圆与二次函数难度题(含答案)

1．（四川模拟）如图，Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，AC＝23，BC＝1．以AC为一边，在AC的右侧作等边△ACD，连接BD，交⊙O于点E，连接AE，求BD和AE的长．

A

O D

E

B C 解：过D作DF⊥BC，交BC的延长线于F

∵△ACD是等边三角形 A ∴AD＝CD＝AC＝23，∠ACD＝60° ∵∠ACB＝90°，∴∠ACF＝90°

1∴∠DCF＝30°，∴DF＝CD＝3，CF＝3DF＝3

2

O E B C D

∴BF＝BC＋CF＝1＋3＝4

∴BD＝BF 2＋DF 2＝16＋3＝19

F ∵AC＝23，BC＝1，∴AB＝AC 2＋BC 2＝13

∵BE＋DE＝BD，∴AB 2－AE 2＋AD 2－AE 2＝BD

即13－AE 2＋12－AE 2＝19

∴13－AE 2＝19－12－AE 2

两边平方得：13－AE 2＝19＋12－AE 2－219(12－AE 2)

整理得：19(12－AE 2)＝9，解得AE＝

7

57 19

︵2．（四川模拟）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，D为△ABC外接圆⊙O上 AC的中点．

︵（1）如图1，P为 ABC的中点，求证：PA＋PC＝3PD；

︵（2）如图2，P为 ABC上任意一点，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． A A P

D P D

O O

C B C B

图1 图2

（1）证明：连接AD

︵︵∵D为AC的中点，P为 ABC的中点 ∴PD为⊙O的直径，∴∠PAD＝90°

∵∠B＝60°，∴∠APC＝60°

︵∵D为AC的中点，∴∠APD＝∠CPD＝30°

A 3∴PA＝PD·cos30°＝PD

2

︵∵P为 ABC的中点，∴PA＝PC

D O P

∴PA＋PC＝3PD （2）成立 理由如下：

延长PA到E，使EA＝PC，连接DE、AD、DC 则∠EAD＋∠PAD＝180° ∵∠PCD＋∠PAD＝180°

E ∴∠EAD＝∠PCD

︵︵︵∵D为AC的中点，∴AD＝CD ∴AD＝CD

∴△EAD≌△PCD，∴ED＝PD 过D作DH⊥PE于H 由（1）知，∠APD＝30°

C B H A P D O ∴PH＝PD·cos30°＝

3

PD，PE＝2PH＝3PD 2

C B ∵PA＋EA＝PE，∴PA＋PC＝3PD 3．（湖北模拟）如图，AB是⊙O的直径，PA、PC分别切⊙O于A、C，CD⊥AB于D，PB交CD于E．

（1）求证：CE＝DE；

C （2）若AB＝6，∠APC＝120°，求图中阴影部分的面积．

P E

A B D O

（1）证明：连接OP、OC、BC ∵PA、PC是⊙O的切线

∴PA＝PC，∠PAO＝∠PCO＝90° C 又PO＝PO，∴Rt△PAO≌Rt△PCO

P E ∴∠POA＝∠POC，∴∠AOC＝2∠POA

又∠AOC＝2∠ABC，∴∠POA＝∠ABC

A B

D O 又∠PAO＝∠CDB＝90°，∴△PAO≌△CDB ∴

PAOA

＝ CDBD

∵∠PAB＝∠EDB＝90°，∠PBA＝∠EBD ∴△PAB≌△EDB，∴

PABA

＝ EDBD

∵AB＝2OA，∴

PA2OA2PA＝＝ EDBDCD

∴CD＝2ED，∴CE＝DE

（2）解：∵∠APC＝120°，∠PAO＝∠PCO＝90° ∴∠AOC＝60°，∴∠DCO＝30° ∵AB＝6，∴OA＝OC＝3

333

∴OD＝OC·sin30°＝，CD＝OC·cos30°＝

22

∴S阴影＝S扇形AOC－S△DOC

60×π×321333＝－××

360222

＝

3π93－ 28

4．（上海模拟）如图，⊙O的半径为6，线段AB与⊙O相交于点C、D，AC＝4，∠BOD＝

∠A，OB与⊙O相交于点E，设OA＝x，CD＝y． （1）求BD的长；

（2）求y关于x的函数关系式，并写出定义域； （3）当CE⊥OD时，求AO的长． O

E

A B C D 解：（1）∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠OCA＝∠ODB ∵∠BOD＝∠A，∴△OBD∽△AOC，∴∵OC＝OD＝6，AC＝4，∴

