上街区第一高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

(2i)21． 复数z（i为虚数单位），则z的共轭复数为（ ）

i A．-4+3i B．4+3i C．3+4i D．3-4i【命题意图】本题考查复数的运算和复数的概念等基础知识，意在考查基本运算能力．

2． 某校新校区建设在市二环路主干道旁，因安全需要，挖掘建设了一条人行地下通道，地下通道设计三视图中的主（正）视力（其中上部分曲线近似为抛物）和侧（左）视图如图（单位：m），则该工程需挖掘的总土方数为（

）

A．560m3B．540m3C．520m3D．500m3

3． 2016年3月“两会”期间，有代表提出适当下调“五险一金”的缴存比例，现拟从某工厂职工中抽取

20名代表调查对这一提案的态度，已知该厂青年，中年，老年职工人数分别为350，500，150，按分

层抽样的方法，应从青年职工中抽取的人数为（ ）A. 5 B.6 C.7 D.10【命题意图】本题主要考查分层抽样的方法的运用，属容易题.

4． 如图，△ABC所在平面上的点Pn（n∈N*）均满足△PnAB与△PnAC的面积比为3；1，2xn+1）（

）

（其中，{xn}是首项为1的正项数列），则x5等于

=

﹣（

A．65B．63C．33D．31

5． 等差数列{an}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{an}的公差为（ A．1

B．2

C．3

D．4

）

6． 过点（﹣1，3）且平行于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（

）

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A．x﹣2y+7=0B．2x+y﹣1=0C．x﹣2y﹣5=0D．2x+y﹣5=0）

7． 某高二（1）班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信息，可确定被抽测的人数及分数在90,100内的人数分别为（

A．20，2 B．24，4 C．25，2 D．25，4

8． 若复数z1,z2在复平面内对应的点关于y轴对称，且z12i，则复数（

）

B．第二象限

C．第三象限

z1在复平面内对应的点在z2A．第一象限 D．第四象限

【命题意图】本题考查复数的几何意义、代数运算等基础知识，意在考查转化思想与计算能力．

9． 设向量，满足：||=3，||=4， =0．以，，﹣的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ A．3　

10．已知函数f（x）=3cos（2x﹣A．导函数为

B．函数f（x）的图象关于直线C．函数f（x）在区间（﹣

，

对称）上是增函数

个单位长度得到

）

），则下列结论正确的是（

）

B．4

）

C．5

D．6

D．函数f（x）的图象可由函数y=3co s2x的图象向右平移

11．已知A={﹣4，2a﹣1，a2}，B={a﹣5，1﹣a，9}，且A∩B={9}，则a的值是（ A．a=3

B．a=﹣3

C．a=±3

D．a=5或a=±3

）

12．过直线3x﹣2y+3=0与x+y﹣4=0的交点，与直线2x+y﹣1=0平行的直线方程为（ A．2x+y﹣5=0B．2x﹣y+1=0C．x+2y﹣7=0D．x﹣2y+5=0

二、填空题

13．在ABC中，C90，BC2，M为BC的中点，sinBAM1，则AC的长为_________.3第 2 页，共 17 页

14．若x，y满足约束条件2x－y－1≥0，若z＝2x＋by（b＞0）的最小值为3，则b＝________．

x－2y＋1≤015．设函数

，若用表示不超过实数m的最大整数，则函数的值域为　　　　　　．16．圆心在原点且与直线xy2相切的圆的方程为_____ .{x＋y－5≤0

)【命题意图】本题考查点到直线的距离公式，圆的方程，直线与圆的位置关系等基础知识，属送分题.17．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA=bsinB+（c﹣b）sinC，且bc=4，则△ABC的面积为　　　　　　．18．已知双曲线

﹣

=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=

x，它的一个焦点在抛物线y2=48x的准

线上，则双曲线的方程是　　．

三、解答题

19．已知函数f(x)(xk)e（kR）．（1）求f(x)的单调区间和极值；（2）求f(x)在x1,2上的最小值．

（3）设g(x)f(x)f'(x)，若对k,及x0,1有g(x)恒成立，求实数的取值范围．

22x3520．设{an}是公比小于4的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知a1=1，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）令bn=lna3n+1，n=12…求数列{bn}的前n项和Tn．

