江苏省丹阳高级中学2016届高三上学期期末复习模拟数学试题(3)

一、填空题：

1．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，集合B＝{x|x4．右边是一个算法的伪代码，若输入x的值为1，则输出的x的值是 ． 5．有三张大小形状都相同的卡片，它们的正反面分别写有1和2、3和4、5和6，现将它们随机放在桌面上，则三张卡片上显示的数字之和大于10的概率是 ．

6．已知an为等差数列，其前n项和为Sn，若a32a73a15a173，则

Read x If x>3 then x←x-3 Else x←3-x EndIf Print x S17 ．

7．已知正四棱锥的底面边长是2，这个正四棱锥的侧面积为16，则该正四棱锥的体积为 . tan1．则cos的值为 ． 8．设，，，且sin()5,2213x≥1,9．已知x，y满足约束条件xy≤3,则z＝2x＋y的最小值为 ．

2y≥x3,10．若x2，不等式x26ax2a0恒成立，则实数a的取值范围是 ．

x2y211．椭圆C:221(ab0)的左、右焦点分别是F1,F2，A为椭圆上一点，AF1AF20，

ab5AF2与y轴交与点M，若F2MMA，则椭圆离心率的值为 ．

423212．已知二次函数f(x)ax(16a)x16a（a0）的图象与x轴交于A,B两点，

则线段AB长度的最小值 ．

13．如图，在正△ABC中，点G为边BC上的中点，线段AB，AC上的动点

D，E分别满足ADAB，AE(12)AC(R)，设DE中

FG点为F，记R()，则R()的取值范围为 ．

BC14．设二次函数f(x)ax(2b1)xa2(a0)在区间[3,4]上至少有一个零点，则

2a2b2的最小值为 ．

二、解答题：

15． 三角形ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，且acbac．

1

（1）若cosA＝3，求sinC的值；

（2）若b＝7，a＝3c，求三角形ABC的面积．

16． 如图，已知四棱锥PABCD中，PAAD，底面ABCD是菱形，ABC45， E、F分别是棱BC、PA上的点，EF//平面PCD，

P222平面PAE平面PAD．

（1）求证：EFBC；

（2）若AFFP，求实数的值．

DCFABE17． 如图，有一景区的平面图是一半圆形，其中AB长为2km，C、D两点在半圆弧上，满足BC=CD．设COB．

（1）现要在景区内铺设一条观光道路，由线段AB、BC、CD和DA组成，则当θ为何

值时，观光道路的总长l最长，并求l的最大值．

（2）若要在景区内种植鲜花，其中在AOD和BOC内种满鲜花，在扇形COD内种

一半面积的鲜花，则当θ为何值时，鲜花种植面积S最大．

BOACDx2y218． 如图，设A、B分别为椭圆E：221ab0的左、右顶点，P是椭圆E上

ab不同于A、B的一动点，点F是椭圆E的右焦点，直线l是

yPCMAOFBlxQ椭圆E的右准线．若直线AP与直线：xa和l分别相交于C、Q两点，FQ与直线BC交于M．

（1）求BM:MC的值； （2）若椭圆E的离心率为

3，直线PM的方程为 2x23y80，求椭圆E的方程．

bn119． 已知数列{an}、{bn}满足：a1，anbn1，bn1.

41an2（1）求b1,b2,b3,b4；

1（2）证明：是等差数列，并求数列bn的通项公式；

b1n（3）设Sna1a2a2a3a3a4...anan1，求实数a为何值时4aSnbn恒成立．

20．已知函数f(x)满足2f(x2)f(x，当x(0，2x)∈(0，2)时，1f(x)lnxax(a)，当x（4，2）时，f(x)的最大值为  4．

2（1）求实数a的值； （2）设b≠0，函数g(x)13bxbx，x（1，2）．若对任意x1，总存在（，12）3，使fx1gx20，求实数b的取值范围． x2（1，2）

21．【选做题】 B．选修4—2：矩阵与变换

3 31已知矩阵A＝，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝，属于特征值

c d1 3

1的一个特征向量为α2＝．求矩阵A和A的逆矩阵．

－2

C．选修4—4：坐标系与参数方程

x＝tcos＋mx5cos已知直线l：（t为参数）恒经过椭圆C： （为参数）的右焦y＝tsiny3sin点F．

（1）求m的值；

（2）设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|·|FB|的最大值与最小值．

22．（本小题满分10分）

如图，正方体ABCD－A1B1C1 D1的所有棱长都为1，M、N分别为

D1A1B1NDAMBCC1线段BD和B1C上的两个动点． （1）求线段MN长的最小值；

（2）当线段MN长最小时，求二面角B－MN－C的大小．

23．（本小题满分10分）

设函数fxxe2x11x3x2xR． 3（1）求函数yfx的单调区间；

（2）当x1,时，用数学归纳法证明：nN，e*x1xn． n!

