2热传导方程的初值问题

一维热传导方程的初值问题(或Cauchy问题)

2u2uf(x,t),x,a2xtu(x,0)(x),xt0 （2.1）

uu2uut,ux,2uxx. 偏导数的多种记号txx问题(2.1)也可记为

uta2uxxf(x,t),x,u(x,0)(x),x2.1 Fourier变换

t0.

我们将用Fourier 变换法求解热传导方程的柯西问题.为此我们将着重介绍Fourier变换的基本知识.Fourier变换在许多学科中是重要使用工具. 可积函数,设ff(x)是定义在(,)上的函数,积，若积分

且对任意AB，f(x)在[A,B]上可

f(x)dx收敛,则称f(x)在(,)上绝对可积。

1将(,)上绝对可积函数形成的集合记为L(,)或L(,)， 即L(,)L(,)f|1f(x)dx ，称为可积函数空间.

连续函数空间: (,)上全体连续函数构成的集合,记为C(,),

C(,)f|f在(,)上连续， C1(,)f|f,f在(,)上连续。

定义2.1 若fL(,),那么积分

12f(x)eixdxˆf(), (2.2)

f()称为f(x)的Fourier变式(或Fourier变换的象). 有意义,称为Fourier变换, ˆFf()ˆf()121f(x)eixdx

定理2.1 (Fourier积分定理)若fL(,)C(,),那么我们有

1

limN12NNˆf()eixdf(x), (2.3)

公式(2.3)称为反演公式.左端的积分表示取Cauchy主值.

1通常将由积分

2因此(2.3)亦可写成

g()eixdg(x)所定义的变换称为Fourier逆变换.

ˆf1f

即一个属于L(,)C(,)的函数作了一次Fourier变换以后,再接着作一次Fourier逆变换,就回到这个函数本身.

f()称为f(x)的频谱.Fourier变换的重要性亦远远超出求解偏微在应用科学中经常把ˆ分方程的范围,它在其它应用科学中,如信息论,无线电技术等学科中都有着极为广阔的应用.它

是近代科学技术中得到广泛应用的重要数学工具.

定理2.1的证明在经典书中都能查到(如姜礼尚,陈亚浙,<<数学物理方程讲义>>)

ˆ()定理2.2 设fL(,)，f12f()是有界连续函数,且 f(x)eixdx，则ˆlimˆf()0.

在运用Fourier变换求解定解问题以前,我们先来介绍一些Fourier变换的性质.

Fourier变换的性质： 1.（线性性质） 若fjL(,),jC,j1,2.则

1f12f21ˆf12ˆf2,

2.（微商性质）

df若f(x),f(x)C(,)L(,),则f. iˆdx证明 由假设f(x),f(x)C(,)L(,),故limf(x)0,

x事实上由f(x)C(,),则f(x)f(0)f(t)dt,

0x因为f(x)L(,),故有

xlimf(x)af(0)0f(t)dt

又因f(x)L(,),必有a0.

2

由limf(x)0,利用分部积分公式

x1df2dxf(x)eixdx

1f(x)eix2i2f(x)(ieix)dx

f(x)eixdxiˆf().

附注 这个性质说明微商运算经Fourier变换转化为乘积运算,因此利用Fourier变换可把常系

数微分方程简化为函数方程,或把偏微分方程简化为常微分方程,正是由于这个原因,Fourier变换成为解微分方程的重要工具. 3.（乘多项式）

若f(x),xf(x)L(,)则有xf(x)idˆf(). df()是的连续可微函数,且有 证明 由于f(x),xf(x)L(,),故ˆdˆ1f()d2f(x)(ix)eixdx(i)xf(x)

(m)(x)C(,)L(,),则 附注 作为性质2,3的推论,若f(x),f(x),fdmfdxmmˆif(),(m1) m若f(x),xf(x),xf(x)L(,),则

dmˆxf(x)if(),(m1)

dmmm4．（平移性质）

若f(x)L(,),则

f(xa)证明

eiaˆf()(m1)

f(xa)12f(xa)eixdx12xay5.（伸缩性质）

若f(x)L(,),则



f(y)ei(ya)dyeiaˆf()3

f(kx)1ˆf(),(k0) kk证明 无妨设k0,由定义

f(kx)12f(kx)eixdxkxy12f(y)eiyk1dyk1dyk11f(y)e2k1ˆf()kk6.（对称性质）

iyk

f(), 若f(x)L(,),则 f()ˆ证明f()7.（卷积定理）

12f(x)eixdx12f(x)ei()xdxˆf().

