函数零点问题中参数范围的解法探究

函数零点问题中参数范围的解法探究

贺凤梅

(新疆伊犁巩留县高级中学　８３５４００)

摘　要:已知函数零点的个数ꎬ求解参数的范围是目前高考和模考考查的热点和难点.这类问题考查学生函数与方程之间的转化能力.利用参变分离法、分离函数法、数形结合等重要的数学方法可以灵活处理这类题型ꎬ提升学生的核心素养.

关键词:函数零点ꎻ导数ꎻ数形结合

中图分类号:Ｇ６３２　　　文献标识码:Ａ　　　文章编号:１００８－０３３３(２０２３)０１－００７７－０４

１问题呈现

题目　(新疆维吾尔自治区２０２２年普通高考第二次适应性检测理科卷第１０题)若函数ｆ(ｘ)＝ｘ３－ａｘ２＋ｅｘ－ｌｎｘ有两个零点ꎬ则ａ的取值范围为(　　).

Ａ.(０ꎬ２ｅ＋

１１

]　　　　Ｂ.(２ｅ－ꎬ＋¥)２ｅ２ｅ１

]２ｅ２

Ｄ.(－¥ꎬ２ｅ－

的情况ꎬ进而求出参数的取值范围ꎻ可以根据零点个数ꎬ分类讨论细化解题ꎬ求出ａ的范围ꎻ作为选择题ꎬ还可以借助题设和选项的特点ꎬ利用排除法得出正确答案.但每种方法操作均不容易ꎬ在解题过程中会碰到一些障碍.下面具体分享一下ꎬ希望能帮助学生找到解决这类问题的突破口.

Ｃ.(－¥ꎬ１＋

１)２ｅ

３试题解答

视角１　分离参数ꎬ构造函数.

ｅｘ－ｌｎｘ有两个零点等价于ｆ(ｘ)＝０有两个正根.

分离参数ꎬ得ａ＝ｘ＋

ｅｌｎｘ

－２(ｘ>０).ｘｘ

ｅｌｎｘ

－２(ｘ>０)ꎬ求导得ｘｘ

解法１　因为ｘ>０ꎬ所以函数ｆ(ｘ)＝ｘ３－ａｘ２＋

２总体分析

本题题设简洁ꎬ将函数、导数、零点等知识有机结合起来ꎬ多层次、多角度地考查了学生的数学思维和核心素养ꎬ同时考查了学生利用导数解决问题的能力ꎬ对逻辑推理、数学运算等提出了较高的要求.本题解法多样ꎬ可以直接利用参变分离法求解ꎻ也可以利用分离函数法解答ꎬ利用导数的几何意义ꎬ即切线的斜率求解入手ꎬ再从相切逆推至函数图象相交

收稿日期:２０２２－１０－０５

令ｇ(ｘ)＝ｘ＋ｇ′(ｘ)＝１－

ｅ１－２ｌｎｘ－ｘ２ｘ３

ｘ３－ｅｘ＋２ｌｎｘ－１

＝.

ｘ３

作者简介:贺凤梅(１９７９－)ꎬ女ꎬ湖北省随州人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事中学数学教学研究.

—７７—

Copyright©博看网. All Rights Reserved.

令ｈ(ｘ)＝ｘ３－ｅｘ＋２ｌｎｘ－１ꎬ则ｈ′(ｘ)＝３ｘ２＋

２－ｅ.ｘ

ｅｌｎｘ

→０ꎬ２→０ꎬｘｘ则ｇ(ｘ)→＋¥.

要使直线ｙ＝ａ与函数ｇ(ｘ)＝ｘ＋

１

)３

０)图象有两个交点ꎬ必有ａ>２ｅ－

故选Ｂ.

１.２ｅ

②

ｅｌｎｘ－２(ｘ>ｘｘ

令ｍ(ｘ)＝３ｘ２＋则ｍ′(ｘ)＝６ｘ－当ｘ∈(０ꎬ

３

２

－ｅꎬｘ２＝ｘ２

６(ｘ３－

ｘ２

.