期末复习模拟试题（3）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

141551．3 2．2 3．1.04 4．2 5． 2 6． 10.2 7．

238．16 9．1 10． a≥2 11．

65解析：

2．由|(1+i)z| =|34i|和|(1+i)z| =|1+i||z| 可知|z|＝52. 2217110 12．12 13．, 14． 4100241.420.420.420.621.623．由题意知，只要求83，84，84，85，86的方差，得到s1.04.

54．1<3，故x=3-1=2.

5．1+3+5=9，1+3+6=10，1+4+5=10，1+4+6=11，2+3+5=10，2+3+6=11，2+4+5=11，2+4+6=12

共8种其中和大于10的有4种，故概率为6．由条件得5a93，故S1717a910.2

9．作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z＝2x＋y过交点

A时，z取最小值，由41. 82x1,x1,得∴zmin＝2－1＝1.

2yx3,y1,554911．设M(0,m)，A(x,y)，因为F2MMA，所以(c,m)(x,ym)，解得xc,ym，

4455c9m9c9m又因为AF1AF20，所以(,)(,)0，解得c29m2，因为点A在椭圆

5555x2y216c281m216c29c21上，所以1，即1，又即a2b225a225b225a225b241c625a20c42a5从而160e450e2250，解得e，

10. 42212．因式分解可得f(x)(xa)(ax16)，于是A,B两点的坐标分别是(a,0),(16,0)，a1616162(a38)2于是线段AB的长度等于a．记F(a)a，F'(a)2a2，2aaaa2于是F(a)在(0,2)上单调递减，在(2,)上单调递增，从而F(a)的最小值就是

F(2)221612． 211ECDB，不妨设三角形边长为1，则FG2AC(1)AB13．FG 22321，又由点D，E分别在线段上可知0≤≤1,0≤12≤1,即有21710≤≤，那么R(),.

22414．设a2b2r2(r0)，再令arcos；那么由f(x)ax2(2b1)xa2在[3,4]上存在

brsin零点可知：x[3,，使得r(2x1)cosrx2s成inx立；2即

2r2(x1)2r42x2sin， x22xr2(x21)24r2x21；化简得到r则有：sinx2g(x)． x21(x2)251又g'x在[3,4]上g'(x)0恒成立，那么gmin(x)g(3)； 22(x1)10综上可知a2b2r21． 100x2(x21)24x2≤a2b2，下略.

另解：以aOb建立平面坐标系，则原点到直线的距离满足二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． πa2c2b2ac1

2．又B为三角形内角，则B＝3． 15．解：（1）由余弦定理，cosB2ac2ac122

因为cosA＝3，且A为三角形内角，则sinA＝3，

3＋22π31

故sinC＝sin(B＋A)＝sin(3＋A)＝ 2cosA＋2sinA＝． 6

（2）由a＝3c，由余弦定理知：b2＝ a2＋c2－2accosB，则7＝9c2＋c2－3c2，解得c＝1，则

133a＝3．面积S＝2acsinB＝4．

平面PAE平面PADAD//BC平面PAE平面PADPA16．证明：（1） AD平面PAEEFBC；

ADEFAD平面PADEF平面PAEADPA（2）过F作FG//AD交棱PD于点G，连结CG．

FG//ADFG//ECF、G、C、E四点共面；

EC//ADPEF//平面PCDEF平面EFGCEF//CG； 平面PCD平面EFGCCGFG//EC四边形EFGC是平行四边形ECFG；

EF//CGDGFABCEAD//BC2BCAD平面PAEAEBCBEABcosABC 2ADAEAE平面PAE21BC212 AD21FGPFAP21FGEC22ADBCFG//ADEC17．解：（1）由题COD，AOD2，0,

2取BC中点M，连结OM．则OMBC，BOM2D．∴

MCBC2BM2sin2，同理可得CD2sin2，

BOAAD2sin222cos．

∴l22sin22sin22cos212sin24sin2． 22211即l4sin5,0,．∴当sin，即时，有lmax5．

222232（2）SBOCsin，SAODsin2sincos，S扇形COD．

∴Ssinsincos． ∴S'coscos2sin2121212121412114cos32cos1 44∵0,，∴解S'0得，列表得

32 0,3 3,32 ＋ 0 极大值 － S' S ∴当递增 递减 3时，有Smax．

答：（1）当（2）当3时，观光道路的总长l最长，最长为5km；

3时，鲜花种植面积S最大．

na218．解：（1）设Pm,n，则直线AP：yxa， 分别令xa和x得

maca2anacan2anQ,，． ∵，则直线FQ： yCa,Fc,0xc．acmamaccma令xa得Ma,an，∴BM:MC1. mab213222（2）∵椭圆E的离心率为，∴2，椭圆E：x4ya．

a42a2m23n80m8 ∵PM：x23y80，故，解得． an280n4aa23ma31632222∵m4na，代入得a16a2640，∴a216或a264．

