一、选择题（每小题4分，10个小题共40分.）
1．2021的相反数是（ ） A．2021
B．﹣2021
C．
D．
2．下列运算正确的是（ ） A．
+
＝
B．a3•a2＝α6 D．a2﹣b2＝（a﹣b）2
C．（a3）2＝a6
3．将一副直角三角板按如图所示的方式放置，使用30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的直角边垂直，则∠1的度数为（ ）
A．45°
B．60°
C．70°
D．75°
4．一个不透明的袋子中装有2个白球和3个黑球，这些球除了颜色外无其他差别，从中摸出3个球，下列事件属于必然事件的是（ ） A．至少有1个球是白色球 C．至少有2个球是白球
B．至少有1个球是黑色球 D．至少有2个球是黑色球
5．由4个棱长均为1的小正方形组成如图所示的几何体，这个几何体的表面积为（ ）
A．18
B．15
C．12
D．6
6．若关于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一个根是2，则a的值为（ ） A．2
B．3
C．4
D．5
7．如图，抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L2，则图中
两个阴影部分的面积和为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
8．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，若以AC为直径的⊙O交AB于点D，则CD的长为（ ）
A．
B．
C．
D．5
9．已知直线y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是第一象限内的点，若△PAB为等腰直角三角形，则点P的坐标为（ ） A．（1，1）
B．（1，1）或（1，2）
C．（1，1）或（1，2）或（2，1）
D．（0，0）或（1，1）或（1，2）或（2，1）
10．如图，在边长为2的正方形ABCD中，若将AB绕点A逆时针旋转60°，使点B落在点B′的位置，连接BB′，过点D作DE⊥BB′，交BB′的延长线于点E，则B′E的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（每个小题3分，10个小题共30分）
11．目前我国建成世界上规模最大的社会保障体系，截止2020年12月底，基本医疗保险覆盖超过13亿人，覆盖94.6%以上的人口．在这里，1300000000用科学记数法表示为 ．
12．分解因式：4ax2﹣4ay2＝ ．
13．黔东南州某校金今年春季开展体操活动，小聪收集、整理了成绩突出的甲、乙两队队员（各50名）的身高得到：平均身高（单位：cm）分别为：
＝160，
＝162．方差
分别为：S2甲＝1.5，S2乙＝2.8．现要从甲、乙两队中选出身高比较整齐的一个队参加上一级的体操比赛，根据上述数据，应该选择 ．（填写“甲队”或“乙队”） 14．如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，点E在BC的延长线上，若∠ADB＝32°，则∠DCE的度数为 度．
15．已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为点A（2，1）、点B（2，0）、点O（0，0），若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为 ． 16．不等式组
的解集是 ．
17．小明很喜欢专研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端AB，量的弧AB的中心C到AB的距离CD
＝1.6cm，AB＝6.4cm，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为 cm．
18．如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为20πcm，侧面积为240πcm2，则这个扇形的圆心角的度数是 度．
19如图，若反比例函数y＝为 ．
的图象经过等边三角形POQ的顶点P，则△POQ的边长
20如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象经过点（1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③4a﹣2b+c＞0；④当x＝m（1＜m＜2）时，am2+bm＜2﹣c；⑤b＞1，其中正确的有 ．（填写正确的序号）
三、解答题（6个小题，共80分）
21（1）计算：2cos30°﹣21﹣
﹣
；
（2）先化简：适的数代入求值．
，然后x从0、1、2三个数中选一个你认为合
22某校开展了“党在我心中”党史知识竞赛，竞赛得分为整数，王老师为了解竞赛情况，随机抽取了部分参赛学生的得分并进行整理，绘制成不完整的统计图表．
组别 A B C D E
