平行六面体与长方体

一、素质教育目标

(一)知识教学点

1． 平行六面体性质的探讨； 2． 长方体的概念及性质应用． (二)能力训练点

1． 通过分析平行四边形的性质从而发现归纳平行六面体的性质； 2． 熟练掌握长方体的对角线性质并能灵活应用于计算证明中；

3．在学习特殊四棱柱概念和性质的过程中，努力提高学生的观察、抽象和概括能力． (三)德育渗透点

1．通过四面体、平行六面体、直平行六面体、长方体、正方体之间相互关系的教学，使学生树立普遍联系的唯物主义观点．

2．培养学生用联系的观点、类比思想分析解决各种问题的能力。 二、教学重点、难点

1．教学重点：平行六面体的性质；长方体对角线性质定理的应用。 2．教学难点：如何将旧知识重新组合灵活解决新问题的能力。 三、教与学过程设计

(一)复习提问

1．棱柱的定义中，强调了棱柱的二个特点，它们分别指什么？ 2．棱柱分为斜棱柱、直棱柱的依据是什么？

3．棱柱有三条性质，它们所涉及的对象各是什么？ (二)新课引入

师：今天我们专门来学习最常见的棱柱平行六面体及长方体．首先请同学们阅读课文． （三）平行六面体及长方体

1．平行六面体的性质（类比---归纳----猜想----证明） 问题1：平行四边形的两条对角线有什么性质？平行四边形的两条对角线与四条边之间有什么关系？（平行四边形的两条对角线的平方和等于它四条边的平方和。）

问题2：平行六面体的四条对角线有什么性质？平行六面体的四条对角线与十二条棱之间有什么关系？

定理1（性质1）：平行六面体的四条对角线交于一点，且在交点处互相平分；

性质2：平行六面体的四条对角线的平方和等于它十二条棱的平方和。 2．长方体及其性质

师：请同学们根据刚才阅读的内容在以下横线上方的括号内填上相应的内容：

问题3：满足什么条件的平行四边形为矩形？满足什么条件的平行六面体为长方体？（对角线相等的平行六面体是长方体）

例1、（1）设M={正四棱柱}，N＝{直四棱柱}，P={长方体}，Q={直平行六面体}，这些集合的关系是 ( )

A．M  P  N  O B．M  P  Q  N C．P  M  N  Q D．P  M  Q  N 师：抓住各图形底面形状来考虑．选(B)

（2）斜棱柱的侧面最多可有几个面是矩形 ( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 师：可以有两个相对的侧面为矩形，故选(C)． （3）一个棱柱是正四棱柱的条件是 ( ) A．底面是正方形，有两个侧面是矩形 B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面

C．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直 D．每个侧面都是全等的矩形的四棱柱

师：我们要紧紧抓住正四棱柱的底面是正方形，侧棱与底面垂直这两个特点来逐个答案进行考虑(让学生讨论后，帮助总结)．

条件(A)无法保证侧棱与底面垂直；条件(B)一样无法保证侧棱与底面垂直；条件(C)的后半部分可以保证侧棱与底面垂直，前后两部分结合可得底面是正方形，故选(C)；条件(D)的底面可以是菱形，故不能选．

(四)长方体的性质

定理2：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上的三条棱长的平方和．(具体求解由学生自己完成)．

例3、长方体ABCD-A1B1C1D1中，AC1是一条对角线.

(1)若AC1与平面AD1、平面AC、平面AB1所成的角分别为α、β、γ，求证：sin2α+ sin 2β+ sin 2γ=1．

(2)若AC1与三条棱AD、AB、AA1所成的角分别为α、β、γ，求证：cos2α+cos2β+cos2γ=1．

可见：（1）长方体的一条对角线与一个顶点上的三个面所成角正弦的平方和等于1.（1）长方体的一条对角线与一个顶点上的三条棱所成角余弦的平方和等于1；

口诀：正面余棱，三方合一.

(五)总结 1．从四棱柱出发，通过附加条件得到平行六面体、直平行六面体、长方体，正方体．我们判断特殊四棱柱应从它们的底面、侧棱与底面的关系以及棱长等三个方面进行综合分析．

2．本节课通过寻找平行四边形与平行六面体、矩形与长方体的关系，从而根据比较归纳出了平行六面体和长方体的性质；

(六)练习： P43练习2．

四、作业布置：