打印 历届高考中的“导数”试题精选(理科自我测试)

一、选择题：（每小题5分，计50分） 题号答案123345678910 1．（2004湖北理科）函数f(x)axx1有极值的充要条件是 （A）a0 （B）a0 （C）a0 （D）a0

1x23lnx的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为 2.（2007全国Ⅱ理）已知曲线y241

(D) 2

′′′

3.(2005湖南理)设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0(x)，f2(x)＝f1(x)，…，fn＋1(x)＝fn(x)，n∈N，则f2005(x)＝ A、sinx B、－sinx C、cosx D、－cosx

(A)3

(B) 2

(C) 1

4.(2008广东理)设aR，若函数ye3x，xR有大于零的极值点，则

11A．a3 B. a3 C. a D. a

335．(2001江西、山西、天津理科)函数y13xx3有

（A）极小值－1，极大值1 （B）极小值－2，极大值3 （C）极小值－2，极大值2 （D）极小值－1，极大值3 6．（2004湖南理科）设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时, f(x)g(x)f(x)g(x)＞0.且g30，.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是

(A) (3,0)(3,) （B）(3,0)(0,3) （C）(,3)(3,) （D）(,3)(0,3) 7.(2007海南、宁夏理)曲线yeＡ．

1x2ax在点(4，e)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 Ｃ．2e

2292e 2Ｂ．4e

2Ｄ．e

212xbln(x2)在(-1,+)上是减函数，则b的取值范围是 2A.[-1，+∞] B.（-1，+∞） C. ,1 D.（-∞，-1）

8. (2008湖北理)若f(x)= 9．（2005江西理科）已知函数yxf(x)的图像如右图所示（其中f(x)是函数f(x)的导函数)，下面四

个图象中yf(x)的图象大致是

y21y21oy42-2oy421yy=xf'(x)1-1o

o12x-2-1123x-1-2-2x-2o2x1x -1 A B C D

10.（2000江西、天津理科）右图中阴影部分的面积是（ ） （A）23 （B）923 （C）

3235 （D） 33

1

二、填空题：(每小题5分,计20分)

11.（2007湖北文）已知函数yf(x)的图象在M（1，f（1））处的切线方程是yf(1)—f’(1)=______________.

12．（2007湖南理）函数f(x)12xx3在区间[3，3]上的最小值是 ．

13.(2008全国Ⅱ卷理)设曲线yeax在点(0，1)处的切线与直线x2y10垂直，则a _____ ．

2

14．（2006湖北文）半径为r的圆的面积S(r)＝r,周长C(r)=2r，若将r看作(0，＋∞)上的变量，

1， ○1式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。 则(r2)＝2r ○

1的式子： ○2 对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于○

2式可以用语言叙述为： 。 ○

1x+2， 2三、解答题：(15,16小题各12分,其余各小题各14分) 15.(2004重庆文)某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间的

12关系式为：p24200x,且生产x吨的成本为R50000200x（元）。问该产每月生产多少吨产品

5才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入─成本）

3216.(2008重庆文) 设函数f(x)xax9x1(a0).若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与 直线12x+y=6平行，求： （Ⅰ）a的值; （Ⅱ）函数f(x)的单调区间.

2

17．(2008全国Ⅰ卷文、理)已知函数f(x)x3ax2x1，aR． （Ⅰ）讨论函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）设函数f(x)在区间，内是减函数，求a的取值范围．

t18．（2004浙江理）设曲线yex(x≥0）在点M（t, e）处的切线l与x轴y轴所围成的三角形面积为S（t）。 （Ⅰ）求切线l的方程； （Ⅱ）求S（t）的最大值。

3

2313

19．(2007海南、宁夏文)设函数f(x)ln(2x3)x2

（Ⅰ）讨论f(x)的单调性； （Ⅱ）求f(x)在区间，的最大值和最小值．

44

20..(2007安徽理)设a≥0，f (x)=x－1－ln2 x＋2a ln x（x>0）.

（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当x>1时，恒有x>ln2x－2a ln x＋1.