成绩x（分） 75.5≤x＜80.5 80.5≤x＜85.5 85.5≤x＜90.5 90.5≤x＜95.5 95.5≤x＜100.5
频数 6 14 m n p
请你根据统计图表提供的信息解答下列问题： （1）上表中的m＝ ，n＝ ，p＝ ．
（2）这次抽样调查的成绩的中位数落在哪个组？请补全频数分布直方图． （3）已知该校有1000名学生参赛，请估计竞赛成绩在90分以上的学生有多少人？ （4）现要从E组随机抽取两名学生参加上级部门组织的党史知识竞赛，E组中的小丽和小洁是一对好朋友，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到小丽和小洁的概
率．
23如图，PA是以AC为直径的⊙O的切线，切点为A，过点A作AB⊥OP，交⊙O于点B． （1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若AB＝6，cos∠PAB＝，求PO的长．
24黔东南州某销售公司准备购进A、B两种商品，已知购进3件A商品和2件B商品，需要1100元；购进5件A商品和3件B商品，需要1750元． （1）求A、B两种商品的进货单价分别是多少元？
（2）若该公司购进A商品200件，B商品300件，准备把这些商品全部运往甲、乙两地销售．已知每件A商品运往甲、乙两地的运费分别为20元和25元；每件B商品运往甲、乙两地的运费分别为15元和24元．若运往甲地的商品共240件，运往乙地的商品共260件．
①设运往甲地的A商品为x（件），投资总运费为y（元），请写出y与x的函数关系式； ②怎样调运A、B两种商品可使投资总费用最少？最少费用是多少元？（投资总费用＝购进商品的费用+运费）
25在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD． 【探究发现】
（1）如图①，若∠BAD＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°．求证：AD+AB＝AC； 【拓展迁移】
（2）如图②，若∠BAD＝120°，∠ABC+∠ADC＝180°． ①猜想AB、AD、AC三条线段的数量关系，并说明理由； ②若AC＝10，求四边形ABCD的面积．
26如图，抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D． （1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，若以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形，请直接写出点P、Q的坐标；
（3）已知点M是x轴上的动点，过点M作x的垂线交抛物线于点G，是否存在这样的点M，使得以点A、M、G为顶点的三角形与△BCD相似，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题） 1．2021的相反数是（ ） A．2021
B．﹣2021
C．
D．
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数．求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”．
【解答】解：2021的相反数是﹣2021， 故选：B．
2．下列运算正确的是（ ） A．
+
＝
B．a3•a2＝α6 D．a2﹣b2＝（a﹣b）2
C．（a3）2＝a6
【分析】根据合并同类二次根式判断A，根据同底数幂的乘法判断B，根据幂的乘方判断C，根据平方差公式判断D． 【解答】解：A选项，
和
不是同类二次根式，不能合并，故该选项错误；
B选项，原式＝a5，故该选项错误； C选项，原式＝a6，故该选项正确；
D选项，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故该选项错误； 故选：C．
3．将一副直角三角板按如图所示的方式放置，使用30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的直角边垂直，则∠1的度数为（ ）
A．45°
B．60°
C．70°
D．75°
【分析】由三角板的特征可得∠B＝45°，∠E＝30°，∠EFD＝90°，利用三角形的外角的性质及对顶角的性质可求解∠AGE的度数，再利用三角形外角的性质可求解∠1的
度数．
【解答】解：由题意得△ABC，△DEF为直角三角形，∠B＝45°，∠E＝30°，∠EFD＝90°，
∴∠AGE＝∠BGF＝45°， ∵∠1＝∠E+∠AGE， ∴∠1＝30°+45°＝75°， 故选：D．
4．一个不透明的袋子中装有2个白球和3个黑球，这些球除了颜色外无其他差别，从中摸出3个球，下列事件属于必然事件的是（ ） A．至少有1个球是白色球 C．至少有2个球是白球
B．至少有1个球是黑色球 D．至少有2个球是黑色球
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念解答． 【解答】解：至少有1个球是白球是随机事件，A选项不正确； 至少有1个球是黑球是必然事件，B选项正确； 至少有2个球是白球是随机事件，C选项不正确； 至少有2个球是黑球是随机事件，D选项不正确； 故选：B．
