）逆命题真，原命题假；（3）否命题真，逆否命题假；（4）逆命题假，逆否命题真．其中正确的是（ ）． A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（4） 【难度】★★ 【答案】B

5．A、B是两个有公共元素但不相等的集合，“xAB”是“xAB”的（ ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【难度】★★ 【答案】B

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6．a1是关于x的方程aax1x1只有负根的什么条件？为什么？ 【难度】★★

【答案】(a1)xa1；

当a1时，方程无解；当a1时，xR；当a1时，x0；当a1时，x0；

2a1是关于x的方程aax1x1只有负根的充分不必要条件．

27．为使关于x的实系数一元二次方程axbxc0(a0)的两个根是不相等的正数，下列条件

中哪些是必要不充分的，哪些是充分不必要的，哪些是充要的？ （1）b24ac0；

b0； ab（3）0；

a（4）b24ac0；

（2）

（5）b24ac0且（6）

c0； abc0且0； aabc（7）b24ac0且0且0；

aa（8）b24ac0，a0，b0，c0； （9）bac，ab0，ac0．

【难度】★★★

【答案】必要不充分条件：1，2，5，6； 充分不必要条件：8； 充要条件：7

三、不等式

【例21】若不等式x22x30的解集为A，不等式x2x60的解集为B，不等式

x2axb0的解集为AB，则ab ．

【难度】★

【答案】3(a1,b2)

2【例22】已知方程(k3)x5kx2k100的两根一正一负，求实数k的取值范围． 【难度】★ 【答案】由x1x2

2k100，解得k的取值范围是(,3)(5,)．

k33x2px66恒成立，求实数p的取值范围． 【例23】如果对一切实数x，不等式92xx1【难度】★★ 高一数学暑假课程

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12x2(p9)x30【答案】①xx1恒大于0，①原不等式等价于2恒成立，

3x(p6)x1201(p9)214403p21由，①p(3,6)． 22(p6)144018p62

ax50的解集为M． x2a（1）当a4时，求集合M；（2）若3M且5M，求实数a的取值范围．

【例24】已知关于x的不等式【难度】★★

4x50， x245 解之，得M(,2)(,2)．

43a503M59aa[1,)(9,25)． （2）a25时，35M5a5025a25x51 a25时，由20，解得M(,5)(,5)．则3M且5M，

x255【答案】（1）a4时，不等式为 ①a25满足条件． 综上，得a[1,)

【例25】解关于x的不等式【难度】★★

【答案】原不等式可化为：

53(9,25]．

a(x1)1(a1)．

x2(a1)x(2a)0，即[(a1)x(2a)](x2)0．

x2a2)(x2)0同解． a1（1）当a1时，原不等式与(x 若

a22，即0a1时，原不等式无解； a1a2a22，即a0或a1，于是a1时，原不等式的解为(,)(2,)． a1a1a2a2,2)；若0a1，解集为(2,)；若a0，解集a1a1暑假总结复习（教师版）

若

（2）当a1时，若a0，解集为(高一数学暑假课程

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为．

综上所述：当a1时，解集为(,a2a2)(2,)；当0a1时，解集为(2,)； a1a1a2,2)． a1 当a0时，解集为；当a0时，解集为(

【例26】（1）①已知：a,bR且a3b1，求

11的取值范围； ab①已知：a,bR和x,yR，满足ab13，值．

ab1，若xy的最小值是25，求a,b的xy（2）已知：a,bR，abab3，求ab的最小值． 【难度】★★ 【答案】（1）①

1111a3b(a3b)13423，ababba

当且仅当

a3b11时等号成立，所以，的取值范围是[423,) baab①xy(xy)abaybxaybx时等号成立 abab2ab，当且仅当

xyxaxyab2ab25a4a9或由已知：

b9b4ab13（2）【法一】ab2ab3ab3或ab1(舍)(ab)min9，当且仅当ab3时取等号

a0a3【法二】由题意，得b，①a,bR，①a3，①a1

a10a1(t1)(t4)t25t444a3t52t59 ，令ta1,t0，ababatttta1当且仅当t2，即ab3时取等号

2【法三】a、b可看作关于t的一元二次方程的t(ab3)tab0的两个正根

0则t1t2ab30，解得ab9 ttab012高一数学暑假课程

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【巩固训练】

x22x1501．不等式组2的解集为 ．

3x2x50【难度】★ 【答案】[3,1)

