2016年山西省中考数学试卷(解析版)

一、选择题 1．A．

1的相反数是（ A ） 611 B．-6 C．6 D． 66考点：相反数

解析：利用相反数和为0计算 解答：因为a+（-a）=0

11 ∴的相反数是

66

x502．不等式组的解集是（ C ）

2x6A．x>5 B．x<3 C．-5考点： 解一元一次不等式组

分析： 先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．

x50①解答： 解

2x6 ② 由①得x>-5

由②得x<3

所以不等式组的解集是-53．以下问题不适合全面调查的是（ C ）

A．调查某班学生每周课前预习的时间 B．调查某中学在职教师的身体健康状况 C．调查全国中小学生课外阅读情况 D．调查某篮球队员的身高 考点：全面调查与抽样调查．

分析：一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选 择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查．

解答：A．调查某班学生每周课前预习的时间，班级容量小，且要求精准度高，用全面调查 B．调查某中学在职教师的身体健康状况，人数不多，容易调查，适合普查；

C．调查全国中小学生课外阅读情况 ，中学生的人数比较多，适合采取抽样调查； D．调查某篮球队员的身高，此种情况数量不是很大，故必须普查；

4．如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方体中的数字表示该位置小正方

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体的个数，则该几何体的左视图是（ A ）

考点：三视图

分析：根据俯视图上的数字确定，每一列上的个数由该方向上的最大数决定． 解答：从左面看第一列可看到3个小正方形，第二列有1个小正方形 故选A．

5．我国计划在2020年左右发射火星探测卫星．据科学研究，火星距离地球的最近距离约为5500万千米，这个数据用科学计数法可表示为（ B ）

A．5.5106 B．5.5107 C．55106 D．0.55108

考点：科学记数法—表示较大的数．

分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时， 要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当 原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 解答：将55 000 000用科学记数法表示为：5.5107．

6．下列运算正确的是 （ D ）

9133（3a2）9a6 C．5-35-5A． B． D．8-50-32

42522考点：实数的运算，幂的乘方，同底数幂的除法，

分析：根据实数的运算可判断A． 根据幂的乘方可判断B．

根据同底数幂的除法可判断C． 根据实数的运算可判断D 93解答：A．，故A错误

423（3a2）27a6，故B错误 B．

2 C．5-35-5111555225，故C错误． 353555 D．8-50225232，故选D．

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7．甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600kg，甲搬运5000kg所用的时间与乙搬运8000kg所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少kg货物．设甲每小时搬运xkg货物，则可列方程为（ B ）

5000800050008000A． B． x600xxx600C．

5000800050008000 D． x600xxx6005000， x8000

x600考点：分式方程的应用

分析：设甲每小时搬运xkg货物，则甲搬运5000kg所用的时间是：

根据题意乙每小时搬运的货物为x+600，乙搬运8000kg所用的时间为

再根据甲搬运5000kg所用的时间与乙搬运8000kg所用的时间相等列方程 解答：甲搬运5000kg所用的时间与乙搬运8000kg所用的时间相等，所以 故选B．

8．将抛物线yx24x4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（ D ）

2A．y(x1)213 B．y(x5)23 C．y(x5)213 D．yx13

50008000 xx600考点：抛物线的平移

分析：先将一般式化为顶点式，根据左加右减，上加下减来平移

解答：将抛物线化为顶点式为：y(x2)28，左平移3个单位，再向上平移5个单位

2 得到抛物线的表达式为yx13

故选D．

9．如图，在ABCD中，AB为O的直径，O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB=12，C60，则FE的长为（ C ） A．

 B． C． D．2 32考点：切线的性质，求弧长 分析：如图连接OF，OE

由切线可知490，故由平行可知390

由OF=OA，且C60，所以1C60所以△OFA为等 边三角形∴260，

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从而可以得出FE所对的圆心角然后根据弧长公式即可求出 解答：EOF180-2-3180-60-9030 r=12÷2=6

nr306180180 ∴FE=

故选C

5-1（约为0．618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，2给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连接EF；以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线与点G；作GHAD，交AD的延长线于点H．则图中下列矩形是黄金矩形的是（ D ）