１)时ꎬｍ′(ｘ)<０ꎬ３

３

评注　这种解法要注意多次求导的目的ꎬ否则思路易乱.另外①处学生不容易想到ꎬ感觉从天而降.事实上ꎬ这是一种数学直观ꎬ对于含有超越式ｌｎｘ的函数ꎬ我们应关注自变量为ｅꎬｅ的函数值ꎬ这应该是经验主义和数学基本修养ꎬ根据实际需要进行验证.②处一定要作说明ꎬ以确认函数单调递减的源头和单调递增的尽头ꎬ进而保证交点个数不再有新变化ꎬ否则不能下结论.这一点学生容易想当然.下面举一反例:的是(　　

下列关于函数ｆ(ｘ)＝(２ｘ－ｘ２)ｅｘ的判断正确

).

(１)ｆ(ｘ)>０的解集是{ｘ０<ｘ<２}ꎻ(３)ｆ(ｘ)没有最小值ꎬ也没有最大值.

①

所以ｍ(ｘ)在(０ꎬ当ｘ∈(

３

１

ꎬ＋¥)时ꎬｍ′(ｘ)>０ꎬ３

３

１)上单调递减.３

所以ｍ(ｘ)在(

因此ｍ(ｘ)≥ｍ(３－ｅ􀅰

３

３

３

１

ꎬ＋¥)上单调递增.３１)３

＝

１３

１３

>０ꎬ

２

－ｅ>０.ｘ

所以ｈ′(ｘ)＝３ｘ２＋

(２)ｆ(－２)是极小值ꎬｆ(２)是极大值ꎻ易知ｆ(ｘ)在(－¥ꎬ－２)上单调递减ꎬ在(－２ꎬ２)上单调递增ꎬ在(２ꎬ＋¥)上单调递减.０ꎻ当ｘ→＋¥时ꎬｆ(ｘ)→－¥ꎬ所以ｆ(ｘ)ｍａｘ＝ｆ(２).这样可以断定(３)是错误的!

解法２　结合解法１ꎬｇ′(ｘ)＝１－

ｅ１－２ｌｎｘ－ｘ２ｘ３

为了降低①的风险ꎬ我们有新的处理方式如下:

从而ｈ(ｘ)在(０ꎬ＋¥)上单调递增ꎬ且ｈ(ｅ)＝ｅｅ－ｅｅ＋２ｌｎｅ－１＝０ꎬ当ｘ∈(０ꎬｅ)时ꎬｇ′(ｘ)<０ꎬ所以ｇ(ｘ)在(０ꎬｅ)上单调递减ꎻ当ｘ∈(ｅꎬ＋¥)时ꎬｇ′(ｘ)>０ꎬ所以ｇ(ｘ)在(ｅꎬ＋¥)上单调递增.所以ｇ(ｘ)≥ｇ(ｅ)＝ｅ＋＝２ｅ－

ｅｌｎｅ－

ｅｅ１ꎬ２ｅ

基于此ꎬ(３)仿佛是对的.但是当ｘ→－¥时ꎬｆ(ｘ)→

(ｘ２－ｅ)ｘ＋(ｌｎｘ２－１)＝ꎬ

ｘ３

②

(ｘ２－ｅ)ｘ＋(ｌｎｘ２－１)

令ｇ′(ｘ)＝＝０ꎬ

ｘ３

观察发现ｘ＝ｅ是ｘ２－ｅ＝０和ｌｎｘ２－１＝０的公

又当ｘ→０时ꎬ

由洛必达法则知ｇ(ｘ)→＋¥ꎻ—７８—

当ｘ→＋¥时ꎬ

Copyright©博看网. All Rights Reserved.

共解ꎬ结合方程结构特征得ｘ＝ｅ是ｇ′(ｘ)＝０的解.

下同解法１.

评注　此种处理方法需要较高的观察能力和配凑思维ꎬ值得我们思考和借鉴ꎬ提高解题能力.导数中有的零点是较难处理的ꎬ需要很多代数技巧作支撑ꎬ也要充分利用零点解题ꎬ尤其是隐零点ꎬ它可以帮助我们化超越函数为基本初等函数ꎬ还可能起到降次的作用ꎬ整体代换后还可能达到消元的目的.

视角２　分裂原函数ꎬ构造新函数.

解法３　令ｆ(ｘ)＝ｘ３－ａｘ２＋ｅｘ－ｌｎｘ＝０(ｘ>０)ꎬｌｎｘ

整理ꎬ得ｘ－＝ａｘ－ｅ.