2．已知实数a,b满足0a1,1b0，且|a||b|，则在四个数a2b2，ab，2|ab|，

5(,5] 32|ab|中，最小的一个数是 ．

【难度】★ 【答案】2|ab|

3．已知三个不等式：①ab0；①

cd；①bcad．以其中两个为条件，余下一个作结论， ab则可以构成真命题的个数是（ ）．

A．0 B．1 C．2 D．3 【难度】★ 【答案】D

224．设a1、b1、c1、a2、b2、c2都是非零实数，方程a1xb1xc10与a2xb2xc20的解集分别为集合A与B，那么“

a1b1c1”是“AB”的（ ）． a2b2c2 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【难度】★★ 【答案】D

2225．已知集合A{x|x2x240,xR}，B{x|x4ax3a0,xR}， （1）若AB，求实数a的取值范围；（2）若ABA，求实数a的取值范围． 【难度】★★

【答案】A{x|4x6}，B{x|(xa)(x3a)0}． （1）若AB：

①a0时，BAB；①a0时，B{x|ax3a}，①a6；

①a0时，B{x|3axa}，①a4． 综上，a4，或a0，或a6． （2）若ABA，即BA：

①a0时，B，显然BA；①a0时，3a60a2；

4 ①a0时，3a4a0；

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综上，4a2． 3

6．已知不等式ax2bxc0的解集是(,)(0)，求不等式cx2bxa0的解集． 【难度】★★

b0aa0,b0,c0． 【答案】c0ab11xx12c设方程cx2bxa0的两根为x1和x2，则，

a11xx12c1111所以x1,x2．又c0，所以不等式cx2bxa0的解集为(,)(,)．



27．解不等式：ax(a2)x20． 【难度】★★

【答案】原不等式可化为(x1)(ax2)0． 当a0时，解方程(x1)(ax2)0得x11,x22． a①当a2时，不等式的解集为(,1)； ①当a2时，不等式的解集为； ①当0a2时，不等式的解集为(1,)；①当a0时，不等式的解集为(1,)； ①当a0时，不等式的解集为(,)2a2a2a(1,)．

228．（1）解关于x的不等式：(aa1)xa(1x)a2(aR)； （2）如果xa24在上述不等式的解集中，求实数a的取值范围． 【难度】★★

【答案】（1）将原不等式整理得：(a1)xaa2．

当a1时，解集为{x|xa2}； 当a1时，解集为；

当a1时，解集为{x|xa2}．

2a1a1（2）解法一：由题意，或，得a(2,1)(3,)． 22a2a4a2a42 解法二：将xa4代入原不等式，并整理得：(a2)(a1)(a3)0， 解得a(2,1)(3,)．

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a2b2(ab)29．（1）已知a、b为正实数，ab，x0，y0．试比较的大小，并指与

xyxy出两式相等的条件； （2）求函数f(x)【难度】★★★

291，x(0,)的最小值． x12x2a2b2(ab)2(aybx)20． 【答案】（1）作差比较：xyxyxy(xy)a2b2(ab)2所以，．当aybx时，两式相等． xyxy2949(23)225． （2）解法1：x12x2x12x2x12x111时，(0,)，函数取得最大值25．

5252925x9t(2,)， 解法2：，令，则25xtx12x2x2x2当2(12x)32x，即x设yf(x)，则yt25，化简并变形得； y18(t2)2t22t132t25518221812， t918918t2t(3,)时2t递减，当且仅当t3(2,)时等号成立，且t(2,3)时2t递增，

