第六章 万有引力与航天 复习学案

①椭圆定律 ②面积定律 ③第三定律

例1（2012北京18A）：判断对错：分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的 两颖卫星，不可能具有相同的周期 。（ ）

练习1（2013西城二模17）如图所示，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”运行轨道为椭圆轨道，其近地点M和远地点N的高度分别为439km和

N M 2384km，“东方红一号”卫星D

A．在M点的速度小于在N点的速度

B．在M点的加速度小于在N点的加速度

C．在M点受到的地球引力小于在N点受到的地球引力 D．从M点运动到N点的过程中动能逐渐减小

练习2（2013朝阳二模17）经国际小行星命名委员会命名的“神舟星”和“杨利伟星”的轨道均处在火星和木星轨道之间，它们绕太阳沿椭圆轨道运行，其轨道参数如下表。

远日点 神舟星 杨利伟星 3.575AU 2.197AU 近日点 2.794AU 1.649AU r F向 m F 引M θ 地R w

(2)天体运动都可近似地看成匀速圆周运动,其向心力由万有引力提供,即

注意：如图，一般中心天体半径记为R，环绕天体到中心天体表面的距离记为h，则环绕天体环绕半径记为r，r=R+h

二、万有引力理论的应用 h R 1、解决重力加速度问 忽略中心天体自转得：

表面重力加速度：

轨道重力加速度（距天体表面高h处）：

例2（04北京）： 1990年5月，紫金山天文台将他们发现的第2752号小行星命名为吴健雄星，该小行星的半径为16km。若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体，小行星密度与地球相同。已知地球半径R=6400km,地球表面重力加速度为g。这个小行星表面的重力

加速度为 （ B ）

A．400g B.

11g g C.20g D.20400 注：AU是天文学中的长度单位，1AU=149 597 870 700m（大约是地球到太

阳的平均距离）。

“神舟星”和“杨利伟星”绕太阳运行的周期分别为T1和T2，它们在近日点的加速度分别为a1和a2。则下列说法正确的是A A．T1T2，a1a2 C．T1T2，a1a2

B．T1T2，a1a2 D．T1T2，a1a2

3、万有引力定律表达式：

测量引力常量的科学家 ，实验名称 ， 实验方法 。

4、解决天体圆周运动问题的两条思路

(1)忽略中心天体自转，天体表面物体的重力等于天体给物体的万有引力。 表达式：

黄金代换式：

练习3（05北京20B）：判断对错：已知地球质量大约是月球质量的 81倍，地球半径大约是月球半径的4倍。不考虑地球、月球自转的 影响，由以上数据可推算出地球表面重力加速度与月球表面重力加速 度之比约为9∶4 ( )

练习4（2012新课标）21假设地球是一半径为R.质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为（ ） dA．1－ R

练习5（09年江苏物理）3．英国《新科学家（New Scientist）》杂志评选出了2008年度世界8项科学之最，在XTEJ1650-500双星系统中发现的最小黑洞位列其中，若某黑洞的半径R约45km，质量M和

d

B．1+

R

RdC．

R2RD ．

Rd2Mc22G（其中c为光速，G为引力常量）半径R的关系满足R，则

该黑洞表面重力加速度的数量级为( )

82102122142 A．10m/s B．10m/s C．10m/s D．10m/s

1

2、解决中心天体质量

方法一：忽略中心天体自转得：

思考：测天体表面重力加速度g的方法：

方法二：利用环绕天体的匀速圆周运运动 1.由 得：M = 2.由 得：M = 3.由 得：M = 4.由 得：M =

例3（2011西城二模）16．已知万有引力恒量G，根据下列哪组数据可

以计算出地球的质量C

A．卫星距离地面的高度和其运行的周期 B．月球自转的周期和月球的半径 C．地球表面的重力加速度和地球半径 D．地球公转的周期和日地之间的距离

练习6：（2012 福建）16．一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为

4、解决环绕天体的运动学问题

①.由 得：a = ②.由 得：v = ③.由 得：ω= ④.由 得：T= ⑤.由 得：g=

重要定性结论：高轨 低轨 注意：“速”指的是三速：线速度、角速度、向心加速度

例5： 07北京．不久前欧洲天文学就发现了一颗可能适合人类居住 的行星，命名为“格利斯581c”。该行星的质量是地球的5倍，直径 是地球的1.5倍。设想在该行星表面附近绕行星沿圆轨道运行的人造 卫星的动能为Ek1，在地球表面附近绕地球沿圆轨道运行的同质量的 人造卫星的动能为Ek2，则

Ek1为 （ ） Ek2A、0.13 B、0.3 C、3.33 D、7.5

练习10（2013海淀二模）： 16．甲、乙两颗人造卫星绕地球作圆周运动，周期之比为T1:T2=1:8，则它们的轨道半径之比和运动速率之比分别为 A

A．R1:R2=1:4，v1:v2=2:1 B．R1:R2=4:1，v1:v2=2:1 C．R1:R2=1:4，v1:v2=1:2 D．R1:R2=4:1，v1:21:2