A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH

10．宽与长的比是

考点：黄金分割的识别

分析：由作图方法可知DF=5CF，所以CG=(51)CF，且GH=CD=2CF 从而得出黄金矩形 解答：CG=(51)CF，GH=2CF CG(51)CF512CF2 ∴GH ∴矩形DCGH是黄金矩形

选D． 二、填空题

11．如图是利用网格画出的太原市地铁1，2，3号线路部分规划示意图．若建立适当的平面直角坐标系，表示双塔西街点的坐标为（0，-1），表示桃园路的点的坐标为（-1，0），则表示太原火车站的点（正好在网格点上）的坐标是 （3，0） ．

考点：坐标的确定

分析：根据双塔西街点的坐标为（0，-1），可知大南 门为坐标原点，从而求出太原火车站的点（正

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好在网格点上）的坐标

解答：太原火车站的点（正好在网格点上）的坐标 （3，0）

12．已知点（m-1，y1），（m-3，y2）是反比例函数ym(m0)图象上的两点，则y1 > y2（填x“>”或“=”或“<”） 考点：反比函数的增减性

分析：由反比函数m<0，则图象在第二四象限分别都是y随着x的增大而增大 ∵m<0，∴m-1<0，m-3<0，且m-1>m-3，从而比较y的大小

m解答：在反比函数y中，m<0，m-1<0，m-3<0，在第四象限y随着x的增大而增大

x 且m-1>m-3，所以y1 > y2

13．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n个图案中有（4n+1）个涂有阴影的小正方形（用含有n的代数式表示）．

考点：找规律

分析：由图可知，涂有阴影的正方形有5+4（n-1）=4n+1个 解答：（4n+1）

14．如图是一个能自由转动的正六边形转盘，这个转盘被三条分割线分成形状相同，面积相等的三部分，且分别标有“1”“2”“3”三个数字，指针的位置固定不动．让转盘自动转动两次，当指针

4指向的数都是奇数的概率为

9考点：树状图或列表求概率 分析：列表如图： 1 （1，1） 1 （2，1） 2 （3，1） 3

2 （1，2） （2，2） （3，2）

3 （1，3） （2，3） （3，3）

4解答：由表可知指针指向的数都是奇数的概率为 9

15．如图，已知点C为线段AB的中点，CD⊥AB且CD=AB=4，连接AD，BE⊥AB，AE是DAB的平分线，与DC相交于点F，EH⊥DC于点G，交

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5AD于点H，则HG的长为 3-（或25251）

考点：勾股定理，相似，平行线的性质，角平分线； 分析：由勾股定理求出DA，

由平行得出12，由角平分得出23 从而得出13，所以HE=HA． 再利用△DGH∽△DCA即可求出HE， 从而求出HG

解答：如图（1）由勾股定理可得 DA=AC2CD2224225

由 AE是DAB的平分线可知12

由CD⊥AB，BE⊥AB，EH⊥DC可知四边形GEBC为矩 形，∴HE∥AB，∴23 ∴13 故EH=HA 设EH=HA=x

则GH=x-2，DH=25x ∵HE∥AC ∴△DGH∽△DCA ∴

DHHG25-xx2即 2DAAC25 解得x=5-5 故HG=EH-EG=5-5-2=35

三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题共2个小题，每小题5分，共10分） 1（1）计算：(3)521822

0考点：实数的运算，负指数幂，零次幂

分析：根据实数的运算，负指数幂，零次幂三个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根 据实数的运算法则求得计算结果．

解答：原=9-5-4+1 ……………………………（4分） =1． ……………………………（5分） 2x22xx（2）先化简，在求值：2，其中x=-2． x1x1考点：分式的化简求值

分析：先把分子分母因式分解，化简后进行减法运算

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解答：原式= = =

2x(x1)x ……………………………（2分） (x1)(x1)x12xx ……………………………（3分） x1x1x ……………………………（4分） x1 当x=-2时，原式=

x22 ……………………（5分） x121217．（本题7分）解方程：（2x3）x29

考点：解一元二次方程

分析：方法一：观察方程，可先分解因式，然后提取x-3，利用公式法求解 方法二：将方程化为一般式，利用公式法求解 解答：解法一：

22x3）(x3)(x3) ……………………………（1分） 原方程可化为（ 2(x3)2(x3)(x3)0． ……………………………（2分） (x3)[2(x3)(x3)]0． ……………………………（3分）