ｘ

２２

２ｔ３－１＋ｌｎｔ

.ｔ２

由切点(ｔꎬｔ２－ｇ(ｘ)＝ｘ２－

ｔ２－

ｌｎｔ

)在直线ｙ＝ａｘ－ｅ和函数ｔ

ｌｎｘ

(ｘ>０)的图象上ꎬ得ｘ

ｌｎｔ

＝ａｔ－ｅꎬｔ

ｌｎｔ＋ｅｔ

.ｔ

ｔ２－

ｌｎｔ＋ｅｔ

.ｔ

③

整理ꎬ得切线斜率ａ＝

ｔ２－

２ｔ－１＋ｌｎｔ故＝

ｔ２

３

ｌｎｘ

令ｇ(ｘ)＝ｘ－(ｘ>０)ꎬ

ｘ求导ꎬ得ｇ′(ｘ)＝

２ｘ－１＋ｌｎｘ

.

ｘ２

３

整理ꎬ得ｔ３＋２ｌｎｔ－ｅｔ－１＝０.经验证ｔ＝ｅ时ꎬ方程③成立.所以切点为(ｅꎬｅ－

１).２ｅ令φ(ｘ)＝２ｘ３－１＋ｌｎｘꎬ则φ′(ｘ)＝６ｘ２＋

１

>０在(０ꎬ＋¥)上恒成立.ｘ

代入直线ｙ＝ａｘ－ｅ中ꎬ得ｅ－

１＝ａｅ－ｅꎬ２ｅ所以φ(ｘ)＝２ｘ３－１＋ｌｎｘ在(０ꎬ＋¥)上单调递增ꎬ１３

且φ()＝－－ｌｎ２<０ꎬφ(１)＝１>０.

２４１

所以存在ｘ０∈(ꎬ１)ꎬ使φ(ｘ０)＝０.

２当ｘ∈(０ꎬｘ０)时ꎬｇ′(ｘ)<０ꎬ所以ｇ(ｘ)在(０ꎬｘ０)上单调递减ꎻ当ｘ∈(ｘ０ꎬ＋¥)时ꎬｇ′(ｘ)>０ꎬ所以ｇ(ｘ)ｍｉｎ＝ｇ(ｘ０)＝ｘ２０－下面研究函数ｇ(ｘ)＝ｘ２－线ｙ＝ａｘ－ｅ相切情形.

不妨设切点(ｔꎬｔ２－

ｌｎｔ

)ꎬｔ

所以ｇ(ｘ)在(ｘ０ꎬ＋¥)上单调递增.

ｌｎｘ０

.ｘ０

－

解得ａ＝２ｅ－

１.２ｅ

结合图象可知ꎬ当ａ∈(２ｅ－ｇ(ｘ)＝ｘ２－不同交点.

故选Ｂ.

ｌｎｘ

(ｘ>０)图象与直线ｙ＝ａｘ－ｅ有两个ｘ

１

ꎬ＋¥)时ꎬ函数２ｅ

评注　这种解法将题设转化为函数ｇ(ｘ)＝ｘ２ｌｎｘ

(ｘ>０)与函数ｙ＝ａｘ－ｅ的图象在(０ꎬ＋¥)内ｘ

ｌｎｘ

(ｘ>ｘ

ｌｎｘ

(ｘ>０)图象与直ｘ

有两个不同的交点.准确把握ｇ(ｘ)＝ｘ２－

０)的单调性和最值ꎬ借助该函数与直线ｙ＝ａｘ－ｅ相切ꎬ求出ａ的临界值ꎬ数形结合求得ａ的取值范围.转化与化归思想考查得淋漓尽致.

解法４　由ｘ３－ａｘ２＋ｅｘ－ｌｎｘ＝０(ｘ>０)ꎬ得

—７９—

２ｘ３－１＋ｌｎｘ

由ｇ′(ｘ)＝得切线斜率ａ＝ｇ′(ｔ)＝

ｘ２

Copyright©博看网. All Rights Reserved.

ｘ２－

ｌｎｘ

－ａｘ＋ｅ＝０.ｘ

ｌｎｘ

＋ｅ＝ａｘ.ｘ

短时间内发现非正确项的破绽.