2t2t181825913，所以02t131，y或时，2t25，当t3即

18tt22t13t125x3,x时取得最大值25．

5因为2t

四、函数

【例27】已知f(x)是定义在R上的偶函数，定义在R上的奇函数g(x)过点(1,3)且

g(x)f(x1)，则f(2009)f(2010) ．

【难度】★★ 【答案】3

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【例28】Rt△ABC如图所示，直角边AB3，AC4．

B D D点是斜边BC上的动点，DEAB交于点E，DFAC

交于点F．设AEx，四边形FDEA的面积为y， 求y关于x的函数fx ． 【难度】★★ 【答案】fx

E A F 图

C

42x4x,x0,3 3【例29】已知二次函数f(x)满足条件：f(1)f(2)0,f(3)4． （1）求函数f(x)的解析式；

（2）若f(x)m对任意xR都成立，求实数m的取值范围． 【难度】★★

【答案】（1）由已知可知二次函数f(x)图像与x轴交点的坐标分别为(1,0)、(2,0)， 可设f(x)a(x1)(x2)，a0．

因为f(3)4，所以a(31)(32)4，解得 a1， 于是f(x)(x1)(x2)，即f(x)xx2．

（2）由已知，x2x2m对任意xR都成立，它等价于xx(2m)0对任意xR都成立，

所以(1)4(2m)0，

222即4m90，解得m9． 4这就是所求的实数m的取值范围．

【例30】设定义域为R的函数f(x)x1,x0,． 2(x1),x0（1）在平面直角坐标系内作出该函数的图像； （2）试找出一组b和c的值，使得关于x的方程 f(x)bf(x)c0有7个不同的实根．

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请说明你的理由．

【难度】★★ 【答案】（1）见右图．

（2）（开放题）如b231 ,c等．

22设fxt,tbtc0，由图像可得以上有关于t的方程必须有一解为1，另一解在区间0,1中，才会使得关于x的方程f(x)bf(x)c0有7个解． 其中，fx1有3个解，fxa0,1有四个解． 所以可令t11,t2

【例31】求证：函数f(x)【难度】★

【答案】证：任取0x1x2， 有f(x1)f(x2)2131，即可得方程x2x0． 2222x在区间(0,)上单调递减． x2222x1(x2)()x1x2 x1x2x1x222(x2x1)x1x2x2x11 x1x2xx12因为0x1x2，所以x2x10，所以，函数f(x)210，即f(x1)f(x2)0 x1x22x在区间(0,)上单调递减． x

【巩固训练】

1．函数f(x)【难度】★ 【答案】(,1]

x2x2的单调递减区间是 ．

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2．已知偶函数f(x)，当x0时，解析式为f(x)xx；则当x0时，f(x)的解析式 为 ． 【难度】★★

【答案】f(x)xx

3．若方程2x【难度】★★ 【答案】3,1

4．函数f(x)xbxc，方程f(x)2有三个解，写出一组符合条件的数组b,c ．

2221a1在(0,)上有且只有2个解，则实数a的取值范围是 ． 2x【难度】★★★

【答案】应满足条件b42c,b0

2

5．若关于x的方程(xa)|x|1恰有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是 ． 【难度】★★★ 【答案】(,2)

【解析】设f(x)(xa)|x|，g(x)1，则“关于x的方程(xa)|x|1恰有三个不同的 实数解”等价于“函数f(x)(xa)|x|与函数g(x)1的图像恰有三个公共点”．

a2a2(x),x0,2xax,x0,24而f(x)即f(x)

22xax,x0.(xa)2a,x0.24①当a0时，函数f(x)(xa)|x|的大致图像如图（1）所示， 若函数f(x)(xa)|x|与函数g(x)1的图像恰有三个公共点，

a21，即 a24，解得a2或a2，所以a2； 则4①当a0时，函数f(x)(xa)|x|的大致图像如图（2）所示，此时函数

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f(x)(xa)|x|与函数g(x)1的图像只有一个公共点，不符合题意；

