构造函数法证数列不等式的几种思考途径

构造函数法证数列不等式的几种思考途径　福建龙岩一中　３６４０００　方秦金　．将数列内容与不等式结合起来，便构成了数列不等　式．数列不等式是近年来高考和竞赛中的热点题型，证　明数列不等式的方法很多，有一类数列不等式常可通过　构造函数（方程、数列）来证明，本文举例说明用这种方　法证数列不等式的几种思考途径，供参考．　１　分析不等式的结构联想构造　例１　若｛ａ　｝是由正数组成的等比数列，ｓ　是它的　前ｎ项的和．证明：ｓ　・Ｓ　：＜５：　分析　把结论化为４｜ｓ　Ｓ　＜（２Ｓ　）　，其结构形　式很类似一元二次方程的判别式ｂ　一４ａｃ，因此可以尝　试构造一元二次方程去解决．　证明：构造一元二次方程　Ｓｎｘ　＋２Ｓ　＋Ｓ　＝　０，　①　因为Ｓ　是正项数列前ｎ项的和，故Ｓ　＞０，　欲证ｓ　Ｓ　＜ｓ　只需证（２Ｊｓ　。）　一４５…Ｓ＋：＞０　（　），为此只需证明方程①有两个不等实根即可．　（Ｉ）当ｇ＝１时，不妨令ａ　＝ｆ，则①为　＋２（，　＋１）　＋（ｎ＋２）＝０，②　即［ｎ　＋（ｎ＋２）］（　＋１）＝０，可见方程②有二不　同实根，即①有两个互异实根，则（　）成立；　（１Ｉ）当ｑ≠１时，方程①即为（１一ｇ　）　＋２（１一　ｑ““）　＋（１一ｑ”　）：０，　即（　＋１）　一ｑ　（　＋ｑ）　＝０，显然它也有二异实根，　故（　）成立．　综上，Ｓ　Ｓ　＜ｓ　＋．成立．　２　比较不等式两边的通项类比构造　例２设函数　）＝　一Ｉｎ（　＋１），证明对任意的　正整数ｎ，不等式　＋／（　一）＋＿厂（÷）＋…＋Ｉ厂（　）＜ｔ＋　＋　＋　…＋　都成立．　分析　从数列的角度考虑，左边的通项为　ｌｉｌ），右边的通项为　，若能证明Ｉ厂（　）＜　，则不　ｎｎｎ等式获证．我们构造函数Ｆ（　）＝－厂（　）一　＝　一　Ｉｎ（　＋１）一　。，利用该函数的单调性去探寻．　证明：函数．厂（　）＝　一ｌｎ（　＋１），令Ｆ（　）：　．厂（　）一　：　一ｌｎ（　＋１）一　，　贝９　Ｆ　（　）＝一３ｘ　＋２ｘ　一——！＿．＿＿　＝一　３　。＋　一２　＋１　３　＋（　一１）　＝＝一一　＋１　Ｘ＋１　’　所以当　∈［０．＋∞）时，Ｆ　（　）＜０，　所以函数Ｆ（　）在【０．＋∞）上单调递减，又　，（０）＝０，所以当　∈［０．＋∞）时，恒有，（　）＜　（０）＝０，虽口　。一Ｉｎ（　＋１）＜　恒成立　所以当　∈【０。＋∞）时√ｎ（　）＜　，　ＮＮ　ｋ∈Ｎ　，所以｝∈（０，＋∞），取　＝　１，　则有　１）＜　１，　所以　１，＜　√１丢）＜　１，…　）＜　１，　于是对任意的正整数ｎ，不等式　１）＋　）＋　）＋…＋　）＜　＋　１＋　１＋…＋　ｎ都成立．　３　尝试不等式的变形转换构造　例３　求证（１＋１）（１＋　１）…（１＋　）＞　（ｎ∈Ｎ　）　分析　可以尝试用数学归纳法证明，但较繁．　注意到原不等式等价于：　（１“）（１＋一｝）．．－（１＋　＞　，　启发我们构造数列，利用数列的单调性去探寻．　证明：设　ｎ）＝（１＋１）（１＋　１）…（１＋　１　、　１　３ｎ一２　（１＋　１　）　由　＝　３———————————　一　３ｎ＋４　（３／／，＋２）３　＞１知　）是递增的．　