5．由4个棱长均为1的小正方形组成如图所示的几何体，这个几何体的表面积为（ ）
A．18
B．15
C．12
D．6
【分析】几何体的表面积是几何体正视图，左视图，俯视图三个图形中，正方形的个数
的和的2倍．
【解答】解：正视图中正方形有3个； 左视图中正方形有3个； 俯视图中正方形有3个．
则这个几何体中正方形的个数是：2×（3+3+3）＝18个． 则几何体的表面积为18cm2． 故选：A．
6．若关于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一个根是2，则a的值为（ ） A．2
B．3
C．4
D．5
【分析】根据关于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一个根是2，将x＝2代入方程即可求得a的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一个根是2， ∴22﹣2a+6＝0， 解得a＝5． 故选：D．
7．如图，抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L2，则图中两个阴影部分的面积和为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】根据题意可推出OB＝2，OA＝1，AD＝OC＝2，根据平移的性质及抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积，利用矩形的面积公式进行求解即可． 【解答】解：如图所示，
过抛物线L2的顶点D作CD∥x轴，与y轴交于点C， 则四边形OCDA是矩形，
∵抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），
∴OB＝2，OA＝1，
将抛物线L1向下平移两个单位长度得抛物线L2，则AD＝OC＝2，
根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积， ∴S阴影部分＝S矩形OCDA＝OA•AD＝1×2＝2． 故选：B．
8．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，若以AC为直径的⊙O交AB于点D，则CD的长为（ ）
A．
B．
C．
D．5
【分析】由圆周角定理得到CD⊥AB，所以利用勾股定理首先求得AB的长度；然后利用等面积法来求CD的长度即可．
【解答】解：∵以AC为直径的⊙O交AB于点D， ∴∠ADC＝90°，即CD⊥AB．
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
则由勾股定理得到：AB＝∴AC•BC＝AB•CD，即故CD＝故选：C．
．
＝＝
＝10． ．
9．已知直线y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是第一象限内的点，若△PAB为等腰直角三角形，则点P的坐标为（ ） A．（1，1）
B．（1，1）或（1，2）
C．（1，1）或（1，2）或（2，1）
D．（0，0）或（1，1）或（1，2）或（2，1）
【分析】先根据一次函数解析式求出A、B两点的坐标，然后根据已知条件，进行分类讨论分别求出点P的坐标．
【解答】解：直线y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点， 当y＝0时，x＝1，当x＝0时，y＝1；
故A、B两点坐标分别为A（1，0），B（0，1）， ∵点P是第一象限内的点且△PAB为等腰直角三角形， ①当∠PAB＝90°时，P点坐标为（2，1）； ②当∠PBA＝90°时，P点坐标为（1，2）； ③当∠APB＝90°时，P点坐标为（1，1）； 故选：C．
10．如图，在边长为2的正方形ABCD中，若将AB绕点A逆时针旋转60°，使点B落在点B′的位置，连接BB′，过点D作DE⊥BB′，交BB′的延长线于点E，则B′E的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】分别延长AD和BE交于点F，利用特殊角三角函数求出EF的长，根据△ABB'是等边三角形，求出B'E＝BF﹣BB'﹣EF即可． 【解答】解：分别延长AD和BE交于点F， 由题知，AB＝2，∠ABF＝60°，
∴BF＝AB÷cos60°＝2÷＝4，AF＝BF•cos60°＝4×＝30°，
∴DF＝AF﹣AD＝2
﹣2，
）×
＝3﹣
，
＝2
，∠F＝90°﹣∠ABF
∴EF＝DF•cos∠F＝（2
由题知，△ABB'是等边三角形， ∴B'E＝BF﹣BB'﹣EF＝4﹣2﹣（3﹣故选：A．
）＝
﹣1，
二．填空题（共8小题）