(x3)(x-9)0． ……………………………（4分） ∴ x-3=0或x-9=0． ……………………………（5分） ∴ x13，x29． ……………………………（7分） 解法二： 原方程可化为

x212x270 ……………………………（3分）

这里a=1，b=-12，c=27． ∵b24ac(12)24127360 ∴x1236126． ……………………………（5分） 212 因此原方程的根为 x13，x29． ……………………………（7分） 18．（本题8分）每年5月的第二周为：“职业教育活动周”，今年我省

以“弘扬工匠精神，打造技能强国”为主题的系列活动，活动期间某职业织全校师生并邀请学生社区居民参加“职教体活动，相关职业技术人了现场演示，活动后该校随机抽取了部分学生进行调查：“你最感兴

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展开了中学组家长和验观摩”员进行

趣的一种职业技能是什么？”并对此进行了统计，绘制了统计图（均不完整）． （1）补全条形统计图和 扇形统计图；

（2）若该校共有1800名学生，请估计该校对“工业设计”最感兴趣的学生有多少人? （3）要从这些被调查的 学生中随机抽取一人进

行访谈，那么正好抽到对“机电维修”最感兴趣的学生的概率是 考点：条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，简单概率

分析：（1）利用条形和扇形统计图相互对应求出总体，再分别计算即可

（2）由扇形统计图可知对“工业设计”最感兴趣的学生有30%，再用整体1800乘以 30%

（3）由扇形统计图可知

解答：（1）补全的扇形统计图和条形统计图如图所示

（2）1800×30%=540（人）

∴估计该校对“工业设计”最感兴趣的学生是540人

（3）要从这些被调查的学生中随机抽取一人进行访谈，那么正好抽到对“机电维修”

13 最感兴趣的学生的概率是 0.13（或13%或）

100

19．（本题7分）请阅读下列材料，并完成相应的任务：

阿基米德折弦定理

阿基米德（Archimedes，公元前287~公元212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．

阿拉伯Al-Biruni（973年~1050年）的译文中保存了阿

基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．

阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是O的两条弦（即折线ABC

是圆的一条折弦），BC>AB，M是ABC的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，第 8 页 共 15 页

即CD=AB+BD．

下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．

证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG． ∵M是ABC的中点， ∴MA=MC ．．．

任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）填空：如图（3），已知等边△ABC内接于O，AB=2，O上一点，

ABD45，AE⊥BD与点E，则△BDC的长是 222 ．

D为

考点：圆的证明

分析：（1）已截取CG=AB ∴只需证明BD=DG 且MD⊥BC，所以需证明MB=MG 故证明△MBA≌△MGC即可 （2）AB=2，利用三角函数可得BE=2

由阿基米德折弦定理可得BE=DE+DC 则△BDC周长=BC+CD+BD=BC+DC+DE+BE =BC+（DC+DE）+BE

=BC+BE+BE =BC+2BE 然后代入计算可得答案 解答：（1）证明：又∵AC， …………………（1分） ∴ △MBA≌△MGC． …………………（2分） ∴MB=MG． …………………（3分） 又∵MD⊥BC，∵BD=GD． …………………（4分） ∴CD=CG+GD=AB+BD． …………………（5分） （2）填空：如图（3），已知等边△ABC内接于O，AB=2，

D为O 上 一点， ABD45，AE⊥BD与点E，则△BDC 的长是 222 ．

20．（本题7分）我省某苹果基地销售优质苹果，该基地对需要送货

且购买量在2000kg~5000kg（含2000kg和5000kg）的客户有两种 销售方案（客户只能选择其中一种方案）： 方案A：每千克5．8元，由基地免费送货． 方案B：每千克5元，客户需支付运费2000元．

（1）请分别写出按方案A，方案B购买这种苹果的应付款y（元）与购买量x（kg）之间的函数表达式；

（2）求购买量x在什么范围时，选用方案A比方案B付款少；

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（3）某水果批发商计划用20000元，选用这两种方案中的一种，购买尽可能多的这种苹果，请直接写出他应选择哪种方案．