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21．已知函数f（x）=xlnx+ax（a∈R）．（Ⅰ）若a=﹣2，求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，求正整数k的值．（参考数据：ln2=0.6931，ln3=1.0986）　

22．已知函数f（x）=ax2+2x﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=4，求函数f（x）的极值；

（Ⅱ）若f′（x）在（0，1）有唯一的零点x0，求a的取值范围；

（Ⅲ）若a∈（﹣，0），设g（x）=a（1﹣x）2﹣2x﹣1﹣ln（1﹣x），求证：g（x）在（0，1）内有唯一的零点x1，且对（Ⅱ）中的x0，满足x0+x1＞1．

23．已知Aa,a1,3,Ba3,3a1,a1,若AB3，求实数的值.

22第 4 页，共 17 页

24．已知椭圆E：上．

+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点（，）在椭圆E

（1）求椭圆E的方程；

（2）设过点P（2，1）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若AB的中点恰好为点P，求直线l的方程．　

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上街区第一高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题

1． 【答案】A

(2i)2【解析】根据复数的运算可知zi(2i)23i4，可知z的共轭复数为z=-4+3i，故选A.

i2． 【答案】A

【解析】解：以顶部抛物线顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系，易得抛物线过点（3，﹣1），其方程为y=﹣

，那么正（主）视图上部分抛物线与矩形围成的部分面积S1==4，

下部分矩形面积S2=24，

故挖掘的总土方数为V=（S1+S2）h=28×20=560m3．故选：A．

【点评】本题是对抛物线方程在实际生活中应用的考查，考查学生的计算能力，属于中档题．　

3． 【答案】C

=2

4． 【答案】 D【解析】解：由得设

+（2xn+1）

==，

﹣（2xn+1），

，

以线段PnA、PnD作出图形如图，

则，

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∴，∴，

∵，∴，

则，

即xn+1=2xn+1，∴xn+1+1=2（xn+1），

则{xn+1}构成以2为首项，以2为公比的等比数列，∴x5+1=2•24=32，则x5=31．故选：D．

【点评】本题考查了平面向量的三角形法则，考查了数学转化思想方法，训练了利用构造法构造等比数列，考查了计算能力，属难题．　

5． 【答案】B

【解析】解：设数列{an}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2，故选B．　

6． 【答案】A

【解析】解：由题意可设所求的直线方程为x﹣2y+c=0∵过点（﹣1，3）代入可得﹣1﹣6+c=0 则c=7∴x﹣2y+7=0故选A．

【点评】本题主要考查了直线方程的求解，解决本题的关键根据直线平行的条件设出所求的直线方程x﹣2y+c=0．　

7． 【答案】C【解析】

考

点：茎叶图，频率分布直方图．

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8． 【答案】B【

解

析

】

9． 【答案】B

【解析】解：∵向量ab=0，∴此三角形为直角三角形，三边长分别为3，4，5，进而可知其内切圆半径为1，∵对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现．故选B

【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系．可采用数形结合结合的方法较为直观．　

10．【答案】B

【解析】解：对于A，函数f′（x）=﹣3sin（2x﹣对于B，当x=

时，f（

）=3cos（2×

）•2=﹣6sin（2x﹣﹣

），A错误；

）=﹣3取得最小值，

所以函数f（x）的图象关于直线对于C，当x∈（﹣

，

）时，2x﹣

对称，B正确；∈（﹣

，

），

函数f（x）=3cos（2x﹣）不是单调函数，C错误；

个单位长度，）的图象，

对于D，函数y=3co s2x的图象向右平移得到函数y=3co s2（x﹣

）=3co s（2x﹣

这不是函数f（x）的图象，D错误．故选：B．

【点评】本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．　

11．【答案】B

【解析】解：∵A={﹣4，2a﹣1，a2}，B={a﹣5，1﹣a，9}，且A∩B={9}，∴2a﹣1=9或a2=9，

当2a﹣1=9时，a=5，A∩B={4，9}，不符合题意；

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当a2=9时，a=±3，若a=3，集合B违背互异性；∴a=﹣3．故选：B．