11．目前我国建成世界上规模最大的社会保障体系，截止2020年12月底，基本医疗保险覆盖超过13亿人，覆盖94.6%以上的人口．在这里，1300000000用科学记数法表示为 1.3×109 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数． 【解答】解：1300000000＝1.3×109． 故答案为：1.3×109．
12．分解因式：4ax2﹣4ay2＝ 4a（x﹣y）（x+y） ．
【分析】首先提取公因式4a，再利用平方差公式分解因式即可． 【解答】解：4ax2﹣4ay2＝4a（x2﹣y2） ＝4a（x﹣y）（x+y）． 故答案为：4a（x﹣y）（x+y）．
13．黔东南州某校金今年春季开展体操活动，小聪收集、整理了成绩突出的甲、乙两队队员（各50名）的身高得到：平均身高（单位：cm）分别为：
＝160，
＝162．方差
分别为：S2甲＝1.5，S2乙＝2.8．现要从甲、乙两队中选出身高比较整齐的一个队参加上一级的体操比赛，根据上述数据，应该选择 甲队 ．（填写“甲队”或“乙队”） 【分析】根据方差的意义求解即可． 【解答】解：∵S2甲＝1.5，S2乙＝2.8， ∴S2甲＜S2乙， ∴甲队身高比较整齐， 故答案为：甲队．
14．如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，点E在BC的延长线上，若∠ADB＝32°，则
∠DCE的度数为 64 度．
【分析】根据菱形的性质可得BC＝CD，AD∥BC，得到∠CBD＝∠BDC＝∠ADB，利用外角性质可得．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴BC＝CD，AD∥BC，
∴∠CBD＝∠BDC，∠CBD＝∠ADB＝32°， ∴∠CBD＝∠BDC＝32°， ∴∠DCE＝∠CBD+∠BDC＝64°， 故答案为：64．
15．已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为点A（2，1）、点B（2，0）、点O（0，0），若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为 （4，2）或（﹣4，﹣2） ．
【分析】根据位似变换的定义，作出图形，可得结论．
【解答】解：如图，观察图象可知，点A的对应点的坐标为（4，2）或（﹣4，﹣2）．
16．不等式组
的解集是 ．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集．
【解答】解：解不等式5x+2＞3（x﹣1），得：x＞﹣， 解不等式
，得：x≤4，
则不等式组的解集为﹣＜x≤4， 故答案为﹣＜x≤4．
17．小明很喜欢专研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端AB，量的弧AB的中心C到AB的距离CD＝1.6cm，AB＝6.4cm，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为 4 cm．
【分析】先根据垂径定理的推论得到CD过圆心，AD＝BD＝3.2cm，设圆心为O，连接OA，如图，设⊙O的半径为Rcm，则OD＝（R﹣1.6）cm，利用勾股定理得到（R﹣1.6）
2
+3.22＝R2，然后解方程即可．
的中点，CD⊥AB，
【解答】解：∵C点
∴CD过圆心，AD＝BD＝AB＝×6.4＝3.2（cm）， 设圆心为O，连接OA，如图，
设⊙O的半径为Rcm，则OD＝（R﹣1.6）cm，
在Rt△OAD中，（R﹣1.6）2+3.22＝R2，解得R＝4（cm）， 所以圆形瓦片所在圆的半径为4cm． 故答案为4．
18．如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为20πcm，侧面积为240πcm2，则这个扇形的圆心角的度数是 150 度．
【分析】根据扇形面积公式求出圆锥的母线长，再根据弧长公式计算，得到答案． 【解答】解：设圆锥的母线长为lcm，扇形的圆心角为n°， ∵圆锥的底面圆周长为20πcm，
∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为20πcm， 由题意得：×20π×l＝240π， 解得：l＝24， 则
＝20π，
解得，n＝150，即扇形的圆心角为150°， 故答案为：150． 19如图，若反比例函数y＝为 ．
的图象经过等边三角形POQ的顶点P，则△POQ的边长
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质． 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【答案】2．
【分析】如图，过点P作x轴的垂线于M，设P（a，
），则OM＝a，PM＝
，根
据等边三角形三线合一的性质得：OQ＝OP＝2a，在Rt△OPM中，根据勾股定理求得PM＝
a，从而得到方程
＝
a，解得a＝1，所以△POQ的边长为OQ＝2a＝2．
【解答】解：如图，过点P作x轴的垂线于M， ∵△POQ为等边三角形， ∴OP＝OQ，OM＝QM＝OQ， 设P（a，
），
，