BDOD

＝ OCAC

BD6

＝，∴BD＝9 64

（2）∵△OBD∽△AOC，∴∠AOC＝∠B 又∵∠A＝∠A，∴△ACO∽△AOB，∴

O

ABAO

＝ AOAC

E A C D B

y＋13x

∵AB＝AC＋CD＋BD＝y＋13，∴＝ x4

1

∴y＝x2－13

4

1

∵0＜y＜8，∴0＜x2－13＜12，解得213＜x＜10

4

∴定义域为213＜x＜10

（3）∵OC＝OE，CE⊥OD．∴∠COD＝∠BOD＝∠A ∴∠AOD＝180º－∠A－∠ODC＝180º－∠COD－∠OCD＝∠ADO

1

∴AD＝AO，∴y＋4＝x，∴x2－13＋4＝x

4

∴x＝2±210（舍去负值） ∴AO＝2±210

5．（北京模拟）如图，抛物线y＝

22

x－2x与x轴负半轴交于点A，顶点为B，且对称轴与m

x轴交于点C．

（1）求点B的坐标（用含m的代数式表示）；

（2）D为BO中点，直线AD交y轴于E，若点E的坐标为（0，2），求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，点M在直线BO上，且使得△AMC的周长最小，P在抛物线上，Q在直线 BC上，若以A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．

y B D E A C O x

解：（1）∵y＝

2m

x2

－2x＝2

(x11

m

－

2 m )2－ 2

m

∴抛物线的顶点B的坐标为（11

2 m，－ 2

m）

（2）令2

m

x2

－2x＝0，解得x1＝0，x2＝m

∵抛物线y＝

2

m

x2

－2x与x轴负半轴交于点A

∴A（m，0）且m＜0. 过点D作DFx轴于F

由D为BO中点，DF∥BC，可得CF＝FO＝1

2

CO

∴D＝1

2

BC

由抛物线的对称性得AC＝OC，∴

AF

3

AO＝

4

∵DF∥EO，∴△ADF∽△AEO，∴

DF

AF

EO

＝

AO

由E（0，2），B（111

2 m，－ m），得OE＝2，DF＝－

m 2 4

1

－

m

∴

4

＝

3

2

4

，∴m＝－6

∴抛物线的解析式为y＝－1

3

x2

－2x

y B A C O x 备用图

y B D E A C F O x y B M C1 A C O x （3）依题意，得A（－6，0），B（－3，3），C（－3，0） 可得直线OB的解析式为y＝－x，直线BC为x＝－3 作点C关于直线BO的对称点C1（0，3），连接AC1交BO于M，则M即为所求 1由A（－6，0），C1（0，3），可得直线AC1的解析式为y＝x＋3

2

1y＝2x＋3x＝－2

由 解得

y＝2y＝－x

∴点M的坐标为（－2，2）

11

由点P在抛物线y＝－x2－2x上，设P（t，－t2－2t）

33

y

B C1 M A C G O H Q P x ①当AM为平行四边形的一边时

如右图，过M作MG⊥x轴于G，过P作PH⊥BC于H 则xG＝xM＝－2，xH＝xB＝－3

可证△AMG≌△PQH，得PH＝AG＝4 ∴t－(－3)＝4，∴t＝1

7

∴P1（1，－）

3

如右图，同理可得PH＝AG＝4 ∴－3－t＝4，∴t＝－7 7

∴P2（－7，－）

3

B M C A P y C1

Q G O H x ②当AM为平行四边形的对角线时

如右图，过M作MH⊥BC于H，过P作PG⊥x轴于G 则xH＝xB＝－3，xG＝xP＝t

可证△APG≌△MQH，得AG＝MH＝1 ∴t－(－6)＝1，∴t＝－5

5

∴P3（－5，）

3

P

B H M Q y C1 775

综上，点P的坐标为P1（1，－），P2（－7，－），P3（－5，）

333

A G C O x

6．（上海模拟）已知：如图，直线y＝x－15与x轴、y轴分别相交于点A和点B，抛物线y1

＝－x2＋bx＋c经过A、B两点．

3

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若该抛物线的顶点为点D，与x轴的另一个交点为点C，对称轴与x轴交于点H，求△DAC的面积；

