求数列通项公式的方法

复习（一）求数列通项公式an基本方法和技巧

数列的通项公式是数列的核心内容之一,它如同函数中的解析式一样,有了解析式便可研究起性质

三,构造法

1、递推关系式为an+1=pan+q (p,q为常数)

思路：设递推式可化为an+1+x=p(an+x),得an+1=pan+(p-1)x,解得x=q/(p-1)

等;而有了数列的通项公式便可求出任一项以及前N项和等.因此,求数列的通项公式往往是解题

的突破口,关键点.

一、累加法：递推式为：an+1-an=f(n) (f(n)可求和)

例1、 已知数列{an1n}满足an+1=

2ana=2,求数列{an}的通项公式.

n2n1,a1

二、累乘法：递推式为：an+1 / an =f(n) （f(n)要可求积） 例2、在数列{an}中,a1=2,an+1=(n+1)an/n,求an

故可将递推式化为an+1+x=p(an+x) ，构造数列{bn},bn=an+q/(p-1)

bn+1=pbn即bn+1/bn=p,{bn}为等比数列.故可求出bn=f(n)再将bn=an+q/(p-1)代入即可得an例3、数列{an}中,对于n>1(n€N)有an=2an-1+3,求an

2、递推式为an+1=pan+qn(p,q为常数)

思路：在an+1=pan+qn两边同时除以qn+1得， an+1/qn+1=p/qan/qn+i/q 构造数列{bn},bn=an/qn可得bn+1=p/qbn+1/q，故可利用上类型的解法得到bn=f(n) 再将代入上式即可得an。

例4、数列{an}中,a1+5/6,an+1=(1/3)an+(1/2)n,求an

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求数列通项公式的方法

四、利用sn和n、an的关系求an 1、利用sn和n的关系求an 思路：当n=1 时，an=sn 当n≥2 时, an=sn-sn-1

例5、已知数列前项和s=n2+1,求{an}的通项公式.

2、利用sn和an的关系求an

思路：利用an=sn-sn-1可以得到递推关系式，这样就可以利用前面的方法求解例6、在数列｛an｝中，已知sn=3+2an，求an

五、公式法：适用于等差和等比数列

例6、设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数,前n项和为Sn. （1）若a11=0,S14=98,求数列{an}的通项公式；

（2）若a1≥6,a11＞0,S14≤77,求所有可能的数列{an}的通项公式.

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求数列通项公式的方法

复习（二）求数列前n项和sn的基本方法和技巧

三、倒序相加法求和

一、利用常用求和公式求和

[例1] 已知log123n3xlog，求xxxx的前n项和.

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二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，主要用于求数列{an·项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. [例2] 数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn(n∈N*). （1）求数列{an}的通项an;（2）求数列{nan}的前n项和Tn.

bn}的前n这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，可以得到n个(a1an).

[例3] 求sin21sin22sin23sin288sin289的值

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例4] 求数列的前n项和：11,1a4,1a,127,an13n2，…

五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. [例5] 求数列

112,123,,1nn1,的前n项和.

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求数列通项公式的方法

[例6] 已知数列{an}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S21n=an(Sn-2). （1）求Sn的表达式； （2）设bn=Sn2n1，求{bn}的前n项和Tn.

六、并项法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.

[例7] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+·+ cos178°+ cos179°的值.

[例8] 在各项均为正数的等比数列中，若a5a69,求log3a1log3a2log3a10的值.

七、利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法. [例9] 求1111111111之和. n个1解：由于11111999991(10k1) （找通项及特征） k个1k个19∴ 1111111111 n个1＝1(1011)1(1021)1(1031)1(10n99991) （分组求和） ＝

19(10110210310n)19(1111) n个1＝110(10n1)n91019 ＝

1(10n181109n) 4 / 5

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