3机械能和功习题思考题

3-3．劲度系数为k的轻巧弹簧竖直放置，下端悬一小球，球的质量为m，开始时弹簧为原长而小球恰好与地接触。今将弹簧上端缓慢提起，直到小球能脱离地面为止，求此过程中外力的功。

解：由于小球缓慢被提起，所以每时刻可看成

外力与弹性力相等， 则：Fkx，选向上为正向。

kxmax，有：

当小球刚脱离地面时：mgxmax由

mgk做

xm， 功

a的定义

mgk0可

2知

2：

A01x2kxdxkx2mg2k。

3-4．如图，一质量为m的质点，在半径为R的半球形容器中，由静止开始自边缘上的A点滑下，到达最低点B时，它对容器的正压力数值为N，求质点自A滑到B的过程中，摩擦力对其做的功。

分析：Af直接求解显然有困难，所以使用动能定理，那就要知道它的末速度的情况。

v2mNGmA解：求在B点的速度：， R121可得：2mv2(NG)R

RB由动能定理：

12mgRAfmv0 211∴Af2(NG)RmgR2(N3mg)R

3-5．一弹簧并不遵守胡克定律，其弹力与形变

2x38.4xi)，其中F和的关系为F(52.8x单位分别为N和m。

（1）计算当将弹簧由x10.522m拉伸至

x21.34m过程中，外力所做之功；

（2）此弹力是否为保守力? 解：（1）由做功的定义可知：

A

x2x11.34Fdx(52.8x38.4x2)dx0.52222133126.4(x2x)12.6(x2x)69.2J

（2）∵F(x)F(x)i，按保守力的定义：

lll22F(x)dr(52.8x38.4x)i(dxidyjdzk)(52.8x38.4x)dx∴该弹力为保守力。

3-9．在密度为1的液面上方，悬挂一根长为l，密度为2的均匀棒AB，棒的B端刚和液面接触如图所示，今剪断细绳，设细棒只在浮力和重力作用下运动，在

12vmax，以及细棒能进入液体的最大深度H。

21的条件下，求细棒下落过程中的最大速度

解：（1）分析可知，棒下落的最大速度是受合力为零的时候， 所以：GF浮，即2lsg1hsg ，则：h2l。 1h1212利用功能原理：mghmvA浮，有：2slvmax2sglh1gsydy 0222gl 可解得：vmax1（2）当均匀棒完全进入液体中时，浮力不变，到最大深度H时，速度为零，设：

Hlh'，由能量守恒有：2lsgH 即：2lsgH∴H

l011ysgdylsgh'，

011lysgdylsg(Hl)

1l。

2(12)3-10．若在近似圆形轨道上运行的卫星受到尘埃的微弱空气阻力f的作用，设阻力与速度的大小成正比，比例系数k为常数，即fkv，试求质量为m的卫星，开始在离地心r04R（R为地球半径）陨落到地面所需的时间。

解：该卫星在任何时刻的总机械能为：

12mMEmvG 2rmMv2mM2GmGmv又由于联立两式rrr2mM得：EG2r

mM两边微分得：dEG2r2dr ，由功能原理得：

mMfdsdE， (kv)dsG2dr

2rmMdsGmMdr(kv)dsG2drkv2rdt2rrdt dr221kvmv2rdt2kdrdt，由已知条件两边积分：mrRdr2km0mdt4Rrtkln2 t

思考题3

3-1．求证：一对内力做功与参考系的选择无关。

证：对于系统里的两个质点而言，一对内力做功可表示为：Af1dr1f2dr2，

由于外力的存在，质点1和2的运动情况是不同的，虽然其内力相等而方向相反（f1f2），但dr1dr2，∴上式可写为：

drA=Af1dr1f2dr2f(dr12)

表明，内力的功与两个质点的相对位移有关，与参考系的选择无关。

3-2. 叙述质点和质点组动能变化定理，写出它们的表达式，指出定理的成立条件。

质点的动能变化定理：物体受外力F作用下，从A运动B，其运动状态变化，

速度为vA变化到vB，即动能变化。合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。

AABBA11fdrmvB2mvA2EKBEKA

22质点系的动能定理：质点系总动能的增量等于外力的功与质点系内保守力的功和质点系内非保守力的功三者之和。即质点系总动能的增量等于外力和内力做

功之和。

公式表达：AexAC，inAN，inEK

3-3．A和B两物体放在水平面上，它们受到的水平恒力F一样，位移s也一样，但一个接触面光滑，另一个粗糙．F力做的功是否一样?两物体动能增量是否一样?

答：根据功的定义：AFr

所以当它们受到的水平恒力F一样，位移s也一样时，两个功是相等的； 但由于光滑的接触面摩擦力不做功，粗糙的接触面摩擦力做功，所以两个物体的总功不同，动能的增量就不相同。

3-4．按质点动能定理，下列式子：

1212mvx2mvx1 x122y21212Fdyy1y2mvy22mvy1 z21212Fdzz1z2mvz22mvz1

x2Fxdx是否成立?这三式是否是质点动能定理的三个分量式?试作分析。

答：不成立，因为功是标量，不分方向，没有必要这么写。

3-5．在劲度系数为k的弹簧下，如将质量为m的物体挂上慢慢放下，弹簧伸长多少?如瞬间挂上让其自由下落弹簧又伸长多少?

答：如将质量为m的物体挂上慢慢放下，弹簧伸长为mgkx，所以x如瞬间挂上让其自由下落，弹簧伸长应满足能量守恒：mgxmg； k12kx，所以 2x2mg。 k

3-6．试根据力场的力矢量分布图判断哪些力场一定是非保守的?

答：图（d）、（f）为非保守力场，因为如果对其取环路积分必定不为零。