考点： 一次函数的应用

分析：（1）根据数量关系列出函数表达式即可

（2）先求出方案A应付款y与购买量x的函数关系为y5.8x

方案B 应付款y与购买量x的函数关系为y5x2000 然后分段求出哪种方案付款少即可

（3）令y=20000，分别代入A方案和B方案的函数关系式中，求出x，比大小． 解答：（1）方案A：函数表达式为y5.8x． ………………………（1分）

方案B：函数表达式为y5x2000 ………………………（2分） （2）由题意，得5.8x5x2000． ………………………（3分）

解不等式，得x<2500 ………………………（4分） ∴当购买量x的取值范围为2000x2500时，选用方案A

比方案B付款少． ………………………（5分） （3）他应选择方案B． ………………………（7分）

21．（本题10分）太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业，如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同，均为300cm，AB的倾斜角为30，BE=CA=50cm，支撑角钢CD，EF与底座地基台面接触点分别为D，F，CD垂直于地面，FEAB于点E．两个底座地基高度相同（即点D，F到地面的垂直距离相同），均为30cm，点A到地面的垂直距离为50cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少cm（结果保留根号）

考点：三角函数的应用

分析：过点A作AGCD，垂足为G，利用三角函数求出CG，从 而求出GD，继而求出CD．

连接FD并延长与BA的延长线交于点H，利用三角函数求出 CH，由图得出EH，再利用三角函数值求出EF

解答：过点A作AGCD，垂足为G．…………（1分）

则CAG30，在RtACG中，

1CGACsin305025．…………（2分）

2由题意，得GD503020．…………（3分） CDCGGD252045（cm）．…（4分） 连接FD并延长与BA的延长线交于点H．…（5分）

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由题意，得H30．在RtCDH中，

CDCH2CD90．……………………（6分）

sin30EHECCHABBEACCH300505090290．………（7分） 在RtEFH中，EFEHtan30290答：支撑角钢CD的长为45cm，EF的长为

32903（cm）．……………（9分） 332903cm．……………………（10分） 3

22．（本题12分）综合与实践 问题情境

在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片ABCD（BAD90）沿对角线AC剪开，得到ABC和ACD． 操作发现

（1）将图1中的ACD以A为旋转中心， 逆时针方向旋转角，使 BAC， 得到如图2所示的ACD，分别延长BC 和DC交于点E，则四边形ACEC的 状是 菱形 ；……………（2分） （2）创新小组将图1中的ACD以A为

旋转中心，按逆时针方向旋转角 ，使2BAC，得到如图3所

示的ACD，连接DB，CC，得到四边形BCCD，发现它是矩形．请你证明这个论； （3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图3中BC=13cm，AC=10cm，然后提出一个问题：

将ACD沿着射线DB方向平移acm，得到ACD，连接BD，CC，使四边形BCCD恰好为正方形，求a的值．请你解答此问题；

（4）请你参照以上操作，将图1中的ACD在同一平面内进行一次平移，得到ACD，在图4中

画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明． 考点：几何综合，旋转实际应用，平移的实际应用，旋转的性质，平移的性质，菱形的判定， 矩形的判定正方形的判定

分析：（1）利用旋转的性质和菱形的判定证明 （2）利用旋转的性质以及矩形的判定证明

（3）利用平移行性质和正方形的判定证明，需注意射线这个条件，所以需要分两种情 况当点C在边CC上和点C在边CC的延长线上时． （4）开放型题目，答对即可 解答：（1）菱形

（2）证明：作AECC于点E．…………………………………………（3分）

1由旋转得ACAC，CAECAEBAC．

2四边形ABCD是菱形，BABC，BCABAC，CAEBCA，AE//BC，

同理AE//DC，BC//DC，又BCDC， 四边形BCCD是平行四边形，…………………（4分）

又AE//BC，CEA90，BCC180CEA90，

∴四边形BCCD是矩形…………………………………………（5分）

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（3）过点B作BFAC，垂足为F，BABC，

11 CFAFAC105．

22 在RtBCF 中，BFBC2CF21325212，

在ACE和CBF中，CAEBCF， CEABFC90．

CBACCE10120 ACE∽CBF，，即，解得CE， BFBC121313 ACAC，AECC，CC2CE2120240．…………………（7分） 1313 当四边形BCCD恰好为正方形时，分两种情况：

