【高中数学解题基本方法】二换元法

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4＋2－2≥0，先变形为设2＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝x＋1x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sinα ，α∈[0,

2xxx]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中2222主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x＋y＝r（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。

SS均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝＋t，y＝－t等等。

22我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范

围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和α∈[0,

]。 2Ⅰ、再现性题组：

1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。

2.设f(x＋1)＝loga(4－x) （a>1），则f(x)的值域是_______________。 3.已知数列{an}中，a1＝－1，an1·an＝an1－an，则数列通项an＝___________。 4.设实数x、y满足x＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。

22413x5.方程＝3的解是_______________。

13x6.不等式log2(2－1) ·log2(2

xx1－2)〈2的解集是_______________。

1t2【简解】1小题：设sinx+cosx＝t∈[－2,2]，则y＝＋t－，对称轴t＝－1，

221当t＝2，ymax＝＋2；

22小题：设x＋1＝t (t≥1)，则f(t)＝loga[-(t-1)＋4]，所以值域为(－∞,loga4]； 3小题：已知变形为

221an1－

11＝－1,设bn＝，则b1＝－1,bn＝－1＋(n－1)(-1)anan1＝－n，所以an＝－；

n4小题：设x＋y＝k，则x－2kx＋1＝0, △＝4k－4≥0,所以k≥1或k≤－1； 5小题：设3＝y，则3y＋2y－1＝0,解得y＝

xx2221，所以x＝－1； 356小题：设log2(2－1)＝y，则y(y＋1)<2，解得－24Ⅱ、示范性题组：

例1. 实数x、y满足4x－5xy＋4y＝5 （ ①式） ，设S＝x＋y，求的值。（93年全国高中数学联赛题）

【分析】 由S＝x＋y联想到cosα＋sinα＝1,于是进行三角换元，设

222222221Smax＋

1SminxScosα代入①式求Smax和Smin的值。 ySsinαxScosα【解】设代入①式得： 4S－5S·sinαcosα＝5

ySsinα解得 S＝

10 ；

85sin2α101010≤≤ 1385sin3∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 ∴

∴

1Smax＋

1Smin＝

313168＋＝＝ 1010105此种解法后面求S最大值和最小值，还可由sin2α＝式：|

8S10的有界性而求，即解不等S8S10|≤1。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。 S【另解】 由S＝x＋y，设x＝

222SSSS2＋t，y＝－t，t∈[－，]， 22222S2S则xy＝±－t2代入①式得：4S±5－t2=5，

44移项平方整理得 100t+39S－160S＋100＝0 。 ∴ 39S－160S＋100≤0 解得：

2221010≤S≤ 133∴

1Smax＋

1Smin＝

313168＋＝＝ 101010522【注】 此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件S＝x＋y与三角公式cosα＋sinα＝1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式S＝x＋y而按照均值换元的思路，设x＝S＋t、y＝S－t，减少了元的个数，问题且容易求解。另外，还用到了求值域的

22222222几种方法：有界法、不等式性质法、分离参数法。

和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量x、y时，可以设x＝a＋b，y＝a－b，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。本题设x＝a＋b，y＝a－b，代入①式整理得3a＋13b＝5 ，求得a∈[0,

22222522]，所以S＝(a－b)＋(a＋b)3＝2(a＋b)＝

10202101011＋a∈[,]，再求＋的值。 1313133SmaxSmin例2． △ABC的三个内角A、B、C满足：A＋C＝2B，

112＋＝－，求cosAcosCcosBcos

AC的值。（96年全国理） 2【分析】 由已知“A＋C＝2B”和“三角形内角和等于180°”的性质，可得

AC120°A＝60°α；由“A＋C＝120°”进行均值换元，则设 ，再代入可B＝60°C＝60°－α求cosα即cos

AC。 2AC120°【解】由△ABC中已知A＋C＝2B，可得 ,

B＝60°A＝60°α由A＋C＝120°，设，代入已知等式得：

C＝60°－α1111＋＝＋＝

cosAcosCcos(60)cos(60)113cossin22＋

113cossin22＝

coscos＝＝－22,

133cos2sin2cos2444AC22解得：cosα＝， 即：cos＝。

222【另解】由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。所以

112＋＝－ cosAcosCcosB＝－22，设

11＝－2＋m，＝－2－m ， cosAcosC所以cosA＝

11，cosC＝，两式分别相加、相减得：

2m2mACACAC22cos＝cos＝2， 222m2cosA＋cosC＝2cos

cosA－cosC＝－2sin

ACACAC2msin＝－3sin＝2， 222m2即：sin

AC222m2AC2AC＝－，＝－，代入sin＋cos＝1整理

222m223(m22)2得：3m－16m－12＝0,解出m＝6，代入cos

4AC222＝2＝。 22m2【注】 本题两种解法由“A＋C＝120°”、“

11＋＝－22”分别进行均cosAcosC值换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的运用相当熟练。假如未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。所以

112＋＝－＝－22，即cosA＋cosAcosCcosBcosC＝－22cosAcosC，和积互化得：

2cos

ACACAC2cos＝－2[cos(A+C)＋cos(A-C)，即cos＝－2cos(A-C)2222＝

AC22AC2AC－2(2cos－1)，整理得：42cos＋2cos－32＝0,

2222AC2＝ 222解得：cos

例3. 设a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a的最大值和最小值。

y

, , 【解】 设sinx＋cosx＝t，则t∈[-2,2]，由(sinx＋－2 2 x 2t21cosx)＝1＋2sinx·cosx得：sinx·cosx＝

2112(t－2a)＋ （a>0），t∈[-2,2] 2212t＝-2时，取最小值：－2a－22a－

212当2a≥2时，t＝2，取最大值：－2a＋22a－ ；

21当0<2a≤2时，t＝2a，取最大值： 。

2∴ f(x)＝g(t)＝－

12(0a)1222∴ f(x)的最小值为－2a－22a－，最大值为。

21222a22a(a)22【注】 此题属于局部换元法，设sinx＋cosx＝t后，抓住sinx＋cosx与sinx·cosx

的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。换元过程中一定要注意新的参数的范围（t∈[-2,2]）与sinx＋cosx对应，否则将会出错。本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。

