坐标转换

3D坐标绕轴旋转公式推导

绕轴旋转实际上等价于平面点绕远点旋转，所以这里只用分析一下平面情况就可以。

问题转换为：平面上任意点(x,y)绕原点旋转R度后，新点坐标为多少？ 一、

通常情况，我们容易想到一下的推导方式（我一开始想到的），请看下图：

绿色的点为原始点(x,y)，转过r度后到蓝色的点的位置，我一开始想到的是先求出初始点(绿色的点)的初始角度a,然后计算出半径，根据三角关系可以得到

新点的坐标。 关系式:

a=arctan(y/x)

radio=sqrt(x*x+y*y)

新点:x’=radio*Cos(a+r); y’=radio*Sin(a+r)

看起来貌似可以，但是编程处理旋转问题时发现了严重的问题，在求a的时候用了x做分母，所以就限定了x不等于0，这就不好了。 二、直角坐标系求解

思考了一天，不知道如何解决分母的问题，突然回想起来以前学过坐标变换，恍然大悟，汗一个。

还是需要通过几何关系来进行求解，可以避免定义域不连续的问题，无图无真相！

注释：图中红色的点为初始点，粉色的为新点，黑色的线为初始坐标系，红色的线为假想坐标系，黄色的线都是垂线。

在坐标变换中，我们可以换一种思考方式，点的旋转实际上可以理解为坐标系旋转到新的位置，然后求到新点相对于老坐标系的坐标即可。

图中我们很容易得到标注的两个角度相等，新点的横坐标X’等于下面尺寸标注的X*Cos(φ)-两条黄色的垂线间的距离，而这段距离我们可以在红色的新坐标系中很容易求出distance=Y * Sin(φ),所以很容易就得到了新点的横坐标 X’=X*Cos(φ)-Y*Sin(φ) 式① 同理，得到

Y’=X*Sin(φ)+Y*Cos(φ) 式② 式①和式②就是平面任一点绕原点旋转的方程。 对于3D坐标中，这便是绕Z轴旋转的公式 X’=X*Cos(φ)-Y*Sin(φ) Y’=X*Sin(φ)+Y*Cos(φ) Z’=Z

对于绕其他轴旋转的公式都可以用此方法得到。 三、

采用三角函数展开将会得到更简单的求解方法， X'=Radio*Cos(r+a)

=Radio*(Cos( r)*Cos(a)-Sin( r)*Sin(a)) =Radio*Cos(a)*Cos( r)-Radio*Sin(a)*Sin( r) =X*Cos( r)-Y*Sin( r) 同理得到

Y’=Radio*Sin(r+a) =X*Sin( r)+Y*Cos( r) 看来真是要温故而知新！