（3）若点E是线段AD的中点，CE与DH交于点G，点P在y轴的正半轴上，△POH是否能够与△CGH相似？如果能，请求出点P的坐标；如果不能，请说明理由．

y O A x B 解：（1）由题意，得A（15，0），B（0，－15） 1

∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A、B两点

3

1－3×152＋15b＋c＝0b＝6∴ 解得

c＝－15c＝－15

1

∴抛物线的解析式为y＝－x2＋6x－15

3

11

（2）∵y＝－x2＋6x－15＝－(x－9)2＋12

33

∴顶点D的坐标为（9，12） 1

设y＝0，则－(x－9)2＋12＝0

3

y P2 P1 O C ∴(x－9)＝36，∴x1＝3，x2＝15 ∴C（3，0），∴AC＝15－3＝12

2

O E G H A x 11

∴S△DAC＝AC·DH＝×12×12＝72

22

（3）∵点E是线段AD的中点，点H是线段AC的中点 1

∴点G是△DAC的重心.，∴GH＝DH＝4

3

POOH①若＝，则△HPO∽△CGH

GHCH

B

∴

PO9

＝，∴PO＝6 46

∴P1（0，6） ②若∴

POOH

＝，则△PHO∽△CGH CHGH

PO927

＝，∴PO＝ 642

27∴P2（0，）

2

27

∴△POH能够与△CGH相似，此时点P的坐标为P1（0，6）或P2（0，）

2

5

7．（四川成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x＋m（m为常数）的图象

4

与x轴交于点A（－3，0），与y轴交于点C．以直线x＝1为对称轴的抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，且a≠0）经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B． （1）求m的值及抛物线的函数表达式；

（2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；

（3）若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不

平行的直线交抛物线于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试探究 并写出探究过程．

M1P·M2P

是否为定值，

M1M2

y C A O B x x＝1 5

解：（1）∵一次函数y＝x＋m的图象与x轴交于点A（－3，0）

4

515∴×(－3)＋m＝0，解得m＝ 44

15∴点C的坐标是（0，）

4

∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A，C两点，且对称轴为直线x＝1

c＝15

4∴b－2a＝1

9a－3b＋c＝0

1

解得b＝2

c＝154

a＝－

1

4

1115

∴抛物线的函数表达式为y＝－x2＋x＋

424

（2）假设存在点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形 （ⅰ）当CE∥AF时，点E在x轴上方，yE＝yC＝

15

4

111515

由－x2＋x＋＝，解得x1＝0（舍去），x2＝2

4244

151515

∴E1（2，），此时S□ACE1F1＝2×＝ 442

15

（ⅱ）当AE∥CF时，点E在x轴下方，yE＝－yC＝－

4

y C A F1 O B E2 E1 F2 x

111515

由－x2＋x＋＝－，解得x1＝1＋31，x2＝1－31（舍去） 4244

15∴E2（1＋31，－）

4

H

过E2作E2H⊥x轴于H，则△E2HF2≌△COA ∴HF2＝AO＝3，AF2＝7＋31

∴S□ACF2E2＝2S□ACF2＝AF2·CO＝

15(7＋31)

4

x＝1

1515

综上所述，存在符合条件的点E1（2，），E2（1＋31，－），使得以A，C，E，F为顶

44

点的四边形是平行四边形，相应的面积分别是

1515(7＋31)

， 24

（3）方法一：∵A，B两点关于抛物线的对称轴x＝1对称

∴AP＋CP＝BP＋CP≥BC

∴当C、P、B三点在一条直线上时，△ACP的周长取得最小值 此时点P的坐标为（1，3）

分别过点M1，M2作直线x＝1的垂线，垂足为N1，N2 在Rt△M1PN1中，由勾股定理得

y C A O M2 N2 M1P 2＝M1N12＋PN12＝(x1－1)2＋(y1－3)2 ①

11151

∵y1＝－x12＋x1＋＝－(x1－1)2＋4

4244

即(x1－1)＝4(4－y1)，将其代入①，得M1P ＝(5－y1)