练习11（2012 浙江）15、如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带。假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是（ ）

A.太阳对小行星的引力相同

B.各小行星绕太阳运动的周期小于一年

C.小行星带内侧小行星的向心加速度值大

于小行星带外侧小行星的向心加速度值

D.小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于 地球公转的线速度值

练习12（2012 江苏）8．2011年8

拉格朗日点

月，“嫦娥二号”成功进入了绕“日

地球地拉格朗日点”的轨道，我国成为世

v0假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测

量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为已知引力常量为G,则这颗行星的质量为

N0，

2mvA．

GN2NvC．

Gm4mv B.

GN

4Nv D.

Gm

练习7（2012海淀一模17）判断对错：设想某登月飞船贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动，测得其运动周期为 T。飞船在月球上着陆后，航天员用测力计测得质量为 m 的物体所受重力为 P，已知引力常量为 G。根据上述已知条件，可以估算月球的质量（ ）

3、解决中心天体密度

例4：已知中心天体半径R，环绕天体到中心天体中心的距离r，环绕天体周期T,万有引力常量G，求中心天体密度？

界上第三个造访该点的国家，如图所

太阳 示，该拉格朗日点位于太阳与地球连补充：若环绕天体为近地卫星，则密度为：

线的延长线上，一飞行器位于该点，

在几乎不消耗燃料的情况下与地球练习8（06北京3）：一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞

同步绕太阳做圆周运动，则此飞行器行。认为行星是密度均匀的球体，要确定该行星的密度，只需要测量 的（ ） ( C )

A．线速度大于地球的线速度B．向心加速度大于地球的向心加速度 A.飞船的轨道半径 B.飞船的运行速度

C．向心力仅由太阳的引力提供D．向心力仅由地球的引力提供 C.飞船的运行周期 D.行星的质量

人造卫星、宇宙速度： 练习9（10北京）：16．一物体静置在平均密度为的球形天体表面

（1）近地卫星：贴近中心天体表面（表面附近）运行，即运行半径的赤道上。已知万有引力常量为G，若由于天体自转使物体对天体

表面压力怡好为零，则天体自转周期为（ ） 等于中心天体半径R

1111近地卫星的线速度推导： 2224π3π3π2A．B．C．   D． 3G4πGGG

该速度也称为第一宇宙速度

2

第一宇宙速度是最 发射速度；是最 环绕速度，所以人造卫星的最小周期为 min。

例6（09北京．22.）已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，不考虑地球自转的影响。

（1） 推到第一宇宙速度v1的表达式；

（2） 若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，

求卫星的运行周期T。

练习13（2013房山二模14）宇航员在月球上做自由落体实验，将某

物体由距月球表面高h处释放，经时间t后落到月球表面（设月球半径为R）. 据上述信息推断，月球的第一宇宙速度为 B

可推算出 C

Ａ．地球的平均密度与月球的平均密度之比约为9∶8

Ｂ．地球表面重力加速度与月球表面重力加速度之比约为9∶4 Ｃ．靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器的周期与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器的周期之比约为 8∶9 Ｄ．靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器线速度与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器线速度之比约为 81∶4

练习17（2013海淀二模反馈16A）己知引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T。仅 利用这三个数据，可以估算的物理有 D

A. 月球的质量 B. 地球的密度

C. 地球的半径 D. 月球绕地球运行速度的大小 2Rh2RhA． B． C．

tt5、卫星的追及和变轨： 例9：（2011上海22B）．人造地球卫星在运行过程中由于受到微小的RhRh D．

阻力，轨道半径将缓慢减小。在此运动过程中，卫星所受万有引t2t力大小将 (填“减小”或“增大”)；其动能将

(填“减小”或“增大”)。 （2）同步卫星（静止轨道卫星）：

①周期为 _____h； 例10（09年福建卷）14.“嫦娥一号”月球探测器在环绕月球运行过②角速度与地球的自转角速度____ ； 程中，设探测器运行的轨道半径为r，运行速率为v，当探测器在飞③轨道和赤道共面同心圆 越月球上一些环形山中的质量密集区上空时 ④距地面高度h≈36000km； A.r、v都将略为减小 B.r、v都将保持不变

