2011年全国高中数学联赛模拟题3(最新)

2011年全国高中数学联赛模拟题3(最新)

姓名： 班级 ： 分数 ：

一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）

1．数列

S100{an}*a|a|a(nN)a1,a3n2n1n2满足：1，且．记{an}前n项的和为Sn，则

．

2．在△ABC中，已知B的平分线交AC于K．若BC=2，CK=1，的面积为 ．

BK322，则△ABC3．设n100，则使得(ab)的展开式中有连续三项的系数成等差数列的最大整数n为 ．

n4．在小于20的正整数中，每次不重复地取出3个数，使它们的和能被3整除，不同的取法种数为 ．

(z1)2S222xyz12xyz的最小值为 ． x,y,z5．若均为正实数，且，则

x2y216．设椭圆4的左、右焦点分别为F1,F2，M为椭圆上异于长轴端点的一点，F1MF22，△MF1F2的内心为I，则|MI|cos ．

浪迹天涯制作

1x[2,]2，不等式ax3x2x10恒成立，则实数a的取值范围7．对于一切

为 ．

8．将总和为200的10个数放置在给定的一个圆周上，且任意三个相邻的数之和不小于58．所有满足上述要求的10个数中最大数的最大值为 ．

二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）

(n1)an1an1a11,a2{an}nan4，且9．已知数列中，

(n2,3,4,)．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）求证：对一切nN，有k1*ak2n76．

43210．设Px6x11x3x31，求使P为完全平方数的整数x的值．

x2y21yx161111．已知直线与椭圆C：交于A,B两点，过椭圆C的右焦点F、倾斜

角为的直线l交弦AB于点P，交椭圆C于点M,N．

（1）用表示四边形MANB的面积；

（2）求四边形MANB的面积取到最大值时直线l的方程．

2011年全国高中数学联赛模拟题3(最新)详细解答

浪迹天涯制作

一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）

1．数列

S100{an}*a|a|a(nN)a1,a3n2n1n2满足：1，且．记{an}前n项的和为Sn，则

89 ．

2．在△ABC中，已知B的平分线交AC于K．若BC=2，CK=1，的面积为

15716BK322，则△ABC．

3．设n100，则使得(ab)的展开式中有连续三项的系数成等差数列的最大整数n为 98 ．

n4．在小于20的正整数中，每次不重复地取出3个数，使它们的和能被3整除，不同的取法种数为 327 ．

(z1)2S222xyz12xyz的最小值为 5．若x,y,z均为正实数，且，则

322．

x2y216．设椭圆4的左、右焦点分别为F1,F2，M为椭圆上异于长轴端点的一点，F1MF22，△MF1F2的内心为I，则|MI|cos23．

1x[2,]2，不等式ax3x2x10恒成立，则实数a的取值范围为7．对于一切

10a1．

8．将总和为200的10个数放置在给定的一个圆周上，且任意三个相邻的数之和不小

浪迹天涯制作

于58．所有满足上述要求的10个数中最大数的最大值为 26 ．

二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）

14，且

9．已知数列{an}中，

a11,a2an1(n1)annan(n2,3,4,)．

（1）求数列{an}的通项公式；

*nN（2）求证：对一切，有k1ak2n76．

1解 （1）由已知，对n2有 an1nann1(n1)an(n1)ann1，

111两边同除以n，得 nan1(n1)ann(n1)，

1111()n1n， ……………………4分 即 nan1(n1)ann111111(1)kn1k2k1于是，k2kak1(k1)ak，

n1即

111(1),n2(n1)ana2n1，

浪迹天涯制作

1113n21(1)an,n2(n1)aan1n1n23n2所以 ，．

又n1时也成立，故

an1,nN*3n2． ……………………8分

（2）当k2，有

11111()(3k2)2(3k4)(3k1)33k43k1，………………12分

2ak所以n2时，有

11111112a1a1()()()k325583n43n1 k1k22knn1111711.323n166

7a121.6 又n1时，

故对一切nN，有k1*ak2n76． ……………………16分

43210．设Px6x11x3x31，求使P为完全平方数的整数x的值．

22P(x3x1)3(x10)． 解

所以，当x10时，P131是完全平方数． ……………………5分

2浪迹天涯制作

下证没有其它整数x满足要求．

22P(x3x1)x10（1）当时，有，

22222P(x3x)2x3x310P(x3x)又，所以，

2222(x3x)P(x3x1)从而．

又xZ，所以此时P不是完全平方数． ……………………10分

222P(x3x1)Py,yZ， x10（2）当时，有．令

22|y|1|x3x1|， |y||x3x1|则，即

222y2|y|1(x3x1)所以 ，

23(x10)2|x3x1|10． 即

解此不等式，得x的整数值为2,1,0,3,4,5,6，但它们对应的P均不是完全平方数．

综上所述，使P为完全平方数的整数x的值为10. ……………………20分

x2y21yx161111．已知直线与椭圆C：交于A,B两点，过椭圆C的右焦点F、倾斜

角为的直线l交弦AB于点P，交椭圆C于点M,N．

（1）用表示四边形MANB的面积；

浪迹天涯制作

（2）求四边形MANB的面积取到最大值时直线l的方程．

解 （1）直线MN的倾斜角为，记MFO，则，

2ab22ab2|MN|2ac2cos2a2c2cos2．

而AB与MN所成的角为4，则四边形MANB面积

SMANB1sincos|AB||MN|sin()2|OA|ab2224ac2cos2．…………5分

433433466,|OA|2229a16,b11,c5，A点坐标为99， 而，且

从而，

SMANB35233sincos35233sincos299165cos165cos2，

其中

0arctan43343395或

arctan43343395．……………10分

433sincosarctan,f()243395f()时才可能取到最165cos（2）记，而只可能在

大值．对f()求导数得到：

(cossin)(165cos2)(sincos)(10cossin)f()(165cos2)2．

浪迹天涯制作

令f()0，则有

(1tan)(16tan211)(tan1)(10tan)0． ……………………15分

化简得到 16tan36tan221tan110．

所以

(2tan1)(8tan2tan11)0． 而 8tan2tan110无实根，则

tan12．

经检验tan12，符合

arctan43343395,．故所求直线l的方程为：

y152x2．

……………………20分