①当a0时，函数f(x)(xa)|x|的大致图像如图（3）所示，此时函数

f(x)(xa)|x|与函数g(x)1的图像只有一个公共点，不符合题意．

图（1）

图（2）

图（3）

综上，所求实数a的取值范围是(,2)．

6．已知函数f(x)22，g(x)． xx3（1）说明这两个函数图像间的关系；

（2）列表、描点，用虚线作出函数yf(x)的大致．．图像，然后利用（1）中的结论，在同一坐标系中，用实线作出函数yg(x)的大致图像； ．．

（3）由所作函数的大致图像判断函数g(x)2的x3奇偶性、写出它的单调区间以及在区间[4,)上的最大值或最小值． 【难度】★★

【答案】（1）因为函数yf(x)的图像上的任意点P(a,)与函数yg(x)的图像上的点

2a2P'(a3,)相对应，即将点P向右平移3个单位就与点P'重合，所以将函数yf(x)的图像向右

a平移3个单位就是函数yg(x)的图像． （2）由于函数f(x)x f(x) 22是奇函数，列出x0时函数f(x)的对应值表（如下表所示）： xx1 … … 2 4 1 21 … … 4 2 1 2暑假总结复习（教师版）

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函数yf(x)的大致图像 （如虚线所示）．由（1）知，将函数

yf(x)的大致图像向右平移3个单

位就得函数yg(x)的大致图像 （如实线所示）

（3）由函数yg(x)的大致图像 可知，函数g(x)2既不是奇函数 x3又不是偶函数，单调递减区间分别是

(,3)和(3,)，在区间[4,)上

的最大值是

7．据测算：某企业某一种产品的年销售量m万件与年促销费用x万元（x0）满足m622，无最小值． 435．已x1知该产品的前期投入需要4万元，每生产1万件该产品需要再投入10万元，企业将每件该产品的销售价格定为每件产品年平均成本的

3倍（定价不考虑促销成本）． 2（1）如果该企业不搞促销活动，那么该产品的年销售量是多少万件？

（2）试将该产品的年利润y（万元）表示为年促销费用x（万元）的函数； （3）x为何值时，该产品的年利润最大，最大年利润是多少万元？ 【难度】★★

51， 01所以如果该企业不搞促销活动，该产品的年销售量是1万件．

3410m（2）由题意得 该企业该产品每件的销售价格是（元），

2m3410m所以该产品的年利润ym[](410mx)，

2m【答案】（1）由题意知，当x0时，m6即y25mx，即y256525x，即y32x， x1x1所以该产品的年利润y（万元）表示为年促销费用x（万元）的函数是

y3225． x（x0）

x1（3）因为x0，

252525x(x1)12(x1)19， x1x1x1暑假总结复习（教师版）

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25x1，即(x1)225，即x4或x6（舍去）时，等号成立． x125所以y32(x)32923．

x1因此x为4万元时，该产品的年利润最大，最大年利润是23万元．

当且仅当 【解析】

1．集合中对空集的讨论． 2．基本不等式．

22（1）应用公式的条件：ab2ab的条件是a,bR；

反思总结

abab的条件是a,bR． 222（2）取等号的条件：ab2ab和

abab取等号的条件都是ab． 2（3）广义地理解公式中的字母a、b．这里a、b也可以是满足条件的代数式．

aba2b2ab,(a,bR)． （4）公式的逆用、变形用：如

1122ab2333（5）推广：①a,b,cR，有abc3abc，当且仅当abc时等号成立．

 ②a,b,cR，有

abc3abc，当且仅当abc时等号成立． 3

课后练习

2xy01．方程组的解集为______________．

xy30【知识点】集合的表示法

【题型】填空题 【难度】★ 【答案】{(1,2)}

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2．集合Mx|x28xp0，又MNx|x2qx60，

则p ，N2,3,5，

q ．

【知识点】集合的运算 【题型】填空题 【难度】★ 【答案】15,5

3．定义：关于x的不等式|xA|B的解集叫A的B邻域．若ab2的ab邻域为区间(2,2)，

22则ab的最小值是 ．

【知识点】新定义、不等式、二次函数的最值 【题型】填空题 【难度】★★ 【答案】2

4．已知A{x|1x3}，B{x|m1x2m4,mR}，若xA是xB的充分非必要条

件，则实数m的取值范围是 ． 【知识点】充要条件的判定 【题型】填空题 【难度】★★ 【答案】

5．已知f(x)1,0 2x2k1xk2的最小值为2，则实数k的取值范围是 ．

【知识点】基本不等式 【题型】填空题 【难度】★★ 【答案】k1

226．如果关于x的三个方程x4ax4a30，x(a1)xa0，x2ax2a0中，

22有且只有一个方程有实数解，则实数a的取值范围是 ． 【知识点】集合的运算、解不等式 【题型】填空题 【难度】★★ 高一数学暑假课程

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【答案】2,2

3111,0, 327．若正实数x,y满足：【知识点】基本不等式

【题型】填空题 【难度】★★ 【答案】9,

111，则xy的取值范围为 ． 1x1y2

k8．已知集合M{x|1x10,nN}，对它的非空子集A，将A中每个元素k都乘以(1)

