想，得到答案，从而激发学生探索的兴趣，让学生的学习循 序渐进，把原本枯燥的教材，变成学生易学、乐学的学材。 ｂ．编制操作型学材。 ②百分数应用题与分数应用题数量关系相同。 ③分数应用题的分析方法、解题方法同样适应于百分 数应用题。 ④利用分数应用题的解法可以解百分数应用题。 ｄ．编制联想重组型学材。 联想是进行猜想的中介物。它是一种自觉的和有目的 现代教育观提出：让学生用手做科学，而不要听科学。 小学生的思维以具体形象思维为主，且有好动好奇的心理 特征。挖掘操作型素材编制学材进行教学是符合学生认识 规律和心理发展特点的。教学过程中要有目的地引导学生 进行观察与实践，充分利用动手操作参与实践，借助量一 的想象。我们可以挖掘此类素材教学小数、分数应用题中 有关“和倍”的问题。例题“饲养小组养的白兔和黑兔共有 量、比一比等实践活动让学生发现规律。如在圆的周长教 ｌ８只，其中黑兔的只数是白兔的 ，白兔和黑兔各有多 学中，我们不进行直接推导公式，而是： 少只？” 【准备学具】若干个大小不一的圆、一根绳子、一把米 【联想铺垫】看到“黑兔的只数是白兔的 ”，你能联 尺、一个圆规。 想到什么？ 【设计方案】你想提出什么样的方案？有的提出：“把圆 【百家争鸣】黑兔与白兔只数的比是ｌ：５；白兔只数是 直接放在直尺上滚动，量出圆的周长行吗？”有的提出：“对 黑兔的５倍；白兔只数占５份，黑兔只数占ｌ份，两种兔的 于这个圆，用绳子量出它的两个直径的长度，试一试能否 只数共占６份；白兔只数占两种兔的 ，黑兔只数占两种 还围成这个圆。不行，再量出三、四个直径的长度，看可不 兔的 。白兔只数比黑兔多４倍，黑兔只数比白兔少４／５。 可以围成这个圆。猜想：圆的周长是不是三、四个直径的长 【重组解决】如方程法、倍比法、按比例分配法等不同 度？” 方法求出解。 【动手操作】学生分组进行合作学习，验证猜想。 通过联想重组素材进行猜想，克服了学生的思维定 此外，还可组织“为凳子治病”的活动。通过创设情景： 势，进行知识的再“创造”，培养了学生思维的变通性、延伸 某同学由于不爱护凳子，使凳子开始摇晃了，请你做回医 性、发散性。 生，把凳子修好。学生经过有兴趣地实践操作，猜想出三角 （２）以学生为主体，设计学案。 形的稳定性。学生从中不仅了解了数学与现实生活的必然 《课程标准》提出：学生是学习的主体，教师要成为学 联系，而且教师又可渗透思想教育。学生在“活动”中出色 生学习的组织者、引导者，甚至合作者。数学猜想本身是一 完成学习任务，亲历了学习过程，体验了成功喜悦，学习激 种高难度的思维方法，小学生受其认知水平影响，往往无 情尤其高昂。在教学中，教给学生发现的方法才符合教学 法进入正确的猜想练习。教师一方面要透彻理解原教材， 规律，才更有利于学生的发展。 在原教材基础上挖掘能使学生进行猜想的素材，重新组织 ｃ．编制迁移型学材。 “新”的学习内容，另一方面要及时有效地对学生加以引 数学是一门逻辑性很强的学科，新知识都是建立在旧 导，设计师生互动的教学方案和学习方案。例如：“同样周 知识基础上的。教学中，教师应注重挖掘前后知识的联系 长时，长方形、正方形和圆面积谁最大？”这个问题对小学 点，设置情境，合理利用迁移类推的心理发展过程作出对 生来讲难度较大，很难直接进入猜想，我们可以这样设计： 新知识的猜测。