则OM＝a，OQ＝OP＝2a，PM＝在Rt△OPM中， PM＝∴
＝
a，
＝
＝
a，
∴a＝1（负值舍去）， ∴OQ＝2a＝2， 故答案为：2．
20如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象经过点（1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③4a﹣2b+c＞0；④当x＝m（1＜m＜2）时，am2+bm＜2﹣c；⑤b＞1，其中正确的有 ．（填写正确的序号）
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力． 【答案】②④⑤．
【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、与x轴、y轴的交点坐标以及过特殊点时系数a、b、c满足的关系等知识进行综合判断即可．
【解答】解：抛物线开口向下，a＜0，对称轴在y轴的右侧，a、b异号，因此b＞0，与y轴的交点在正半轴，c＞0， 所以abc＜0，故①错误； 对称轴在0～1之间，于是有0＜﹣
＜1，又a＜0，所以2a+b＜0，故②正确；
当x＝﹣2时，y＝4a﹣b+c＜0，故③错误；
当x＝m（1＜m＜2）时，y＝am2+bm+c＜2，所以am2+bm＜2﹣c，故④正确； 当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，当x＝1时，y＝a+b+c＝2，所以﹣2b＜﹣2，即b＞1，故⑤正确；
综上所述，正确的结论有：②④⑤， 故答案为：②④⑤． 21（1）计算：2cos30°﹣21﹣
﹣
；
（2）先化简：适的数代入求值．
，然后x从0、1、2三个数中选一个你认为合
【考点】实数的运算；分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】计算题；分式；运算能力． 【答案】（1）（2）x+2，3．
【分析】（1）根据实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行计算即可；
（2）根据分式的化简求值即可得结果． 【解答】解：（1）原式＝（2）原式＝
＝
；
；
＝x+2，
∵x取0或2时，原式无意义， ∴x只能取1， 当x＝1时，原式＝3．
22某校开展了“党在我心中”党史知识竞赛，竞赛得分为整数，王老师为了解竞赛情况，随机抽取了部分参赛学生的得分并进行整理，绘制成不完整的统计图表．
组别 A B C D E
成绩x（分） 75.5≤x＜80.5 80.5≤x＜85.5 85.5≤x＜90.5 90.5≤x＜95.5 95.5≤x＜100.5
频数 6 14 m n p
请你根据统计图表提供的信息解答下列问题： （1）上表中的m＝ ，n＝ ，p＝ ．
（2）这次抽样调查的成绩的中位数落在哪个组？请补全频数分布直方图． （3）已知该校有1000名学生参赛，请估计竞赛成绩在90分以上的学生有多少人？ （4）现要从E组随机抽取两名学生参加上级部门组织的党史知识竞赛，E组中的小丽和小洁是一对好朋友，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到小丽和小洁的概
率．
【考点】全面调查与抽样调查；用样本估计总体；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；加权平均数；中位数；列表法与树状图法．
【专题】统计的应用；概率及其应用；数据分析观念；推理能力．
【答案】（1）18，8，4； （2）C组，图形见解析； （3）240人； （4）18，8，4；
【分析】（1）由B组的人数和所占百分比求出抽取的学生人数，即可解决问题； （2）由中位数的定义求出中位数落在C组，再由（1）的结果补全频数分布直方图即可； （3）由该校参赛人数乘以竞赛成绩在90分以上的学生所占的比例即可；
（4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到小丽和小洁的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）抽取的学生人数为：14÷28%＝50（人）， ∴m＝50×36%＝18， 由题意得：p＝4，
∴n＝50﹣6﹣14﹣18﹣4＝8， 故答案为：18，8，4； （2）∵p+n+m＝4+8+18＝30， ∴这次调查成绩的中位数落在C组； 补全频数分布直方图如下：
（3）
，
即估计竞赛成绩在90分以上的学生有240人；
（4）将“小丽”和“小洁”分别记为：A、B，另两个同学分别记为：C、D 画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到小丽和小洁的结果有2种， ∴恰好抽到小丽和小洁的概率为：
＝．
23如图，PA是以AC为直径的⊙O的切线，切点为A，过点A作AB⊥OP，交⊙O于点B． （1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若AB＝6，cos∠PAB＝，求PO的长．