C.r将略为减小，v将略为增大 D. r将略为增大，v将略为减小 GM⑤线速度v==3.1Km/s；

Rh练习18（2011全国卷1第19题）．我国“嫦娥一号”探月卫星发射2⑥向心加速度a =0.22ms

后，先在“24小时轨道”上绕地球运行(即绕地球一圈需要24小时)；

然后，经过两次变轨依次到达“48小时轨道”和“72小时轨道”；

例7（11北京15）由于通讯和广播等方面的需要，许多国家发射了

最后奔向月球。如果按圆形轨道计算，并忽略卫星质量的变化，则在

地球同步轨道卫星，这些卫星的A

每次变轨完成后与变轨前相比，

A．质量可以不同 B．轨道半径可以不同

A．卫星动能增大，引力势能减小

C．轨道平面可以不同 D．速率可以不同

B．卫星动能增大，引力势能增大

C．卫星动能减小，引力势能减小

例8（12北京18）关于环绕地球运动的卫星，下列说法正确的是

D．卫星动能减小，引力势能增大

（ ）

2 3 A.分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颖卫星，不可能具有相同的周期

例11（2013大兴一模）18. 发射地球同步卫星

1 B.沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道不同位置可能具有相同的速率

时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后点火，

C.在赤道上空运行的两颖地球同步卫星.它们的轨道半径有可能不同 Q 使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火。将卫D.沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面一定会重合

星送入同步圆轨道3。轨道1、2相切于Q点，

轨道2、3相切于P点（如图），则当卫星分别在1，2，3 轨道上正

练习14（2013丰台一模16） 2012年10月25日，我国在西昌卫星

常运行时，以下说法正确的是 （B）

发射中心成功将一颗北斗导航卫星发射升空并送入预定转移轨道。这

A．卫星在轨道3上的周期小于在轨道1的周期

是一颗地球静止轨道卫星，将与先期发射的15颗北斗导航卫星组网

B．卫星经轨道2由Q向P运动过程中速率变小

运行，形成区域服务能力。关于这颗地球静止轨道卫星的说法正确的

C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点

是（D）

时的加速度

A．它的周期与月球绕地球运动的周期相同

D．卫星在轨道2上经过P点的速率大于它在轨道3上经过P点的速

B．它在轨道上运动时可能经过北京的上空

率

C．它运动时的向心加速度大于重力加速度

D．它运动的线速度比地球第一宇宙速度小

例12（09年山东卷）18．2008年9月25日至28日我国成功实施了练习15（08北京）据媒体报道,嫦娥一号卫星环月工作轨道为圆轨道,

“神舟”七号载入航天飞行并实现了航天员首次出舱。飞船先沿椭圆轨道高度200 km,运用周期127分钟。若还知道引力常量和月球平均

半径,仅利用以上条件不能求出的是（ B ） ．．轨道飞行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为

A.月球表面的重力加速度 B.月球对卫星的吸引力

C.卫星绕月球运行的速度 D.卫星绕月运行的加速度

练习16（05北京）已知地球质量大约是月球质量的81倍，地球半径大约是月球半径的4倍。不考虑地球、月球自转的影响，由以上数据

Q

3

地球 343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟。下列

轨道2 轨道1 P判断正确的是

A．飞船变轨前后的机械能相等

B．飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态 C．飞船在此圆轨道上运动的角度速度大于同步卫星运动的角速度 D．飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度

答案：BC

练习19（2013丰台二模）17. 某卫星的发射过程如图所示，先将卫星从地面发射并从A点进入椭圆轨道I运行，然后在B点通过改变卫星的速度，让卫星进入预定圆形轨道II上运行。则下列说法正确的是( D )

A．该卫星的发射速度一定要大于第二宇宙速度11.2Km/s

B．该卫星沿椭圆轨道I从A点运动到B点过程中，速度减小，机械能也减小

C．该卫星在轨道I上运动行的周期大于在轨道II上运行的周期 D．测量出该卫星在轨道II上运行的线速度和周期，即可计算地球的质量

6、卫星的发射与运行中的超、失重现象： 卫星在发射时加速升高和返回减速的过程中，均发生超重现象，进入圆周运动轨道后，发生完全失重现象，一切在地面依靠重力才能完成的实验都无法做。

例13宇宙飞船在离地面高为h=R的轨道上做匀速圆周运动，飞船内一弹簧秤下悬挂一质量为m的重物，R为地球的半径，g为地面处的重力加速度，则弹簧秤的读数为（ ）

A. mg/2 B. mg/4 C. mg D. 0

7、双星问题：

例14两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量。

解析：设两星质量分别为M1和M2，都绕连线上O点作周期为T的圆周运动，星球1和星球2到O的距离分别为l1和l2。由万有引力定律和牛顿第二定律及几何条件可得

对M1：GA II I B 地球 M1M2R2M1M2R242R2l122

＝M1（） l1 ∴M2＝

2TGT42R2l222

＝M2（） l2 ∴M1＝

2TGT42R2GT2对M2：G两式相加得M1＋M2＝（l1＋l2）＝

42R3GT2。

练习20：两颗靠得较近的天体称为双星，它们以两者的连线上某点

为圆心做匀速圆周运动，因而不至于由于引力作用而吸在一起。关于双星，下列说法中正确的是（ ）

A. 它们做圆周运动的线速度之比与其质量成反比 B. 它们做圆周运动的角速度之比与其质量成反比 C. 它们做圆周运动的半径之比与其质量成反比 D. 它们所受的向心力之比与其质量成反比

4