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A组基础练(建议用时20分钟)
1.下列三个命题:①若a+b=0,b+c=0,则a=c;②
=
的等价条件是点
A与点C重合,点B与点D重合;③若a+b=0且b=0,则-a=0.其中正确命题的个数是(
B ) A.1
B.2
C.3
D.0
2.已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边的中点,且2+
+
=0,
那么(
A )
A.=B.=2C.
=3D.2
=
3.如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则(
A )
A.++=0B.-+=0C.
+
-
=0
D.
-
-
=0
4.设e1,e2是两个不共线的向量,若向量m=-e1+ke2 (k∈R)与向量n=e2-2e1共线,则 ( D )
A.k=0
B.k=1
C.k=2 D.k=
+
+
=
,则
5.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P,且
( D ) A.P在△ABC内部B.P在△ABC外部
C.P在AB边上或其延长线上D.P在AC边上
6.在△ABC中,如果AD,BE分别为BC,AC上的中线,且为(
A )
=a,=b,那么
A.a+bB.a-b
C.a-bD.-a+b
7.已知m,n是实数,a,b是向量,则下列命
题:①m(a-b)=ma-mb;②（m-n)a=ma-na;③若ma=mb,则a=b;④若ma=na,则m=n.其中正确的为8.已知|
|=|
①②
.
+
|=
. 24+
. =λ
,则
|=1,且∠AOB=60°,则|
9.设|a|=8,|b|=12,则|a+b|的最大值与最小值的和为10.在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,λ= 2
.
11.如图所示,四边形OADB是以向量=a,=b为邻边的平行四边形.
又BM=BC,CN=CD,试用a,b表示,,.
【解析】所以=
==
=+,
==(-)=(a-b),
=b+a-b=a+b,
所以=
==(
++
=+
)=(a+b)=a+b.
=-=(a+b)-a-b=a-b.
12.两个非零向量a,b不共线. (1)若
=a+b,
=2a+8b,
=3(a-b),求证:A,B,D三点共线.
(2)求实数k使ka+b与2a+kb共线.【解析】(1)因为与
=
+
+
=a+b+2a+8b+3a-3b=6a+6b=6
,又
有公共点A,所以A,B,D三点共线.
(2)因为ka+b与2a+kb共线,所以ka+b=λ(2a+kb).所以(k-2λ)a+(1-λk)b=0,
所以?k=±.
B组提升练(建议用时20分钟)
13.已知四边形ABCD是一菱形,则下列等式中成立的是 ( A.C.
++
==
B.D.
++
==
C )
14.已知e1,e2是两个非零不共线的向量,a=2e1-e2,b=ke1+e2,若a与b是共线向量,则实数k的值为 ( A.-4 C.2
B ) B.-2 D.4
+
+
=0.
15.已知点G是△ABC的重心,则
16.若a≠0,b≠0,且|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b所在直线的夹角是30°
.
17.已知四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O点,且求证:四边形ABCD是平行四边形. 【证明】如图所示.
=,=.
=又因为所以
+==
,,,
==
+,
.
所以AB∥DC,且AB=DC,所以四边形ABCD为平行四边形.
18.已知|a|=8,|b|=6,且|a+b|=|a-b|,求|a-b|.【解析】设
=a,
=b,以AB,AD为邻边作平行四边形ABCD,如图所示:
则所以|
=a+b,
|=|
=a-b,|.
又因为四边形ABCD为平行四边形,所以四边形ABCD为矩形,故AD⊥AB.在Rt△DAB中,||
|=
|=8,|=
|=6,由勾股定理得
=10.
所以|a-b|=10.
C组培优练(建议用时15分钟)
19.已知O是平面内一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满
足的 (
=+λB )
B.内心
(λ∈(0,+∞)),则点P的轨迹一定通过△ABC
A.外心C.重心D.垂心
20.已知a,b是两个非零向量,且|a|=|b|=|a-b|,求
【解析】设=a,=b,则=-=a-b.
因为|a|=|b|=|a-b|,所以BA=OA=OB.所以△OAB为正三角形.设其边长为1,则
|a-b|=||=1,|a+b|=2×=.
所以==.
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