如教学“求一个数是另一个数的百分之几” 【创设问题情景】在某地区开垦荒地的时候，荒地很 的应用题的教学： 。多，但围地的材料却非常缺乏。有一个人只有６２．８米带刺 【材料铺垫】 的铁丝网，他打算用全部铁丝网圈一片地，他考虑和试验 ①百分数的意义、百分数与分数的联系。（旧知复习） 了多种形状，可还是弄不清到底最大能圈多少平方米与怎 ②相关简单文字题：５是２的几倍？２是５的几分之 么圈？ 几？（唤起原有知识结构） 【辅路引渡】根据已学过的几种平面图形，按边的特点 【知识迁移】寻找联系把几倍、几分之几变成百分之 分成三角形；长方形、正方形、平行四边形和梯形；圆三大 几。（思维引向新知） 类。 【知识类推】转化成有关百分数的文字题。（诱发猜想： 【猜想递进】 百分数应用题与分数应用题之间的联系） ①出示周长相等的几个三角形，量出有关数据，算出 【合作学习】猜测想法： 面积，通过列表比较、讨论，得到猜想：周长相等的三角形 ①百分数应用题与分数应用题解法类似。 中，等边三角形的面积最大。 豢—Ｅｄｕｃ ａｔｉｏ ｎａ ｌＰ ｒａｃｔｉｃｅ ａｎｄ Ｒｅ究ｓｅａｒｃｈＡ￣Ｆ 维普资讯 http://www.cqvip.com
②猜想研究周长相等的长方形、正方形、平行四边形 ａ．创设故事化情景。 和梯形中，什么样的四边形面积最大，同理。试验猜想得 故事是儿童的第一大需要。把教材中的问题转换成小 到：周长一定的四边形中，正方形的面积最大。 故事，能使学生产生身临其境的感觉，增加课堂教学的趣 ③方法同上猜想周长相等的正三角形和正方形面积， 味性，能够有效调动学生的学习积极性，使学生全身心地 得到正方形面积大。 投入到学习中去。如上面提到的“凳子生病了”、“用铁丝网 ④然后让学生大胆猜想：周长一定的平面图形中，什 围面积”等，利用故事的方式呈现问题情境，提供诱因，使 么样的图形面积最大？（圆最大） 学生学习的欲望更强，积极性更高。 【举例论证】出示周长都是６２．８米的长方形、正方形 ｂ．创设活动化情景。 和圆，分别算出它们的面积后得到圆面积最大。 心理学家皮亚杰指出：“活动是认识的基础，智慧从动 【首尾照应】最后回到故事中，解决实际问题。 作开始”。教学中使学生在口说、手做、耳听、眼看、脑想的 学生在不断地猜想和验证过程中，构建新的认知结 过程中，引发猜想，解决问题。这样不仅符合小学生好动好 构，掌握解题方法。 奇的心理特点，又保证了学生的主体地位，对于促进学生 ２．营造和谐氛围，搭建猜想舞台。 从动作思维向具体的形象思维过渡也是十分有利的。如圆 学生是学习的主人，在教学中，教师应为学生提供适 锥体积的猜想过程，通过学生实践观察，猜想得到：圆锥的 当的猜测机会，搭建猜想的舞台，千方百计地激发学生的 体积： ｓｈ，接着再加以论证。 学习积极性。 ｊ （１）营造宽松的心理环境，使学生敢于猜想。 ｃ．创设生活化情景。 现代心理学认为：学生只有在民主平等的教育气氛 数学来源于生活，生活中处处有数学。把问题情境与 中，才能进发出创新的火花。因此我们要以乐观的眼光和 学生的生活紧密联系起来，可让学生体验生活情境中的问 宽容的胸怀去对待学生的天性，相信每个学生都有巨大的 题，增加学生的直接经验。如学了圆锥的体积后，请同学们 发展潜能，鼓励学生敢猜，不怕猜错，积极保护学生的大胆 观察碾米机的四棱斗，如何计算它的体积，或者埃及的金 猜想精神。 字塔的体积等。