x2y21．当a64时，a8，m8，故点P与B重合，舍去． ∴椭圆E的方程为 164219．解：（1）bn1bnbn1 (1an)(1＋an)bn(2bn)2bn13456,b1 ∴b2,b3,b4． 44567 ∵a1（2）∵bn112bn1111 ∴1．

bn11bn1bn12bn ∴数列{

1}是以－4为首项，－1为公差的等差数列． bn1 ∴

1n21． 4(n1)n3 ∴bn1n3n3bn11． n3（3）an1bn111n∴Sna1a2a2a3anan111， 4556(n3)(n4)4n44(n4)ann2(a1)n2(3a6)n8∴4aSnbn． n4n3(n3)(n4)由条件可知(a1)n2(3a6)n80恒成立即可满足条件设

f(n)(a1)n23(a2)n8，

a＝1时，f(n)3n80恒成立, a>1时，由二次函数的性质知不可能成立． a∴a15，∴a<1时4aSnb恒成立． 4综上知：a≤1时，4aSnb恒成立． 20．解：（1）当x∈(0，2)时，f(x)11f(x2)f(x4)， 24由条件，当x  4∈(4，2)，f(x4)的最大值为  4，∴f(x)的最大值为  1． ∵f(x)1111ax1，令f(x)0，得x．∵a，∴(0,2)． aa2xxa1当x∈(0，)时，f(x)0，f(x)是增函数；

a1当x∈(，2)时，f(x)0；f(x)是减函数．

a111则当x 时，f(x)取得最大值为f()ln()11．∴a   1．

aaa（2）依题意，设f(x)在x∈（1，2）的值域为A，g(x)在x∈（1，2）的值域为B，则AB．

∵f(x)在x∈（1，2）上是减函数，∴A  (ln22,1)． g(x)bx2bb(x21)，∵x∈（1，2），∴x21∈（0，3）．

22① b  0时，g(x) 0，g(x)是增函数，B  (b,b)．

3323∴b≤ln22．b≥3ln2．

3222② b  0时，g(x) 0，g(x)是减函数，B  (b,b)．

3323∴b≤ln22．b≤3ln2． 3233由①，②知，b≤3ln2，或b≥3ln2．

22 B．选修4—2：矩阵与变换

13 3 11

解：由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝可得， ＝6，即c＋d

1c d 11

＝6；

 33 3  3 3

由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α2＝，可得 ＝，即

c d －2－2－2

3c－2d＝－2，

c＝2， 3 3－

解得即A＝，A逆矩阵是A1d＝4． 2 4

 3 －2

＝.

11－3 2

21

C．选修4—4：坐标系与参数方程

x2y2解：（1）椭圆的参数方程化为普通方程，得1，

259a5,b3,c4,则点F的坐标为(4,0).直线l经过点(m,0),m4.

（2）将直线l的参数方程代入椭圆C的普通方程，并整理得：

(9cos225sin2)t272tcos 810.

设点A,B在直线参数方程中对应的参数分别为t1,t2，则

|FA||FB||t1t2|=

8181.当sin 0时，|FA||FB|取

9cos225sin2916sin2最大值9；当sin 1时，|FA||FB|取最小值

81. 2522．解：（1）以DA,DC,DD1为单位正交基底，如图建立空间直角坐标系．

设DMmDB, CNnCB1，则Mm,m,0, Nn,1,n． ∴MNnm,1m,n．

∴

222m32122222MNnm1mn2n2mn2m2m12nm．

22332mmn02132∴当，即时，有MN．

min3m20n133∴线段MN长的最小值为3． 3A1D1zB1NDCMBC1111（2）由（1）可知，当MN取得最小值时，MN,,．

333又DB1,1,0,B1C1,0,1，

1111∴MNDB00, MNB1C00．

3333∴DBMN, B1CMN．

Ayx∴二面角B－MN－C的大小等于向量MB与向量NC的夹角，即向量DB与向量B1C的夹角．

DBB1C1∵cosDB,B1C，DB,B1C0,，∴DB,B1C． 23DBB1C∴二面角B－MN－C的大小为

3．

23．解：（1）fx2xex1x2ex1x22xxx2ex11，

令fx0，得x2或x0或x1，

易知当x2,0与x1,时，fx0；当x,2与x0,1时，

fx0，

所以函数yfx的单调增区间为2,0和1,，减区间为,2和

0,1．

（2）设gnxex1xnx1． n!当n1时，只需证明当x1时，g1xex1x0， 由g1xex110，得g1x在1,上为增函数， 所以g1xg110，原不等式成立．

假设当nkk≥1,kN时，不等式成立，即当x1时，gkxe*x1xk0， k!，

所

以

则当nk1时，因为

gk1xex1xk1k1!1xegkx1k1xkk1!ex1xk0， k!10，

k1!即gk1x在1,上为增函数，所以gk1xgk111所以当nk1时，不等式也成立． 综上可知，当x1,时，对nN，e*x1xn成立． n!