2020-2021深圳北师大南山附属学校中学部高一数学上期中试题带答案

一、选择题

x2ax5,x1,1．已知函数fxa是R上的增函数，则a的取值范围是（ ）

,x1,xA．3a0 C．a2

2．函数yx2的图象是（ ）

xB．a0 D．3≤a≤2

A． B．

C．

D．

3．已知定义域为R的函数f(x)在[1,)单调递增，且f(x1)为偶函数，若f(3)1，则不等式f(2x1)1的解集为（ ） A．(1,1) C．(,1)

B．(1,) D．(,1)U(1,)

2xx2,xa4．设函数f(x)是定义在R上的增函数，则实数a取值范围（ ）

ax6,xaA．2, B．0,3 C．2,3

D．2,4

5．设奇函数f(x)在[1,1]上是增函数，且f(1)1，若函数f(x)t22at1对所有的x[1,1]都成立，当a[1,1]时，则t的取值范围是（ ） A．11t 2211或t或t0 220.2B．2t2

D．t2或t2或t0

,则a,b,c的大小关系为

C．t6．若alog32,blg0.2,c2A．cba B．bac C．abc D．bca

7．函数fx的图象如图所示,则它的解析式可能是( )

x21A．fx x2C．fxlnx

B．fx2xx1

xD．fxxe1

8．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)1x，且在0,1上f(x)3，则fxflog354（ ）

A．

3 2B．2 3xmC．

2 3D．3 29．已知定义在R上的函数f(x)21(m为实数)为偶函数,记

a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c,的大小关系为（ ）

A．abc

B．cab

C．acb

D．cba

10．已知奇函数fx在R上是增函数，若aflog21，bflog24.1，5cf20.8，则a,b,c的大小关系为( )

A．abc A．bac 12．已知函数

B．bac B．acb

C．cba C．bca

在

D．cab D．cba 上单调递减，则实数

11．设a0.30.6，b0.60.3，c0.30.3，则a，b，c的大小关系为（ ）

a的取值范围是（ ） A．

B．

C．

D．

二、填空题

xy013．方程组2的解组成的集合为_________.

x4014．已知函数f(x)axb(a0,a1)的定义域和值域都是1,0，则ab . 15．已知函数f(x)ax12xax1(aR)的最小值为0，则实数a_________. 16．函数fx2x1的定义域是______． x17．函数fx12x的定义域是__________．

18．已知函数fx是定义在 R上的奇函数，且当x0时，fx21，则

xff1的值为______．

19．已知f(x)是定义在[－2,2]上的奇函数，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1，函数g(x)＝x2－2x＋m.如果∀x1∈[－2,2]，∃x2∈[－2,2]，使得g(x2)＝f(x1)，则实数m的取值范围是______________. 20．log381327()3()04163__________．

12551. x1三、解答题

21．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x<0时，fx1(1)求f(2)的值；

(2)用定义法判断y＝f(x)在区间(－∞，0）上的单调性． (3)求x0时，f(x)的解析式

2xa22．已知定义域为R的函数fxx是奇函数．

211求实数a的值；

2判断函数fx在R上的单调性，并利用函数单调性的定义加以证明．

23．已知函数fxln1x的定义域为集合A，集合Ba,a1，且BA. 1x（1）求实数a的取值范围；

（2）求证：函数fx是奇函数但不是偶函数. 24．已知二次函数fxaxbxc.

2（1）若方程f(x)0两个根之和为4，两根之积为3，且过点(2,－1).求fx0的解

集；

（2）若关于x的不等式f(x)0的解集为(2,1). （ⅰ）求解关于x的不等式cx2bxa0

b(x21)c,(x1)，求函数g(x)的最大值 （ⅱ）设函数g(x)a(x1)4x,0x225．已知函数f(x)x，其中a为实数．

2x(a2)x2a,x2（1）若函数fx为定义域上的单调函数，求a的取值范围．

（2）若a7，满足不等式fxa0成立的正整数解有且仅有一个，求a的取值范围．

26．设集合A{x|x4x0,xR}，B{x|x2(a1)xa10,xR}. (1)若ABB，求实数a的值; (2)若AIBB，求实数a的范围.