∴M1P＝5－y1（y1＜5） 同理M2P＝5－y2

由M1N1∥M2N2，得△M1PN1∽△M2PN2

222

M1 N1 B x x＝1 ∴

5－y13－y1M1PN1P

＝，即 ＝ M2PN2P5－y2y2－3

整理得y1y2＝4(y1＋y2)－15

∴ 故

(5－y1)(5－y2)y1y2－5(y1＋y2)＋25M1P·M2P

＝＝＝1

M1M2(5－y1)＋(5－y2)10－(y1＋y2)

M1P·M2P

是定值，其值为1

M1M2

方法二：

同方法一得点P的坐标为（1，3） 设过点P的直线表达式为y＝kx＋3－k

y＝kx＋3－k2

联立12115 消去y，整理得x＋(4k－2)x－(4k＋3)＝0

y＝－4x＋2x＋4

∴x1＋x2＝2－4k，x1x2＝－(4k＋3)

由y1＝kx1＋3－k，y2＝kx2＋3－k，得y1－y2＝k(x1－x2)

∴M1P 2·M2P 2＝[(x1－1)2＋(y1－3)2][(x2－1)2＋(y2－3)2]

＝[(x1－1)2＋k 2(x1－1)2][(x2－1)2＋k 2(x2－1)2] ＝(k 2＋1)2(x1－1)2(x2－1)2 ＝(k 2＋1)2(x1x2－x1－x2＋1)2 ＝16(k 2＋1)2

M1M22＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2

＝(k 2＋1)(x1－x2)2

＝(k 2＋1)[(x1＋x2)2－4x1x2] ＝16(k 2＋1)2

∴M1P 2·M2P 2＝M1M22，即M1P·M2P＝M1M2

故

M1P·M2P

是定值，其值为1

M1M2

8（四川雅安）在直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A（1，0）和点B，顶点为P．

（1）若点P的坐标为（－1，4），求此时抛物线的解析式； （2）若点P的坐标为（－1，k），k＜0，点Q是y轴上一个动点，当k为何值时，QB＋QP取得最小值5；

（3）试求满足（2）时动点Q的坐标．

解：（1）由题意，设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)2＋4 将A（1，0）代入上式，得a＝－1

∴抛物线的解析式为y＝－(x＋1)2＋4

（2）作点P（－1，k）关于y轴的对称点P′（1，k） ∴QP＝QP′

∵抛物线顶点为P（－1，k），∴抛物线的对称轴为x＝－1 ∵抛物线与x轴交于点A（1，0）和点B，∴B（－3，0） 若QB＋QP最小，即QB＋QP′ 最小 则B、Q、P′ 三点共线，即P′B＝5

又AB＝1＋3＝4，连接P′A，则P′A⊥AB

y B O Q P x＝－1 A x P′ ∴△P′AB是直角三角形，∴P′A＝52－42＝3 ∴k＝3

（3）由（2）知，△BOQ∽△BAP′

∴

BOOQ3OQ9

＝，即 ＝，∴OQ＝ BAAP′434

9∴动点Q的坐标为（0，－）

4

10．（四川乐山）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，－n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2－2x－3＝0的两根． （1）求抛物线的解析式；