Ｙ－ｆ（　）　云＞　，故有　ｎ）≥　）＞　，从而　命题得证．　４　提炼不等式两边的结果辅助构造　１歹０　４　已知曲线Ｃ　：　一２ｎｘ＋Ｙ　＝０（ｎ＝１，　２，…）．从点Ｐ（一１，０）向曲线Ｃ　引斜率为ｋ　（ｋ，　＞　０）的切线ｆ　，切点为Ｐ　（　，Ｙ，　）。　（１）求数列｛　，　｝与｛Ｙ　｝的通项公式；　矾雁　考理科卷改编）　分析易求　：　＝　，故　｜　１　ｘ　｜　１　２ｎ＋１’Ｙ　一　２ｎ＋１　启发我们构造函数　）＝　一　ｓｉｎｘ去探寻．　解（１）设直线ｌ　：ｙ＝南　（　＋１），联ＴＬＸ　一２ｎｘ　＋ｙ　：０得（１＋ｋ：）　＋（２ｋ：一２ｎ）ｘ＋ｋ：＝０，　贝４△＝（２ｋ：一２ｎ）。一４（１＋　）ｋ：＝０，所以ｋ　、，　（一　、　舍　…一‘２　　１　ｋ＋：　　南，即　，所以　｜ｊ｝　（　＋１）＝　丑　ｎ＋１　‘　（２）证明：因为　由砖＝￣ｆ２ｎ　１　１：＝雁Ｘｎ　函　）　＝　—ｄ２－￣ｉｎｘ，．￣Ｊｌｆ　（　）：１—４￣ｃｏｓｘ，令＿厂　（　）＝０，　得ｃ。ｓ＝　，给定区间（０，　）．则有　（　）＜０，则函　数／【　）在（０，　）上单调递减，所以Ｌ厂（　）＜　０）＝　０，即　＜　ｉｎ　在（０，孚）恒成立，　又０＜　≤　＜　７７＂ｕ有　＜　艨　５　观察不等式的某一边还原构造　例３　求证：　１＋÷＋　１＋…＋　＜ｌｎ　ｎ＜ｌ　＋＋　＋了＋÷＋÷＋÷＋…＋　＋…＋　（　∈ｎ∈Ｎ＋且ｎ≥２）　＋且ｎ≥）　４４　分析　小等式左石阅边是ｎ一１坝丰口的彤式，　而“Ｉｎ／１．”是．ｓ　的形式，为了消除这种形式上的不和　谐，我们尝试把“Ｉｎ　”还原成ｎ一１项和的形式．设　Ｓ　＝Ｉｎ凡，则ａ　＝Ｓ　一Ｓ　一ｌ＝Ｉｎ　ｎ—ｌｎ（ｎ—１）＝　ｌｎ　（ｎ≥２），从而我们探寻是否有“　＜Ｉｎ　，，　Ｉｎ　＜～　＜　”成立．厩　’　证明：设　）＝　＋Ｉｎ　，贝０厂　（雁　　）＝　一　一ｌ＋　ｌ　一ｌ　—————　——一十——＝——＿．　％‘　Ｘ　ｘ　又　（　）的定义域为（０，＋∞）．　当　＞１时　（　）＞０；当０＜　＜ｌ时　（　）　＞０．　）＝　＋Ｉｎ　在［１，＋∞）上为增函数，　１一』　当ｎ≥２时　）＝　＋ｌｎ　＝　—ｌ　ｎ　ｎ—ｌ　凡一１　ｌｎ　一　１＞　１）：０，即：　１＜Ｉｎ　．　故　＋÷＋÷＋…＋　一＜ｋ旱＋・ｎ寻＋…　＋ｌｎ　：ｌ帆　设ｇ（ｘ）：Ｉｎ（１＋　）一　∈（０，＋∞），贝０　ｇ　（　）　ｒ　一ｌ＜０对　∈（０，＋∞）ｊ匾－成儿－１．．，　所以ｇ（　）在（０，＋∞）为减函数．　当ｎ≥２时＇ｌｎ（１＋　）一　＜ｇ（０）：０　凡一Ｊ　ｎ—ｌ　ｌｎ　＜　故　ｎ　Ｔ２＋　ｎ吾＋ｔｎ　＋…＋，ｎ　＜・＋　１　１　＋了＋…＋　综上：÷＋　＋寻＋…＋　＜－ｎ　ｎ＜・＋　＋　一＋…＋　．＋　（　∈Ｎ　且凡≥２）　∈　且凡≥２）　作者简介方秦金，男，福建武平人，生于１９６７年９月，　中学高级教师，从事中学数学教学与高中数学奥赛研究，在　ＣＮ刊物发表文章三十余编，主编或参编教辅用书十余本，是　福建省优秀青年教师，福建省优秀教师、福建省中小学优秀　班主任，龙岩市优秀青年专业人才．