222

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】

根据分段函数的单调性特点，两段函数在各自的定义域内均单调递增，同时要考虑端点处的函数值. 【详解】

要使函数在R上为增函数，须有fx在(,1]上递增，在(1,)上递增，

a21,所以a0,，解得3≤a≤2.

a12a15,1故选D. 【点睛】

本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，考查数形结合思想、函数与方程思想的灵活运用，求解时不漏掉端点处函数值的考虑.

2．A

解析：A 【解析】 【分析】

先根据奇偶性舍去C,D,再根据函数值确定选A. 【详解】

因为yx2为奇函数，所以舍去C,D; 因为x0时y0,所以舍去B，选A. 【点睛】

有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．

x3．A

解析：A 【解析】 【分析】

由函数y＝f（x+1）是定义域为R的偶函数，可知f（x）的对称轴x＝1，再利用函数的单调性，即可求出不等式的解集． 【详解】

由函数y＝f（x+1）是定义域为R的偶函数，可知f（x）的对称轴x＝1，且在[1，+∞）上单调递增，

所以不等式f（2x+1）＜1=f（3）⇔ |2x+1﹣1|）＜|3﹣1|， 即|2x|＜2⇔|x|＜1，解得-1＜x＜1 所以所求不等式的解集为：1,1. 故选A． 【点睛】

本题考查了函数的平移及函数的奇偶性与单调性的应用，考查了含绝对值的不等式的求解，属于综合题．

4．D

解析：D 【解析】 【分析】

画出函数yxx2的图象，结合图象及题意分析可得所求范围． 【详解】

画出函数yxx2的图象如下图所示，

22

2xx2,xa,结合图象可得，要使函数x是在R上的增函数，

ax6,xa,a2需满足2，解得2x4． 2aa2a6所以实数a取值范围是2,4． 故选D． 【点睛】

解答本题的关键有两个：（1）画出函数的图象，结合图象求解，增强了解题的直观性和形象性；（2）讨论函数在实数集上的单调性时，除了考虑每个段上的单调性之外，还要考虑在分界点处的函数值的大小关系．

5．D

解析：D 【解析】

试题分析：奇函数fx在1,1上是增函数, 且f11,在1,1最大值是

1,1t22at1,当t0时, 则t22at0成立, 又a1,1,令

ra2tat2,a1,1, 当t0时,ra是减函数, 故令r10解得t2, 当t0时,ra是增函数, 故令r10,解得t2,综上知，t2或t2或t0,故选D. 考点：1、函数的奇偶性与单调性能；2、不等式恒成立问题.

【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性与单调性能、不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数af(x)恒成立（af(x)min即可）或af(x)恒成立（af(x)max即可）；②数形结合（yfx图象在y=gx上方即可）；③讨论最值f(x)min0或f(x)max0恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得t的范围.

()6．B

解析：B 【解析】 【分析】

由对数函数的单调性以及指数函数的单调性，将数据与0或1作比较，即可容易判断. 【详解】

由指数函数与对数函数的性质可知，

a=log320,1,b=lg0.20,c=20.21，所以bac，

故选：B. 【点睛】

本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属基础题.

7．B

解析：B 【解析】 【分析】

根据定义域排除C，求出f1的值，可以排除D，考虑f100排除A. 【详解】

根据函数图象得定义域为R，所以C不合题意；

D选项，计算f1e1，不符合函数图象；

对于A选项， f10099992100与函数图象不一致；

B选项符合函数图象特征.

故选：B 【点睛】

此题考查根据函数图象选择合适的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法.