4

31历届高考中的“导数”试题精选(理科自我测试)参考答案

一、选择题：（每小题5分，计50分） 题号12345D6D7D8C9C10C 答案CACB二、填空题：(每小题5分,计20分) 43211. 3 ； 12．16； 13. 2 ； 14. R4R,球的体积函数的导数等于球的表面积函数

3三、解答题：(15,16小题各12分,其余各小题各14分)

1215. 解：每月生产x吨时的利润为f(x)(24200x)x(50000200x)

51x324000x50000(x0)5

3由f(x)x2240000解得x1200,x2200(舍去).5 因f(x)在[0,)内只有一个点x200使f(x)0，故它就是最大值点，且最大值为：

1f(200)(200)324000200500003150000(元)

5 答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.

a2a2. 16. 解：(Ⅰ)因为f(x)xax9x1, 所以f(x)3x2ax93(x)933aa2. 因斜率最小的切线与12xy6平行， 即当x时，f(x)取得最小值9即

33a212,即a29. 解得a3,由题设a0,所以a3. 该切线的斜率为-12， 所以9332 (Ⅱ)由(Ⅰ)知a3,因此f(x)x3x9x1,

f(x)3x26x93(x3(x1)令f(x)0,解得：x11,x23.当x(,1)时，f(x)0,故f(x)在(，1）上为增函数； 当x(1,3)时，f(x)0,故f(x)在（1， 3）上为减函数；当x(3,+)时，f(x)0,故f(x)在（3，）上为增函数.222由此可见，函数f(x)的单调递增区间为(,1）和（3，）；单调递减区间为（1，3）.17．解：（1）f(x)xaxx1 求导：f(x)3x2ax1 当a2322≤3时，≤0，f(x)≥0, f(x)在R上递增

aa23当a3，f(x)0求得两根为x

32aa23递增, 即f(x)在，3aa23aa23，递减,

33aa23，递增 3（2）要使f(x)在在区间，内是减函数，当且仅当，f(x)0在，恒成立，

23132313 5

274af00333由f(x)的图像可知，只需，即, 解得。a≥2。所以，a的取值范围2,。

42a1f0033318.解：（Ⅰ）因为f(x)(ex)ex, 所以切线l的斜率为et,

故切线l的方程为yetet(xt).即exye(t1)0。 （Ⅱ）令y= 0得x=t+1, x=0得yet(t1)

tt11(t1)et(t1)=(t1)2et 221t从而S(t)e(1t)(1t).

2∵当t（0，1）时，S(t)>0, 当t（1,+∞）时,S(t)<0,

2所以S(t)的最大值为S(1)=。

e24x26x22(2x1)(x1)32x19．解：f(x)的定义域为，（Ⅰ）f(x)． ∞．

2x32x32x32311当x1时，f(x)0；当1x时，f(x)0；当x时，f(x)0．

222131从而，f(x)分别在区间，1，，∞单调增加，在区间1，单调减少．

2221311（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)在区间，的最小值为fln2．又

44423971311493131fflnlnln1ln0．所以f(x)在区间，的最

21621672264444711大值为fln．

24162Inx2a,x0. 20.（Ⅰ）解：根据求导法则得f(x)1xx2x2,x0. 故F(x)xf(x)x2Inx2a,x0, 于是F(x)1xx所以S（t）=

列表如下： x (0,2) 2 (2,+∞) - 0 + F′（x） F(x) ↓ 极小值F（2） ↑ 故知F（x）在（0，2）内是减函数，在（2，+∞）内是增函数，所以，在x＝2处取得极小值F（2）＝2-2In2+2a. （Ⅱ）证明：由a0知，F(x)的极小值F(2)22In22a0. 于是由上表知，对一切x(0,),恒有F(x)xf(x)0. 从而当x0时，恒有f(x)0,故f(x)在（0,）内单调增加. 所以当x1时，f(x)f(1)0,即x1Inx2aInx0.

2时，恒有xInx2aInx1. 故当x1

6

2