这不仅有利于学生理解问题情境中的数学 ａ．营造和谐氛围。 问题，而且有利于学生体验到生活中的数学无处不在，培 正确协调好教师与学生的角色关系。教师不能成为学 养学生的观察能力和初步解决实际问题的能力。 生学习的主宰者，统治者，而应该是学生在遇到困难时的 （３）营造多向的评价环境，使学生乐于猜想。 引导者、在解决问题过程中的合作者。教学过程中，师生双 《数学课程标准》提出：评价的目的是激励学生的学习 方要相互尊重、相互信任，创设平等、民主、融洽的合作氛 热情，促进学生的全面发展。对评价结果的描述，应采用肯 围，尽量缩短师生间的心理距离。 定、鼓励式言语．除了“真棒”、“有创意”等口头评价，还可 ｂ．保护大胆猜想。 以用学生的名字、班级命名为“××猜想”，课后“光荣榜”宣 猜想是一种难度较大的跳跃式的创造性思维。小学生 告——最有创意的猜想家等等，使其体会到成功的喜悦， 的猜想能力受思维发展特点和自身现有知识的限制，再加 浓厚继续猜想的欲望。再则，评价要关注学生的个性差异， 上猜想的跳跃性、豁然性，其结果必定存在正确和错误之 保护学生的自尊心和自信心，千万不要轻易地否定，杜绝 分。教师要坚持一条信念：允许“错误”，善待“错误”。心理 讥讽、指责，争取做到“让每个学生都能抬起头来走路”，增 学家盖耶说：谁不考虑尝试错误，不允许学生犯错误，就将 强猜想的动力，发挥其个性创新。最终，让猜想去“访问”每 错过最富成效的学习时刻。”只不过教师应善于引导学生 一个学生，让每一个学生去“自觉”猜想，师生共同构建数 对自己的猜想进行检验，克服盲目猜想，引导合理猜想，去 学猜想的共同体。 探求新知。 ３．自主探索验证，开拓猜想空间。 （２）营造良好的知识环境，使学生学会猜想。 在实践教学中，我们利用学生熟悉的知识和经验联 数学情景是学生掌握知识、形成技能、发展思维的重 系、类比不熟悉的知识，从已有的知识经验中获得对新知 要源泉，是沟通现实生活与数学学习、具体问题与抽象概 识的启示，从而开拓学生的猜想空间。如在教学“圆的面积 念之间的桥梁。只有在具体、生动的情景中，才能充分诱发 求法”一课时，我们这样设计： 学生思维的积极性，从而使学生主动地参与猜想，学会猜 （１）新知导入，诱发猜想。 想。 出示下图： 维普资讯 http://www.cqvip.com 一【小结】了解求圆面积只要知道直径、半径、周长中任 因素即可。我们是通过什么方法逐步得到结论？（通过猜 想——验证这一方法） 师：请同学们猜一猜：上图中圆面积与小正方形的面 积有什么关系？ 生：观察猜想得到．／ｈ正方形面积的２倍＜圆面积＜小 正方形面积的４倍。即：半径Ｘ半径ｘ２＜圆面积＜半径Ｘ半 径×４。大胆猜想：圆面积大约是半径平方的３倍。 【延伸】利用猜想一验证的思维方法完成课外练习：小 学阶段周长相等的所有平面图形中，面积谁最大？（试以 “周长相等的长方形，正方形和圆，面积谁最大？”为例进行 猜想验证。） 【意图】课外强化，可以使课内知识难度得到深化，知 识面得到延伸，让学生多思、多猜，掌握猜想的技巧，提高 思维的素质，发展学生的智能。 【形式】采用与学生一起从起点情境出发往上看目标 的方法，先鼓励联系已有知识与经验进行形象地分解、选 择、加工和改造，大胆猜想结论。 