【考点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；切线的判定与性质；解直角三角形． 【专题】证明题；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力． 【答案】（1）证明过程见解析； （2）
．
【分析】（1）连接OB，证明△PAO≌△PBO（SAS），由全等三角形的性质得出∠PBO＝∠PAO＝90°，则可得出结论；
（2）设OP与AB交于点D．求出PA＝5，由勾股定理求出PD＝4，由锐角三角函数的定义可求出答案．
【解答】（1）证明：连接OB，
∵PA是以AC为直径的⊙O的切线，切点为A，
∴∠PAO＝90°， ∵OA＝OB，AB⊥OP， ∴∠POA＝∠POB， 在△PAO和△PBO中，
，
∴△PAO≌△PBO（SAS）， ∴∠PBO＝∠PAO＝90°， 即OB⊥PB， ∴PB是⊙O的切线；
（2）解：设OP与AB交于点D．
∵AB⊥OP，AB＝6，
∴DA＝DB＝3，∠PDA＝∠PDB＝90°， ∵∴PA＝5， ∴PD＝
＝
，
，
，
，
在Rt△APD和Rt△APO中，∴∴PO＝
，
．
24黔东南州某销售公司准备购进A、B两种商品，已知购进3件A商品和2件B商品，需要1100元；购进5件A商品和3件B商品，需要1750元． （1）求A、B两种商品的进货单价分别是多少元？
（2）若该公司购进A商品200件，B商品300件，准备把这些商品全部运往甲、乙两地
销售．已知每件A商品运往甲、乙两地的运费分别为20元和25元；每件B商品运往甲、乙两地的运费分别为15元和24元．若运往甲地的商品共240件，运往乙地的商品共260件．
①设运往甲地的A商品为x（件），投资总运费为y（元），请写出y与x的函数关系式； ②怎样调运A、B两种商品可使投资总费用最少？最少费用是多少元？（投资总费用＝购进商品的费用+运费）
【考点】二元一次方程组的应用；一次函数的应用． 【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）A商品的进货单价为200元，B商品的进货单价为250元；（2）①y与x的函数关系式为y＝4x+125040；②调运240件B商品到甲地，调运200件A商品、60件B商品到乙地总费用最小，最小费用为125040元．
【分析】（1）设A商品的进货单价为x元，B商品的进货单价为y元，根据购进3件A商品和2件B商品，需要1100元；购进5件A商品和3件B商品，需要1750元列出方程组求解即可；
（2）①设运往甲地的A商品为x件，则设运往乙地的A商品为（200﹣x）件，运往甲地的B商品为（240﹣x）件，运往乙地的B商品为（60+x）件，根据投资总费用＝购进商品的费用+运费列出函数关系式即可；②由自变量的取值范围是：0≤x≤200，根据函数的性质判断最佳运输方案并求出最低费用．
【解答】解：（1）设A商品的进货单价为x元，B商品的进货单价为y元， 根据题意，得解得：
，
，
答：A商品的进货单价为200元，B商品的进货单价为250元；
（2）①设运往甲地的A商品为x件，则设运往乙地的A商品为（200﹣x）件， 运往甲地的B商品为（240﹣x）件，运往乙地的B商品为（60+x）件，
则y＝200×200+250×300+20x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x）＝4x+125040， ∴y与x的函数关系式为y＝4x+125040； ②在y＝4x+125040中，
自变量的取值范围是：0≤x≤200， ∵k＝4＞0，
∴y随x增大而增大．
当x＝0时，y取得最小值，y最小＝125040（元），
∴最佳调运方案为：调运240件B商品到甲地，调运200件A商品、60件B商品到乙地，最小费用为125040元．
答：调运240件B商品到甲地，调运200件A商品、60件B商品到乙地总费用最小，最小费用为125040元．
25在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD． 【探究发现】
（1）如图①，若∠BAD＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°．求证：AD+AB＝AC； 【拓展迁移】
（2）如图②，若∠BAD＝120°，∠ABC+∠ADC＝180°． ①猜想AB、AD、AC三条线段的数量关系，并说明理由； ②若AC＝10，求四边形ABCD的面积．
【考点】四边形综合题． 【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】（1）见解答过程；（2）①AD+AB＝AC，②25
．
，
．则AD+AB
【分析】（1）由题意可得∠ACD＝∠ACB＝30°，从而有AD＝＝AC；
（2）①过点C分别作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F．证△CFB≌△CED，得FB＝DE，则AD+AB＝AD+FB+AF＝AD+DE+AF＝AE+AF，由（1）知：AE+AF＝AC，代入即可； ②将四边形ABCD的面积转化为S△ACD+S△ABC，结合①的结论可解决问题． 【解答】解：（1）证明：∵AC平分∠BAD，∠BAD＝120°， ∴∠DAC＝∠BAC＝60°