若f(x),g(x)L(,),fg(x)f(xt)g(t)dt称为f与g的卷积,

ˆ(). 2ˆf()g则fg(x)L(,),且有fg()证明 由积分交换次序定理

fg(x)dx|f(xt)g(t)dt|dxf(xt)g(t)dxdtf(x)dxg(t)dt g(t)f(xt)dxdt故fg(x)L(,),又由积分交换次序定理

1ixfgedxf(xt)g(t)dt21itg(t)edtf(xt)ei(xt)dx2

11itiy2g(t)edtf(y)edy22ˆ.2ˆfg下面作为例子,我们根据Fourier变换的定义与性质求一些具体函数的Fourier变换.

1,f(x)例1 设 10,f1(). 求ˆ

xAxA,(其中常数A0).

4

解 由定义

ˆf1()12AAf1(x)eixdx12AAeixdx

2sinA11ixAe. A2iex,例2 设f2(x)0,f2(). 求ˆx0, x0ˆf2()120eexixdx1210e(1i)xdx

11e(1i)x021ix1.

21i例3 设f3(x)e,求ˆf3()

xˆf3()12eeixdx01(1i)x(1i)xedxedx 0211121i1i212. 221例4 设f4(x)ex,求ˆf4()

ˆf4()12ex2eixdx12ex21ixedx i122i1ixx22x2ixieeixeedx

x242dˆxef() ， d上面最后一个等式应用了性质3. 因为ˆf4()作为的函数适合下面常微分方程初值问题：

dˆf4()ˆf4(),d2, 211xˆf4(0)edx22解之得

5

ˆf4()2例5 设f5(x)eAx,（A0）,求ˆf5().

12e24.

由性质5

1ˆ1ˆf5()f5(x)f4(Ax)f4()eAA2A24A.

例6 f6(x)ex2BexB2f4(xB),(B0)

ˆf6()f6(x11/Bˆf4(1/B)B2eB24.

fg(x)112ixfg()ed f(y)g(y)dyeixd 2ixf(y)g(y)eddy 2112f(y)ei(y)xddy g(y)eiyx2f(x)g(x),

1fg2于是fg因为fg122ˆfˆgfg,

12fg,

ˆ, 2ˆfgˆfg所以ˆ12fg12fg.

最后我们简单地介绍一些有关多维Fourier变换的基本知识

n定义2.2 设f(x)f(x1,x2,,xn)L(R),那么积分

6

2n11Rnf(x)eixdxˆf(),

f()称为f(x)的Fourier变式. 有意义,称为f(x)的Fourier变换,ˆ定理2.2（反演公式）若f(x)C(R)L(R),则有

nnNlim2n1Nˆ()eixdf(x). f定理2.2表明ˆf2ng(x)1ixg()ed称为g()的Fourier逆变换. nRf,f＝f容易证明关于一维Fourier变换的性质1—7对于多维Fourier

变换依然成立.根据上面Fourier变换的定义,我们还有下面的结论： 8. 若f(x)f1(x1)f2(x2)fn(xn),其中fi(xi)L(,),则有

ˆ()fˆ() （2.5） fiii1n利用这一性质,我们可求出函数f(x)eAx2eAxi的Fourier变式.

i1n2事实上eAxi212Aeni24A,

n22ˆf()eAxieAxii1i1ni114Ae2Ai212Ane24A.

2.2 Poisson公式

在这一小节中我们应用Fourier变换解初值问题

2u2uf(x,t),x,a2xtu(x,0)(x),xt0 （2.6）

在方程（2.6）两边关于变量x作Fourier变换,

ˆ(,t)u利用性质1和性质2,得到

12u(x,t)eixdx ,

ˆdu22ˆˆf(,t),au dtuˆ(),ˆt0ˆ(,t)其中 u

12ˆ()u(x,t)eixdx,7

12(x)eixdx

ˆf(,t)f(x,t).

解之得

ta22ta22(t)ˆˆˆu(,t)ef(,)ed,

0现在对上式两边求反演,由反演公式,得

ˆe u(x,t)由ea22tt22ˆf(,)ea(t)d （2.7） 0Axi214Ae,

2A221eat, 12a2t212x21取A则e4at24at12x2122即e4ateat, a2t令g(x,t)1a2te14a2tx2,g(x,t)ea22t,

ˆe从而有12a22tˆgˆ1*g 2()g(x)d

(x)24a2t12at()d （2.8）

同理我们有

22ˆf(,)ea(t)ˆ(,t)ˆf(,)g1f*g 21f(,)e2a(t)(x)24a2(t)d （2.9）

于是得

u(x,t)12at()(x)24a2tddf(,)0t1e2a(t)(x)24a2(t)d

在一定条件下,可以证明上述表达式的函数是方程问题的解. 定理2.3 若(x)C(,),且(x)有界,则u(x,t)12at()e(x)24a2td

8

在R(0,)上连续,且在R(0,)上具有任意阶的连续偏导数，

2u2u0,x,a2u(x,t)是问题txu(x,0)(x),xt0的解,

即u(x,t)满足方程和limu(x,t)(x0). t0xx0u(x,t)12at()e1(x)24a2td

2(x)/2at(x2at)ed

特别说明：当(x)连续,(x)是某些无界函数时,u(x,t)的表达式亦是解（(x)无界时，也可以是解）.