（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．

y ①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；

②求△BOD面积的最大值，并写出此时点D的坐标．

O

D 解：（1）解方程x2－2x－3＝0，得x1＝－1，x2＝3 A P ∵m＜n，∴m＝－1，n＝3

x ∴A（－1，－1），B（3，－3）

∵抛物线过原点，设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx

C E B －1＝a－b11

∴ 解得a＝－，b＝

22－3＝9a＋3b

11

∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x

22

（2）①设直线AB的解析式为y＝kx＋b

－1＝－k＋b13

∴ 解得k＝－，b＝－ 22－3＝3k＋b

13

∴直线AB的解析式为y＝－x－

22

3

∴C点坐标为（0，－）

2

∵直线OB过点O（0，0），B（3，－3） ∴直线OB的解析式为y＝－x

∵△OPC为等腰三角形，∴OC＝OP或OP＝PC或OC＝PC 设P（x，－x）

9

（i）当OC＝OP时，x2＋(－x)2＝ 4

解得x1＝

32323232

，x2＝－（舍去），∴P1（，－） 4444

y

33

（ii）当OP＝PC时，点P在线段OC的中垂线上，∴P2（，－）

44

O A C E P G D Q H 39

（iii）当OC＝PC时，x2＋(－x＋)2＝ 24

x

333

解得x1＝，x2＝0（舍去），∴P3（，－）

222

32323333

∴P点坐标为P1（，－）或P2（，－）或P3（，－）

444422

B

②过点D作DG⊥x轴，垂足为G，交OB于Q，过B作BH⊥x轴，垂足为H

11

设Q（x，－x），则D（x，－x2＋x）

22

1113

∴DQ＝－x2＋x＋x＝－x2＋x

2222

111

∴S△BOD＝S△ODQ＋S△BDQ ＝DQ·OG＋DQ·GH＝DQ(OG＋GH)

222

1133327

＝(－x2＋x)×3＝－(x－)2＋ 2224216

∵0＜x＜3

32733∴当x＝时，S取得最大值为，此时D（，－）

21628

11．（四川模拟）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A、B，与y轴正半轴交于点C，

3

抛物线的对称轴与x轴交于点D．已知A（－2，0），tan∠ABC＝，S△ABC＝9．

4

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P是线段BC上一点，且以B、D、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，请你选择一个P点求出△BDP外接圆圆心的坐标．

y y

C C

A B A B

x x O D O D

OB＝4

解：（1）由题意得： 解得：（舍去负值）

1OC＝32(2＋OB)·OC＝9

OC3

＝OB4

备用图

∴B（4，0），C（0，3）

∴设抛物线为y＝a(x＋2)(x－4)，把C（0，3）代入，得

3

3＝a(0＋2)(0－4)，解得：a＝－ 8

3

∴抛物线的解析式为y＝－(x＋2)(x－4)

8

33

即y＝－x2＋x＋3

84

（2）存在

33327

∵y＝－x2＋x＋3＝－(x－1)2＋ 8488

∴抛物线的对称轴是直线x＝1

∴D（1，0），∴OD＝1

∵OA＝2，OB＝4，OC＝3，∴AB＝6，BC＝5，BD＝3 当△BDP∽△BAC时，则∠BDP＝∠BAC ∴DP∥AC

∵D为AB中点，∴P为CB中点 3

∵B（4，0），C（0，3），∴P1（2，）

2

当△BPD∽△BAC时，则BP318∴＝，∴BP＝ 655

BPBD

＝ BABC

y C P2

过点P作PH⊥OB于H，则△BPH∽△BCO 185BHPHBPBHPH

∴＝＝，∴＝＝ BOCOBC435

P1 B x A O D ∴BH＝

72542854

，PH＝，∴P2（，） 25252525

32854

∴满足条件的P点有两个，P1（2，），P2（，）

22525

3

（3）选择P（2，），设E为△BDP外接圆的圆心

2

y C P A O D E B x 则点E是线段BD的中垂线和线段BP的中垂线的交点 55

易知线段BD的中垂线为x＝，设点E坐标为（，m）

22

225532

由ED＝EP，得(－1)＋m2＝(－2)＋(m－)

222

解得m＝

151，即E（，） 12212

351

∴当点P坐标为（2，）时，△BDP外接圆圆心的坐标为（，）

2212

1

12．（四川模拟）已知圆⊙A的半径为2，圆心A（t，0）是抛物线y＝－x2＋bx与x轴的

2

交点，点P是x轴上方抛物线上任意一点，点Q是线段OP的中点．

（1）如图1，当t＝4时，点P在抛物线上运动，点Q跟随点P运动，其运动路径也是一段抛物线，直接写出点Q运动路径的函数解析式，并指出自变量的取值范围； （2）如图2，当∠POA＝45°且t＞0时，过点Q作OP的垂线l，证明直线l与⊙A相切； （3）当∠POA＝45°时，使得直线l与⊙A相切于点M，且四边形PAMQ为矩形．此时，在抛物线上是否存在点B，使由A、B、P、Q四点构成以AP为对角线的梯形？若存在，求出B点坐标；若不存在，请说明理由． y y