∵∠ADC＝∠ABC＝90° ∴∠ACD＝∠ACB＝30°， ∴AD＝
，
．
∴AD+AB＝AC， （2）①AD+AB＝AC，
理由：过点C分别作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F．
∵AC平分∠BAD，CE⊥AD于E，CF⊥AB， ∴CF＝CE
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠EDC+∠ADC＝180°， ∴∠FBC＝∠EDC 在△CED和△CFB中，
，
∴△CFB≌△CED（AAS）， ∴FB＝DE，
∴AD+AB＝AD+FB+AF＝AD+DE+AF＝AE+AF， 在四边形AFCE中，由（1）题知：AE+AF＝AC， ∴AD+AB＝AC，
②在Rt△ACE中，∵AC平分∠BAD，∠BAD＝120°， ∴∠DAC＝∠BAC＝60°，
又∵AC＝10 ∴CE＝AC
∵CF＝CE，AD+AB＝AC， ∴
．
26如图，抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D． （1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，若以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形，请直接写出点P、Q的坐标；
（3）已知点M是x轴上的动点，过点M作x的垂线交抛物线于点G，是否存在这样的点M，使得以点A、M、G为顶点的三角形与△BCD相似，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
＝
，
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；多边形与平行四边形；图形的相似；数据分析观念． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）点P、Q的坐标分别为（1，﹣3）、（4，0）或（1，3）、（﹣2，0）；（3）点M的坐标为：（0，0）或（，0）或（6，0）或（【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）当以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形时，点C向右平移3个单位向上平移3个单位得到点B，同样P（Q）向右平移3个单位向上平移3个单位得
，0）．
到点Q（P），即可求解；
（3）要使以A、M、G为顶点得三角形与△BCD相似，需要满足条件：进而求解．
【解答】解：（1）将点B（3，0），C（0，﹣3）分别代入y＝ax2﹣2x+c中，得：解得
，
，，
∴抛物线得函数关系为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝﹣故设点P（1，m）， 设点Q（x，0），
当以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形时，
点C向右平移3个单位向上平移3个单位得到点B，同样P（Q）向右平移3个单位向上平移3个单位得到点Q（P）， 则1±3＝x且m±3＝0， 解得
或
，
＝1，
故点P、Q的坐标分别为（1，﹣3）、（4，0）或（1，3）、（﹣2，0）；
（3）当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3， ∴A（﹣1，0），
又y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线得顶点D得坐标为（1，﹣4）， ∵C（0，﹣3）、B（3，0）、D（1，﹣4）， ∴BD2+22+42＝20，CD2＝12+12，BC2＝32+32， ∴BD2＝CD2+BC2，
∴△BDC是直角三角形，且∠BCD＝90°，
设点M得坐标（m，0），则点G得坐标为（m，m2﹣2m﹣3）， 根据题意知：∠AMG＝∠BCD＝90°，
∴要使以A、M、G为顶点得三角形与△BCD相似，需要满足条件：，
①当m＜﹣1时，此时有：，
解得：
，m2＝﹣1或m1＝0，m2＝﹣1，都不符合m＜﹣1，所以m＜﹣1时无解；
，
②当﹣1＜m≤3时，此时有：
解得：∴M（
，m2＝﹣1（不符合要求，舍去）或m1＝0，m2＝﹣1（不符合要求，舍去）， ）或M（0，0），
③当m＞3时，此时有：或，
解得：
∴点M（6，0）或M（
（不符合要求，舍去）或m1＝6，m2＝﹣1（不符要求，舍去）， ，0），
答：存在点M，使得A、M、G为顶点得三角形与△BCD相似，点M的坐标为：M（0，0）或M（，0）或M（6，0）或M（
，0）．
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