移项ꎬ得ｘ２－

４高考链接

题１　(２０１６年全国Ⅱ卷第２１题第(１)问)已知函数ｆ(ｘ)＝(ｘ－２)ｅｘ＋ａ(ｘ－１)２有２个零点.求ａ的取值范围ꎻ

题２　(２０１７年全国Ⅱ卷第２１题第(２)问)已知函数ｆ(ｘ)＝ａｅ２ｘ＋(ａ－２)ｅｘ－ｘ.若函数ｆ(ｘ)有两个零点ꎬ求ａ的取值范围.

通过对此题多种解题方法的探究和比较ꎬ能很好地提升学生分析问题和解决问题的能力ꎬ逐步培养学生的核心素养ꎬ提升学习效率ꎬ让学生所学的知识系统化.另外ꎬ分离变量、分离函数借助于数形结合是突破此类题的关键ꎬ尤其是曲线与直线相切地恰当使用.可以说ꎬ题目从知识立意、能力立意向价值引领、素养导向的转变ꎬ很好地体现了试题的甄别功能.因此ꎬ我们的教学ꎬ绝不能够仅仅停留在刷题的层面ꎬ一定要在能力和素养上下功夫.

ｌｎｘ

令λ(ｘ)＝ｘ２－＋ｅ和φ(ｘ)＝ａｘ.

ｘ同理可解.

评注　解法４和解法３有异曲同工之妙ꎬ本质是两个函数图象整体平移ꎬ不再赘述ꎬ感兴趣的同仁可以自行试验一下.事实上ꎬ构造函数没有特殊的要求ꎬ关键在于新函数易于研究ꎬ直观形象就好.这一点对学生来说是一个挑战ꎬ形异质同解法会带来解题创新思路ꎬ对学生的能力提升大有裨益.

当然我们也可以直接转化为函数ｆ(ｘ)＝ｘ３

－ａｘ２＋ｅｘ－ｌｎｘ的图象与ｘ轴交点的个数ꎬ分类

讨论求出参数ａ的范围ꎬ此法求解原则上可行ꎬ但运算量较大.讨论中要保证分类的科学性ꎬ做到既不重复ꎬ又不遗漏ꎬ是求解此问题的关键ꎬ限于篇幅ꎬ不再赘述.

视角３　特值验证ꎬ小题速解.０ꎬ则ｅ３ｔ－ａｅ２ｔ＋ｅｔ＋１－ｔ＝０.

ｔ

解法５　观察选项与ｌｎｘ无关ꎬ不妨设ｆ(ｅｔ)＝分离变量ꎬ得ａ＝ｅ＋ｅ

１－ｔ

参考文献:

[１]谢强ꎬ罗毅.基于函数零点个数求参数范围的几

种解法———由一道高考题展开的思考[Ｊ].高中数理化ꎬ２０１８(１０):７－８.

[２]任志鸿.十年高考(数学２０２０年版)[Ｍ].北

京:知识出版社ꎬ２０２０.

[３]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标

准(２０１７年版２０２０年修订)[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２０２０.

[４]教育部考试中心.中国高考评价体系[Ｍ].北

京:人民教育出版社ꎬ２０１９.

[５]蔡海涛.探寻函数零点　揭开参数面纱———从

一道高考题谈起[Ｊ].福建中学数学ꎬ２０２１(０３):３８－４０.

[责任编辑:李　璟]

ｔ

－２ｔ.ｅ

ＡꎬＣ.

１１

结合选项ꎬ当ｔ＝时ꎬａ＝２ｅ－ꎬ排除选项

２２ｅ而ａ＝０时ꎬｆ(ｘ)＝ｘ３＋ｅｘ－ｌｎｘꎬ

又ｅｘ>ｌｎｘꎬ此时ｆ(ｘ)>０ꎬ无零点ꎬ不符合题意ꎬ排除选项Ｄ.

故选Ｂ.

评注　作为选择题ꎬ为了节约考试时间ꎬ我们期待小题能小做ꎬ速战速决ꎬ所以结合题设及选项的结构特征ꎬ巧妙换元ꎬ特征值可排除错误选项ꎬ进而快速找到正确选项.这也需要学生有扎实的功底ꎬ在较—８０—

Copyright©博看网. All Rights Reserved.