总之，学生在猜想验证的过程中，“自己引导思维”，经 历了“猜测、假定、确定、再猜测”的过程，体验了“冒险、创 【意图】“猜想引入”以它独有的魅力，能很快地扣住学 生的心弦，初步勾勒出知识的轮廓，从整体上了解所学的 内容，启动学生思维的闸门，调整学生的情绪，使学生以最 佳状态进入新课学习。 （２）新知学习，验证猜想。 造、发现”的喜悦，从而提高解题的能力，培养思维的创造 性。我们数学教师要善于创造条件，沟通知识间的联系，变 方向、变角度地加以引导合理猜想，把学生的思维引向新 的高度，培养学生能力，优化课堂教学，提高教学质量。 三、对实践研究的意义、理论依据及效果的思考 实践意义： 师：你们真是了不起的猜想家，我们就以“６０２猜想” 来命名吧。要知道猜想是否正确，我们一起来验证。猜一 猜，圆能转化成什么图形？ 生：（猜想到：可能转化成平行四边形、三角形、长方 形、梯形，接着动手拼摆。） （通过电脑演示，让学生了解把圆平均分的份数越多， 通过几年的实践，使我们明确到数学猜想是根据已知 的事实和数学知识，对未知量及其关系所作出的一种似真 判断，是直觉思维与灵感思维的交织和碰撞，它对开阔数 学解题思路、推动理论思考有着不可抵抗的作用。 理论依据： 曲线越接近于线段，拼的图形越接近我们所学过的图形， 渗透极限思想。）引导学生结合圆周长计算公式验证猜想： 我们的实践过程印证了数学方法论的倡导者Ｇ・波利 亚指出的“只要数学的学习过程稍微能反映出数学的发明 圆的面积是半径平方的订倍。 过程的话，那么就应该让合理的猜想占有适当的位置”的 精辟论断。猜想使各层面的学生均能产生主动探究的心理 倾向，发展主动探究的能力。 效果思考： 【形式】师生合作、学生合作完成验证，加强师生、学生 间的交流。 一【意图】通过教师评价鼓励学生求知的兴趣。“猜想”这 催化剂，可促进学生多角度思维，有效抓住事物的本质 以主人公的姿态参与新知形成的全过程，不仅能培养学生 通过一年的实践研究，我们发觉学生变了：学习数学 的兴趣浓了，思维活跃了，动手操作能力强了，有时还能感 特征，加快知识形成的进程，得出结论。验证过程中，学生 发现规律的能力，而且学生思维的正确性也得到培养。 （３）新知巩固，激励求异。 受到他们独特的创造力，看到他们智慧火花的碰撞。课堂 成了学生学习的乐园，学生成了课堂的主人。连下课时，他 们也常常津津乐道、意犹未尽地谈论着……我们充分感受 到：是猜想促进了学生的发展。当然，我们的研究也存在着 许多局限：受小学生的年龄特征、认知水平的影响，存在着 某些胡思乱想的成分，如何进行正确地引导？如何科学地 安排猜想教材？如何规范猜想的课堂教学模式？如何调动 学困生的学习积极性，使他们也能参与猜想？……这一切， 等待着我们进一步研究，进一步完善。 【责任编辑高 洁】 【形式】设计练习：希望小学的操场外面有一块草地， 有一只羊拴在钉着木桩的绳上，绳长４米，这只羊可以吃 到多大面积的草？根据实际生活，木桩可钉在操场边上，在 附近，或在更远，羊吃草的面积有无数种情况。可能是半径 为４米的圆的面积，可能是 的答案。 圆面积，可能是 圆面 积，可能是……学生在探求不同情况的过程中，求得不同 【意图】开拓思维，提高求异意识。 （４）课内小结，课外延伸。 勰—尊蘑 Ｅｄｕｃ型ａｔｉｏ ｎａ Ｉ Ｐ ｒａｃｔｉ ｃｅ ａｎ ｄ ａＲｅｓｅ ｒｃｈ￣ｉＰ＇
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