一般地，在遇到题目已知和未知中含有sinx与cosx的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为f(sinx±cosx，sinxcsox)，经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。

4(a1)2a(a1)2例4. 设对所于有实数x，不等式xlog2＋2x log2＋log2>02aa14a2恒成立，求a的取值范围。（87年全国理）

4(a1)2a(a1)2【分析】不等式中log2、 log2、log2三项有何联系？进行对2aa14a数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。

【解】 设log24(a1)2a8(a1)a1＝t，则log2＝log2＝3＋log2＝3－

aa12a2a2aa1(a1)2log2＝3－t，log2＝2log＝－2t， 2a12a4a2代入后原不等式简化为（3－t）x＋2tx－2t>0，它对一切实数x恒成立，所以：

23t0t32a，解得 ∴ t<0即log<0 22a1t0或t64t8t(3t)00<

2a<1，解得04(a1)2a(a1)2设元，关键是发现已知不等式中log2、 log2、log2三项之间的联

aa14a2系。在解决不等式恒成立问题时，使用了“判别式法”。另外，本题还要求对数运算十分熟

练。一般地，解指数与对数的不等式、方程，有可能使用局部换元法，换元时也可能要对所给的已知条件进行适当变形，发现它们的联系而实施换元，这是我们思考解法时要注意的一点。

xsinθcos2θ10cosθsin2θ例5. 已知＝，且＋＝ (②式)，求的

xyx2y3(x2y2)y2值。

【解】 设

sinθcosθ22＝＝k，则sinθ＝kx，cosθ＝ky，且sinθ＋cosθ＝xy10k2y2x2k2x2k2y210k(x+y)＝1,代入②式得： 2＋＝＝ 即：2＋2＝

3xx3(x2y2)yy222210 313xx21设2＝t，则t＋＝10 , 解得：t＝3或 ∴＝±3或±

t33y3yxsinθcos2θ【另解】 由＝＝tgθ，将等式②两边同时除以，再表示成含tgθ

ycosθx2的式子：1＋tgθ＝(1tg)42103(11)tg2＝

10222tgθ，设tgθ＝t，则3t—10t＋33＝0，

3x1∴t＝3或， 解得＝±3或±。

33y【注】 第一种解法由

sinθcosθ＝而进行等量代换，进行换元，减少了变量的个数。xy第二种解法将已知变形为

xsinθ＝，不难发现进行结果为tgθ，再进行换元和变形。两ycosθ种解法要求代数变形比较熟练。在解高次方程时，都使用了换元法使方程次数降低。

(x1)2(y1)2例6. 实数x、y满足＋＝1，若x＋y－k>0恒成立，求k的范围。

916(x1)2(y1)222【分析】由已知条件＋＝1，可以发现它与a＋b＝1有相似之处，

916于是实施三角换元。

x1y1(x1)2(y1)2【解】由＋＝1，设＝cosθ，＝sinθ，

34916x13cosθ即： 代入不等式x＋y－k>0得：

y14sinθ3cosθ＋4sinθ－k>0，即k<3cosθ＋4sinθ＝5sin(θ+ψ) 所以k<-5时不等式恒成立。

【注】本题进行三角换元，将代数问题（或者是解析几何问题）化为了含参三角不等式恒成立的问题，再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题，从而求出参数范围。一般地，在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时，经常使用“三角换元法”。

本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法：在平面直角坐标系，不等式ax＋by＋c>0 (a>0)所表示的区域为直线ax＋by＋c＝0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分。此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的

y 点始终位于平面上x＋y－k>0的区域。即当直线x＋y

x －k＝0在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭

x＋y－k>0 k 平面区域

16(x1)29(y1)2144圆相切时，方程组有相等的一组实数解，消元后由△＝0可求

xyk0得k＝－3,所以k<-3时原不等式恒成立。

Ⅲ、巩固性题组：

1. 已知f(x)＝lgx (x>0)，则f(4)的值为_____。 A. 2lg2 B. 1lg2 C. 2lg2 D. 2lg4

33332. 函数y＝(x＋1)＋2的单调增区间是______。

A. [-2,+∞) B. [-1,+∞) D. (-∞,+∞) C. (-∞,-1]

3. 设等差数列{an}的公差d＝1，且S100＝145，则a1＋a3＋a5＋……＋a99的值为

24_____。

A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.5 4. 已知x＋4y＝4x，则x＋y的范围是_________________。

5. 已知a≥0，b≥0，a＋b＝1，则a1＋b1的范围是____________。

22226. 不等式x>ax＋3的解集是(4,b)，则a＝________，b＝_______。

27. 函数y＝2x＋x1的值域是________________。

8. 在等比数列{an}中，a1＋a2＋…＋a10＝2，a11＋a12＋…＋a30＝12，求a31＋a32＋…＋a60。

9. 实数m在什么范围内取值，对任意实数x，

y D C

10. 已知矩形ABCD，顶点C(4,4)，A点在曲线 A B 22x＋y＝2 (x>0,y>0)上移动，且AB、AD

O x 始终平行x轴、y轴，求矩形ABCD的最小面积。

不等式sinx＋2mcosx＋4m－1<0恒成立。

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