147再求和，如A{1,4,7}，可以求得和为(1)1(1)4(1)74，则对M的所有非空 子集，则这些和的总和为 ． 【知识点】新定义 【题型】填空题 【难度】★★★ 【答案】2560

9．设Mx|x15，a3，则下列关系正确的是（ ）． A．aM B．aM C．{a}M D．{a}M

【知识点】集合的概念 【题型】选择题 【难度】★★ 【答案】D

ax60的解集为M． xa（1）当a2时，求集合M；（2）若2M且6M，求实数a的取值范围．

10．已知关于x的不等式【知识点】分式不等式的解法 【题型】解答题 【难度】★★

【答案】（1）当a2时，不等式

ax62x60即0，其解集M(2,3)． xax22a60a2或a32a（2）依题意可得，分别解得

6a61a60或a66a 所以，实数a的取值范围是[1,2)高一数学暑假课程

(3,6]．

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11．已知集合A{k|方程x(2k1)xk0至少有一个不大于1的实根}，求： （1）用区间表示集合A；

（2）集合B{k|kA,kZ}的所有子集． 【知识点】集合的运算、补集思想 【题型】解答题 【难度】★★

【答案】（1）U{k|k}，

22141A{k|2k}； ，A{k|k2}U4{2}，{2,0}，{1,0}，{2,1}，（2）B{2,1,0}，所有子集为，{2,1,0}． {1}，{0}，

12．已知：集合M{x|21},N{x6x8x2} x1（1）设全集UR，定义集合运算，使MNMUN，求MN；

（2）若有Hxxa2，按（2）的运算，求出NMH． 【知识点】新定义、集合的运算、分类讨论思想 【题型】解答题 【难度】★★ 【答案】（1）集合M （2）又

x1x3，Nx2x4

UNxx2或x4，①MNMUUNx1x2

Ha2,a2 ，①H,a2a2,

而：NMN故：当aUM3,4

1或a6时，NMH3,4；当1a2时，NMHa2,4；

当5a6时，NMH3,a2；当2a5时，NMH．

13．已知一元二次函数f(x)axbxc(a0,c0)的图像与x轴有两个不同的公共点，其中一个公共点的坐标为(c,0)，且当0xc时，恒有f(x)0． （1）当a1，c21时，求出不等式f(x)0的解； 2高一数学暑假课程 暑假总结复习（教师版）

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（2）求出不等式f(x)0的解（用a,c表示）；

（3）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，求a的取值范围； （4）若不等式m22km1bac0对所有k[1,1]恒成立，求实数m的取值范围． 【知识点】函数综合 【题型】解答题 【难度】★★★

11时，f(x)x2bx，f(x)的图像与x轴有两个不同交点，221111f()0，设另一个根为x2，则x2，x21，则f(x)0的解集为(,1)．

2222c1（2）f(x)的图像与x轴有两个交点，f(c)0，设另一个根为x2，则cx2x2

aa11又当0xc时，恒有f(x)0，则c，①f(x)0的解集为(c,)．

aa1（3）由（2）的f(x)的图像与坐标轴的交点分别为(c,0),(,0),(0,c)

a【答案】（1）当a1，c 这三交点为顶点的三角形的面积为Scc111 (c)c8，a216c2a216c8 故a0,（4）

21． 8f(c)0，①ac2bcc0，又①c0，①acb10，

要使m2km0，对所有k[1,1]恒成立，则 当m0时，m(2k)max2； 当m0时，m(2k)min2；

2当m0时，02k0，对所有k[1,1]恒成立．

从而实数m的取值范围为m2或m0或m2．

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