2u2u,a例1 求解tx2

ut0sinx解 1、直接观察u(x,t)eatsinx是解. 2、u(x,t)21(x2at)ed

2211sin(x2at)ed

sinxcos2atecosxsin2ated

221sinxcos2ate122d

sinx2ei2ated

2sinx21e24a2t4sinx21e24a2t4eatsinx, e221e224.

2u2u,aa2t2例2求初值问题t的解u(x,t)ecosx. xut0cosx 9

2utauxx,例3求初值问题的解. 2ux1t0解1 直接观察u(x,t)x12at 2. u(x,t)221(x2at)21ed

221x24axt4a2t21ed

x212a2t

从这几个实例上,更直观明显的证明求解公式的正确,对模型方程的正确性,提供保证.

2utauxx, 2ucosxx1t0定理 设(x)在(,)上连续且有界，

f(x,t)，fx(x,t)在(,)[0,T]上连续且有界，

令 u(x,t)12at()e(x)24a2td12adf(,)0t1et(x)24a2(t)d，

其中常数a0，则有limu(x,t)(x0)；u(x,t)问题

xx0,t02u2uf(x,t),x,ax2tu(x,0)(x),xt0

的解。

证明 由于u(x,t)1(x2at)e2d12d0tf(x2at,)ed，

2利用控制收敛定理，得limu(x,t)xx0,t01(x0)ed0(x0)；

u(x,t)1()(ett2at(x)24a2t)d(x)24a2(t)12at0df(,)1(ett)d f(x,t)；

10

u(x,t)1()(e22xx2at22(x)24a2t)d(x)24a2(t)12at0df(,)1(e2xt2)d，

2u2uaf(x,t)，结论得证。 显然成立2tx定理 假设函数f(x,t)，(x)关于x都是解析的，则问题

2u2uf(x,t),x,a2xtu(x,0)(x),xt0

的解可以写成

2nt[a(t)](a2t)n(2n)u(x,t)(x)fx(2n)(x,)d

0n!n!n0n0其中(2n)(x)和fx(2n)(x,)分别是(x)和f(x,)关于x的2n阶导数。

证明：u(x,t)11(x2at)ed

221t0f(x2at,)edd

k0(k)(x)k!t(2at)ked

2fx(k)(x,)(t)kedd k!210k02nt[a(t)](a2t)n(2n)(x)fx(2n)(x,)d。

0n!n!n0n0

2uu2Ax,(x,a2例 求解定解问题txu(x,0)cosx,(x).t0),

其中A,是常数。 解 方法一：u(x,t)

1cos(x2at)e11

2d

1t0A(x2at)edd

22122cosxcos2atedAxt

eatcosxAxt；

(a2t)n(cosx)(2n)Axt 方法二：u(x,t)n!n0(a22t)n(1)ncosxAxt

n!n0e

a22tcosxAxt。

2u2u0,a2解的性质与物理解释（对齐次方程txu(x,0)(x),

1.（奇偶性与周期性）

若是奇（偶,周期为l的）函数,则解u(x,t)期为l的）函数. 2.（无限传播速度）

如果杆的初始温度(x)只在小段(x0,x0)上不为零,不妨假设(x)0,即

12at()e(x)24a2td亦是x的奇（偶,周

(x)0,x(x0,x0),其它处(x)0.那么当t0,杆上各点的温度u(x,t)12at()e(x)24a2td12atx0x0()e(x)24a2td0

也就是说在顷刻之间,热量就传递到杆上的任意一点,当然在x0附近的点所受到的影响较大（e(x)24a2t来定）,而离x0较远的点受到的影响较小.这与我们知道的物理现象一致.

初值问题解的渐近性态

讨论当t时,热传导方程初值问题解的渐近性态.由前面的讨论可知,当(x)为有界

2utauxx,连续函数时,热传导方程的初值问题的解的唯一性,由下列Possion积分给出

u(x)t0 12

u(x,t)12at()e(x)24a2td.

为了讨论解的渐近性态,还需要对(x)加进一步的条件. 如果

(x)dx收敛,则称L1(R),并记1L1(R)(x)dx.

定理2.4设是有界连续函数,且L(R),则初值问题的唯一经典解（古典解）具有如下的渐近性态：对一切xR,t0当t时,一致地成立

u(x,t)Ct其中C为一个仅与a与

120,（t）.

L1(R)有关的正常数.

(x)24a2t证明 由u(x,t)12at()e(x)24a2td,

u(x,t)12a12at()ed

t()d

121212aL1(R)tCt

证毕.

物理现象符合,高温变低温,以至冷却到0. 热的不可逆性：

2u2u0,a2xtu(x,0)(x),x,t0

对一般的(x),解不存在,说明热的逆现象是不确定的.

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