8．D

解析：D 【解析】 【分析】

由题意结合函数的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】

由题意可得：flog354flog323， 则flog35411flog21，且， 3flog321flog3211log32由于log3211,0，故flog321f1log323据此可得：flog321本题选择D选项. 【点睛】

3，

212，flog3543.

flog32132本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

9．B

解析：B 【解析】

由fx为偶函数得m0,所以

a2log0,5312log231312,b2log251514,c2010,所以cab,

故选B.

考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.

10．C

解析：C 【解析】

由题意：aflog21flog25， 50.8且：log25log24.12,12据此：log25log24.120.82，

，

结合函数的单调性有：flog25flog24.1f2即abc,cba. 本题选择C选项.

【考点】 指数、对数、函数的单调性

，

0.8【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.

11．B

解析：B 【解析】 【分析】

根据指数函数的单调性得出0.30.60.30.3，而根据幂函数的单调性得出0.30.30.60.3，从而得出a，b，c的大小关系． 【详解】

解：Qy0.3在定义域上单调递减，且0.30.6，

x0.30.60.30.3，

又yx0.3在定义域上单调递增，且0.30.6，

0.30.30.60.3， 0.30.60.30.30.60.3，

acb

故选：B． 【点睛】

考查指数函数和幂函数的单调性，以及增函数和减函数的定义．

12．C

解析：C 【解析】 【分析】

由函数单调性的定义，若函数间上都是单调递减的，且当【详解】 若函数

，解得

故选C. 【点睛】

本题考查分段函数的单调性．严格根据定义解答，本题保证随的增大而减小，故解答本题的关键是

的最小值大于等于

的最大值． . 在

上单调递减，则

在时，

上单调递减，可以得到函数在每一个子区

，求解即可．

二、填空题

13．【解析】【分析】解方程组求出结果即可得答案【详解】由解得或代入解得或所以方程组的解组成的集合为故答案为【点睛】该题考查的是有关方程组解集的问题需要注意的问题是解是二维的再者就是需要写成集合的形式属于 解析：2,2,2,2

【解析】 【分析】

xy0解方程组2，求出结果即可得答案.

x40【详解】

由x240，解得x2或x2，代入xy0， x2x2解得或，

y2y2xy0所以方程组2的解组成的集合为(2,2),(2,2)，

x40故答案为(2,2),(2,2). 【点睛】

该题考查的是有关方程组解集的问题，需要注意的问题是解是二维的，再者就是需要写成集合的形式，属于简单题目.

14．【解析】若则在上为增函数所以此方程组无解；若则在上为减函数所以解

得所以考点：指数函数的性质

3解析：

2【解析】

a1b1若a1，则fx在1,0上为增函数,所以{，此方程组无解；

1b01aa1b0若0a1，则fx在1,0上为减函数,所以{，解得{2，所以

1b1b23ab.

2考点：指数函数的性质.

15．【解析】【分析】设计算可得再结合图象即可求出答案【详解】解：设则则由于函数的最小值为0作出函数的大致图象结合图象得所以故答案为：【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质考查转化思想考查数形结合思想属

解析：. 【解析】 【分析】

g(x)h(x)ax12g(x),g(x)h(x)设，计算可得f(x)，再结合图象即可2g(x)h(x)2xax12h(x),g(x)h(x)求出答案． 【详解】

g(x)x2axg(x)h(x)ax1解：设，则， 22g(x)h(x)2xax1h(x)1x则f(x)g(x)h(x)g(x)h(x)2g(x),g(x)h(x)，

2h(x),g(x)h(x)由于函数f(x)的最小值为0，作出函数g(x)，h(x)的大致图象，

结合图象，1x20，得x1， 所以a1， 故答案为：．

【点睛】

本题主要考查分段函数的图象与性质，考查转化思想，考查数形结合思想，属于中档题．

16．【解析】【分析】由根式内部的代数式大于等于0且分式的分母不等于0联立不等式组求解x的取值集合得答案【详解】由得且函数的定义域为：；故答案为【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法是基础的会考题型 解析：1,00,

【解析】 【分析】

由根式内部的代数式大于等于0且分式的分母不等于0联立不等式组求解x的取值集合得答案． 【详解】

由x0，得x1且x0．

x10函数fxx1的定义域为：1,00,； x故答案为1,00,． 【点睛】

本题考查了函数的定义域及其求法，是基础的会考题型．

17．【解析】由得所以所以原函数定义域为故答案为 解析：,0

【解析】

由12x0，得2x1，所以x0，所以原函数定义域为,0，故答案为,0.