24071 ①点C在边CC上．aCC13．…………………（8分） 131313 ②点C在边CC的延长线上，aCC13 综上所述，a的值为

240409．……………（9分） 13131371409或． 1313 （4）：答案不唯一．

例：画出正确图形．……………………………………（10分）

平移及构图方法：将ACD沿着射线CA方向平移，平移距离为1AC的长度，得到ACD， 2连接AB,DC．………………………（11分） 结论：四边形是平行四边形……（12分） 23．（本题14分）综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yax2bx8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（－2，0），（6，－8）．

（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标； （2）试探究抛物线上是否存在点F，使FOE≌FCE，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q．试探究：当m为何值时，OPQ是等腰

三角形．

考点：求抛物线的解析式，求点坐标，全等构成，等腰三角形的构 成

分析：（1）将A，D的坐标代入函数解析式，解二元一次方程即可求出函数表达式 点B坐标：利用抛物线对称性，求出对称轴结合A点坐标即可求出B点坐标 点E坐标：E为直线l和抛物线对称轴的交点，利用D点坐标求出l表达式，令 其横坐标为x3，即可求出点E的坐标

（2）利用全等对应边相等，可知FO=FC，所以点F肯定在OC的垂直平分线上，所

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以点F的纵坐标为-4，带入抛物线表达式，即可求出横坐标

（3）根据点P在y轴负半轴上运动，∴分两种情况讨论，再结合相似求解

解答：（1）抛物线yax2bx8经过点A（－2，0），D（6，－8）， 14a2b80a解得2…………………………………（1分） 36a6b88b3抛物线的函数表达式为y1x23x8……………………………（2分）

2y12125，抛物线的对称轴为直线x3．又抛物线与x轴交于A，Bx3x8x32222两点，点A的坐标为（－2，0）．点B的坐标为（8，0）…………………（4分）

4k设直线l的函数表达式为ykx．点D（6，－8）在直线l上，6k=－8，解得．

3直线l的函数表达式为y4x………………………………………………………（5分）

3434，即点E的坐标点E为直线l和抛物线对称轴的交点．点E的横坐标为3，纵坐标为3为（3，－4）……………………………………………………………………（6分） （2）抛物线上存在点F，使FOE≌FCE．

点F的坐标为（317,4）或（317,4）．……………………………………（8分） （3）解法一：分两种情况：

①当OPOQ时，OPQ是等腰三角形．

OE32425，点E的坐标为（3，－4），

过点EH，则

作直线ME//PB，交y轴于点M，交x轴于点

OMOE，OPOQOMOE5……………………………………（9分） 点M的坐标为（0，－5）．

3k154，设直线ME的表达式为yk1x5，

11kyx5，解得1，ME的函数表达式为

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令y=0，得

1x50，解得x=15，点H的坐标为（15，0）…（10分） 38OPOBm8m又MH//PB，，即……………………………（11分） ，3OMOH515②当QOQP时，OPQ是等腰三角形． 当x=0时，y12x3x88，点C的坐标为（0，－8）， 2CE32(84)25，OE=CE，12，又因为QOQP，13， 23，CE//PB………………………………………………………………（12分）

4kykx83k84设直线CE交x轴于点N，其函数表达式为，，解得2，CE的函223数表达式为y44x8，令y=0，得x80，x6，点N的坐标为 33（6，0）………………………………………………………………（13分）

m8OPOB32CN//PB，，………………（14分） ，解得m86OCON3综上所述，当m的值为或解法二：

当x=0时，y8332时，OPQ是等腰三角形． 312x3x88 ，点C的坐标为（0，－8），点E的坐标为 2OE32425，（3，－4），CE32(84)25，

OE=CE，12，设抛物线的对称轴交直线PB于

点M，交x轴于点H．分两种情况：

① 当QOQP时，OPQ是等腰三角形．

，，1323CE//PB………………………………………（9分）

又HM//y轴，四边形PMEC是平行四边形，EMCP8m， HMHEEM4(8m)4mHM//y轴，

BH835，

∽，BOPBHMHMBH……………………………………………………OPBO（10分）

第 14 页 共 15 页

4m532m………………………………………………………（11分） m83②当OPOQ时，OPQ是等腰三角形． EH//y轴，OPQ∽EMQ，EQEM，EQEM……………（12分） OQOPBHM∽HM4(5m)，EH//y轴，EMEQOEOQOEOP5(m)5m，

BOP，HMBH…………………………………………………（13分） OPBO88m………………（14分）

31m5m8当m的值为或32时，OPQ是等腰三角形． 33

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