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必修二 第一章 空间几何体
1.3空间几何体的表面积与体积
一、
1. 某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形,侧视图是半径为1的半圆，
则该几何体的表面积是 ．
223
2. 一个几何体的三视图如图3所示，则该几何体的体积（单位：cm3）为 cm3．
3 3
3. 一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：cm）为__________ 48122
4. 若某几何体的三视图（单位：cm）如图
所示，则此几何体的体积是 cm 18
5. 设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。 则该几何体的体积为 4
6. 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是________ 12
2
3
二、空间几何体的斜二测画法及表面积和体积的计算 （B）
1.一个水平放置的正方形的面积是4, 按斜二测画法所得的直观图是一个四边形, 这个四边形的面积是________________．2 2.一个水平放置的平面图形的直观图(按斜二测画法所得)是一个底角为45，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于 22 3．如图，是△AOB用斜二测画法画出的直观图，则△AOB的面积是_______．16 [解析] 由图易知△AOB中，底边OB＝4，
又∵底边OB的高为8， 1
∴面积S＝×4×8＝16.
2
4．如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，三角形AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积．
解：在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1，由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，1
且上底CD和下底AB的长度都不变，如图所示，在直观图中，O′D′＝OD，梯形的高D′E′
2＝
21232，于是梯形A′B′C′D′的面积为×(1＋2)×＝. 4248
5．已知长方体一个顶点上三条棱的长分别是3、4、5，且它的顶点都在同一球面上，则这
个球的表面积是( )
A．202 C．50π
B．252 D．200π
5
长方体的体对角线即为球的直径，∴2R＝32＋42＋52，∴R＝2，S球＝4πR2＝50π.
26．圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm. 4 [解析] 设球的半径为r，则圆柱形容器的高为6r， 容积为πr2×6r＝6πr3，高度为8cm的水的体积为8πr2,
4
3个球的体积和为3×πr3＝4πr3，由题意6πr3－8πr2＝4πr3，解得r＝4.
3
7．如图所示，三棱柱ABC－A′B′C′中，若E、F分别为AC、AB的中点，平面EC′B′F将三棱柱分成体积为V1(棱台AEF－A′C′B′的体积)，V2的两部分，那么V1:V2＝________. [解析] 设三棱柱的高为h，底面面积为S，体积为V，
则V＝V1＋V2＝Sh.
因为E、F分别为AC、AB的中点， 111
所以S△AEF＝S，所以V1＝h(S＋S＋4345
V2＝V－V1＝Sh.
12所以V1:V2＝7:5.
8．如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是________． [解析] 两个同样的该几何体能拼接成一个高为a＋b的圆柱，
则拼接成的圆柱的体积V＝πr2(a＋b)， πr2
所以所求几何体的体积为
9．如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．
a＋b
. 2
S7
S·)＝Sh， 412
(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出多面体的俯视图． (2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积．
解：(1)俯视图如图所示．
(2)所求多面体体积 V＝V长方体－V正三棱锥 11
＝4×4×6－×(×2×2)×2
32＝
284
(cm3)． 3
10．如图（单位：cm），求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积.
解：由题意，知所成几何体的表面积等于圆台下底面积＋圆台的侧面积＋半球面面积．
1
又S半球面＝×4π×22＝8π(cm2)，
2S圆台侧＝π(2＋5)2
－
2
2＋42＝35π(cm2)，
A 4 B 2 D S圆台下底＝π×5＝25π(cm)， 即该几何全的表面积为 8π＋35π＋25π＝68π(cm2)．
π2
又V圆台＝×(2＋2×5＋52)×4＝52π(cm3)，
314π316πV半球＝××2＝(cm3)．
233
16π140π所以该几何体的体积为V圆台－V半球＝52π－＝(cm3)．
33
5 C
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