18．【解析】由题意可得： 解析：1

【解析】

由题意可得：f1f11,ff1f11

19．－5－2【解析】分析：求出函数的值域根据条件确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论详解：由题意得：在－22上f(x)的值域A为g(x)的值域B的子集易得A＝－33B＝m－18＋m从而解得－5≤m≤

解析：[－5,－2]. 【解析】

分析：求出函数fx的值域，根据条件，确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论. 详解：由题意得：在[－2,2]上f(x)的值域A为g(x)的值域B的子集. 易得A＝[－3,3]，B＝[m－1,8＋m]，从而

解得－5≤m≤－2.

点睛：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数最值之间的关系，综合性较强.

20．【解析】 三、解答题

21．（1）【解析】 【分析】

(1)利用函数的奇偶性求解.

(2)函数单调性定义，通过化解判断函数值差的正负；

（3）函数为R奇函数，x〈0的解析式已知，利用奇函数图像关于原点对称，即可求出x〉0的解析式. 【详解】

（1）由函数f(x)为奇函数，知f(2)＝-f(－2)＝(2)在(－∞，0）上任取x1，x2，且x12x；（2）见解析；（3）f(x) 3x12· 3x2x11111fxfx11 则1 2x1x1x1x1x1x1121221由x1－1<0，x2－1<0，x2－x1>0，知f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)． 由定义可知，函数y＝f(x)在区间(－∞，0]上单调递减．· （3）当x>0时，－x<0，fx11 x1由函数f(x)为奇函数知f(x)＝-f(－x)，

fx1【点睛】

1x x1x1本题考查了函数奇偶性的应用和单调性的定义，利用奇偶性求函数值和解析式主要应用奇偶性定义和图像的对称性；利用定义法证明函数单调性关键是作差后式子的化解，因为需要判断结果的正负，所以通常需要将式子化成乘积的形式. 22．（1）1；（2）减函数，证明见解析 【解析】 【分析】

（1）奇函数在x0处有定义时，f00，由此确定出a的值，注意检验是否为奇函数；

（2）先判断函数单调性，然后根据函数单调性的定义法完成单调性证明即可. 【详解】

2xa1根据题意，函数fxx是定义域为R奇函数，

2120a则f000，解可得a1，

2112x12x当a1时，fxfx，为奇函数，符合题意； xx1212故a1；

12x12由1的结论，fx2，在R上为减函数； xx1221证明：设x1x2，

x2x222112x22x则fx1fx2x1， x2121212121x又由x1x2，则22210，2110，2210， 则fx1fx20， 则函数fx在R上为减函数． 【点睛】

本题考查函数奇偶性单调性的综合应用，难度一般.(1)定义法证明函数单调性的步骤：假设、作差、变形、判号、下结论；(2)当奇函数在x0处有定义时，一定有f00. 23．（1）[1,0] ;（2）见解析. 【解析】

试题分析：（1）由对数的真数大于0，可得集合A，再由集合的包含关系，可得a的不等式组，解不等式即可得到所求范围；（2）求得fx的定义域，计算fx与fx比较，即可得到所求结论． 试题解析：（1）令

xxx1x0，解得1x1，所以A1,1， 1xa1因为BA，所以，解得1a0，即实数a的取值范围是1,0

a11（2）函数fx的定义域A1,1，定义域关于原点对称

1x1x1xfxln lnlnlnfx 1x1x1x1x1f而ln3，211fln，所以

3211ff 221x1所以函数fx是奇函数但不是偶函数.