P

P Q Q A A x x O O

l 图1 图2

解：（1）y＝－x2＋2x（0＜x＜2）

1提示：当t＝4时，A（4，0），代入y＝－x2＋bx，得b＝2

2

∴抛物线为y＝－1

2

x2

＋2x

设P（m，－111

2 m2 ＋2m），则Q（ 2 m，－ 4

m2

＋m）

设Q（x，y），则x＝11

2 m，y＝－ 4

m2

＋m

∴m＝2x，∴y＝－1

4

(

2x

)2＋2x＝－x2

＋2x

∵0＜m

＜4，∴0＜x

＜2

∴点Q运动路径的函数解析式为y＝－x2

＋2x（0＜x

＜2）

（2）∵y＝－1

2

x2

＋bx，∴A（2b，0）

∵∠POA＝45°，∴直线OP的解析式为y＝x

y＝x联立

y＝1x1＝0x2＝2b－22

解得



－

2 x

＋bx（舍去）y1＝0y 2＝2b－2

∴P（2b－2，2b－2）

设l与x轴交于点D，连接PD

由题意，l是线段OP的垂直平分线 ∴OD＝PD，∴∠OPD＝∠POD＝45° ∴∠ODP＝90°，∴△OPD是等腰直角三角形 ∴∠ODQ＝45°，OD＝2b－2 ∴AD＝2b－(

2b－2

)＝2

过点A作AM⊥l于M，则∠ADM＝45° ∴△ADM是等腰直角三角形

∴AM＝

2

2

AD＝2＝⊙A的半径

∴直线l与⊙A相切

（3）∵四边形PAMQ为矩形，∴PQ＝AM＝2 ∴OP＝22，∴P（2，2），∴Q（1，1） ∴2b－2＝2，∴b＝2

∴A（4，0），抛物线为y＝－1

2

x2

＋2x

易得直线AQ的解析式为y＝－1

3

x＋4

3

∵四边形ABPQ是以AP为对角线的梯形

y Q P A O x 图1 y P Q A O D x M l 图2 y P B Q A O x M 图3 l 1

∴BP∥AQ，∴设直线BP的解析式为y＝－x＋n

3

818

把P（2，2）代入，得n＝，∴y＝－x＋

333

x＝2

联立 解得（舍去）

116y＝2

y＝－2x＋2xy＝9

18y＝－3x＋3

1

x2＝

2

83

21

816∴B（，）

39

816

∴存在点B（，），使由A、B、P、Q四点构成以AP为对角线的梯形

39

13

13．（四川模拟）如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与直线l：y＝x－1交于点A（4，2）、B（0，

24

－1）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D在直线l下方的抛物线上，过点D作DE∥y轴交l于E、作DF⊥l于F，设点D的横坐标为t，△DEF的周长为p，求p与t的函数关系式，并求p的最大值及此时点D的坐标；

（3）点M在抛物线上，点N在x轴上，若△BMN是以M为直角顶点的等腰直角三角形，求点M的坐标．

y 解：（1）由题意知：

A 125E 2×4＋4b＋c＝2b＝－4

 ∴ O F x c＝－1c＝－1B D 15

∴抛物线的解析式为y＝x2－x－1

24

15

（2）∵点D在抛物线y＝x2－x－1上

24

y M

153

∴设D（t，t2－t－1），则E（t，t－1）

244

3151

∴DE＝t－1－(t2－t－1)＝－t2＋2t

4242

A O B G N x 34

在y＝x－1中，令y＝0，得x＝ 43

4

∴直线AB与x轴交于点C（，0）

3

∴BC＝

12＋(

425＝ 3)3

y y A O N O N A ∴△OBC的周长为为1＋4

3 ＋5

3

＝4

∵DE∥y轴，DF⊥l，∴△DEF∽△CBO

－1t2

＋2t

∴

p

2

4

＝

5

3

∴p＝－6

5 t2 ＋24 5 t＝－6 5( t－2 )2＋24

5

∴当t＝2时，p有最大值为24

5

此时D（2，－3

2

）

（3）过点M作MG⊥x轴于G，过点B作BH⊥MG轴于H 易证△MGN≌△BHM，∴MG＝BH ∴12

x2

－5

4 x－1＝x或15

2 x2 － 4

x－1＝－x

解得x9＋

1131＝，x9－

1131＋

331－

33

42＝

4，x3＝

4，x4＝

4

∴M9＋

1131（，9＋

113

44），M9－1139－1132（

4， 4

）

M1＋

333（，－1＋

33），M1－

331－

33

4

44（

4，－

4

）

y M A N O B x