24．（1）x1x3；（2）（ⅰ）(,)(1,)；（ⅱ）2. 【解析】 【分析】

12ba4c（1）由韦达定理及函数过点(2,－1)，列方程组3求解即可；

af24a2bc1a0b（2）（ⅰ）由不等式的解集与方程的根可得1，则cx2bxa0可化为

ac2a2x2x10，再解此不等式即可；

)2，再利用均值不等式求函数的最大值，（ⅱ）由（ⅰ）得g(x)(1x)(1x一定要注意取等的条件，得解. 【详解】

4ba4a1c2（1）由题意可得3，解得b4，fxx4x3，

c3af24a2bc1解不等式fx0，即x24x30，即x1x30，解得1x3， 因此，不等式fx0的解集为x1x3；

a0bc2b（2）（ⅰ）由题意可知1，所以cx2bxa0可化为xx10，

aaac2a即2x2x10，得2x2x10，解得x所求不等式的解集为(,)(1,).

1或x1 212b(x21)ca(x21)2ax23=（ⅱ）由（ⅰ）可知g(x)

a(x1)a(x1)x1(x1)22(x1)4(1x)(4)2= , 1xx1因为x1,所以1x0，所以(1x)(等号 , 所以(1x)(44)4，当且仅当1x时即x1时取

1x1x44)4，(1x)()22 1x1x所以当x1时，gxmax2 . 【点睛】

本题考查了二次函数解析式的求法及不等式的解集与方程的根的关系，重点考查了利用均值不等式求函数的最大值及取等的条件，属中档题. 25．（1）a2（2）0a3 【解析】 【分析】

（1）分析当0x2时的单调性，可得x2的单调性，由二次函数的单调性，可得a的范围；

（2）分别讨论当a0，当0a2时，当2a3时，当3a7，结合函数的单调性和最值，即可得到所求范围． 【详解】

（1）由题意，当0x2时，f(x)24x为减函数， x当x2时，fxxa2x2a，

若a2时，fxxa2x2a也为减函数，且fxf20，

2此时函数fx为定义域上的减函数，满足条件；

a22fxxa2x2a若a2时，在2,上单调递增，则不满足条件．

2综上所述，a2．

（2）由函数的解析式，可得f13, f20， 当a0时，f20a, f13a，不满足条件；

当0a2时，fx为定义域上的减函数，仅有f13a成立，满足条件； 当2a3时，在0x2上，仅有f13a，

21a2(a2)a， 对于x2上，fx的最大值为f244不存在x满足fxa0，满足条件；

当3a7时，在0x2上，不存在整数x满足fxa0，

(a2)2(a4)2123对于x2上，a，

444不存在x满足fxa0，不满足条件； 综上所述，0a3． 【点睛】

本题主要考查了分段函数的运用，以及函数的单调性的判断和不等式有解问题，其中解答中熟练应用函数的单调性，以及把函数的有解问题转化为函数的最值问题是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档题． 26．（1）a1；(2)a1或a1 【解析】 【分析】

（1）∵ABB，∴A⊆B，又B中最多有两个元素，∴A=B，从而得到实数a的值；（2）求出集合A、B的元素，利用B是A的子集，即可求出实数a的范围. 【详解】

（1）∵ABB，∴A⊆B，又B中最多有两个元素， ∴A=B，

∴x=0，﹣4是方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0的两个根， 故a=1；

（2）∵A={x|x2+4x=0，x∈R} ∴A={0，﹣4}，

∵B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}，且B⊆A．

故①B=∅时，△=4（a+1）2﹣4（a2﹣1）＜0，即a＜﹣1，满足B⊆A； ②B≠∅时，当a=﹣1，此时B={0}，满足B⊆A；

当a＞﹣1时，x=0，﹣4是方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0的两个根， 故a=1；

综上所述a=1或a≤﹣1； 【点睛】

本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．要正确判断两个集合间的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征．