【点评】本题考查了交集及其运算，考查了集合中元素的特性，是基础题．　

12．【答案】A【解析】解：联立∴交点为（1，3），

过直线3x﹣2y+3=0与x+y﹣4=0的交点，

与直线2x+y﹣1=0平行的直线方程为：2x+y+c=0，把点（1，3）代入，得：2+3+c=0，解得c=﹣5，

∴直线方程是：2x+y﹣5=0，故选：A．　

，得x=1，y=3，

二、填空题

13．【答案】2【解析】

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考点：1、正弦定理及勾股定理；2诱导公式及直角三角形的性质.

【方法点睛】本题主要考查正弦定理及勾股定理、诱导公式及直角三角形的性质，属于难题，高考三角函数的考查主要以三角恒等变形，三角函数的图象和性质，利用正弦定理、余弦定理解三角形为主，难度中等，因此只要掌握基本的解题方法与技巧即可， 对于三角函数与解三角形相结合的题目，要注意通过正余弦定理以及面积公式实现边角互化，求出相关的边和角的大小，有时也要考虑特殊三角形的特殊性质（如正三角形，直角三角形等）.14．【答案】【解析】

约束条件表示的区域如图，

当直线l：z＝2x＋by（b＞0）经过直线2x－y－1＝0与x－2y＋1＝0的交点A（1，1）时，zmin＝2＋b，∴2＋b＝3，∴b＝1.答案：1

15．【答案】　{0，1}　．

【解析】解：=[=[﹣

﹣]+[

]+[

+]+]，

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∵0＜＜1，

＜，＜＜时，＜，＜

+＜1，

+＜，

∴﹣＜﹣①当0＜0＜﹣故y=0；②当﹣故y=1；③＜﹣＜﹣故y=﹣1+1=0；故函数

=时，=0，

+=1，

＜1时，

＜0，1＜

+＜，

的值域为{0，1}．

故答案为：{0，1}．

【点评】本题考查了学生的化简运算能力及分类讨论的思想应用．　

2216．【答案】xy2

【解析】由题意，圆的半径等于原点到直线xy2的距离，所以rd|002|2，故圆的方程为2x2y22.

17．【答案】　　．

【解析】解：∵asinA=bsinB+（c﹣b）sinC，∴由正弦定理得a2=b2+c2﹣bc，即：b2+c2﹣a2=bc，∴由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB，∴cosA=∵bc=4，

∴S△ABC=bcsinA=

=

．

=

=，A=60°．可得：sinA=

，

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故答案为：

【点评】本题主要考查了解三角形问题．考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用，考查了三角形面积公式的应用，属于中档题．　

18．【答案】

【解析】解：因为抛物线y2=48x的准线方程为x=﹣12，则由题意知，点F（﹣12，0）是双曲线的左焦点，所以a2+b2=c2=144，

又双曲线的一条渐近线方程是y=所以=

，

x，

解得a2=36，b2=108，所以双曲线的方程为故答案为：

．

．

【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，确定c和a2的值，是解题的关键．　

三、解答题

19．【答案】（1）f(x)的单调递增区间为(k1,)，单调递减区间为(,k1)，

f(x)极小值f(k1)ek1，无极大值；（2）k2时f(x)最小值f(1)(1k)e，2k3时f(x)最小值f(k1)ek1，k3时，f(x)最小值f(2)(2k)e2；（3）2e.

【解析】

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（2）当k11，即k2时，f(x)在1,2上递增，∴f(x)最小值f(1)(1k)e；当k12，即k3时，f(x)在1,2上递减，∴f(x)最小值f(2)(2k)e；

2当1k12，即2k3时，f(x)在1,k1上递减，在k1,2上递增，∴f(x)最小值f(k1)ek1．

x（3）g(x)(2x2k1)e，∴g'(x)(2x2k3)e，

x由g'(x)0，得xk当xk3，23时，g'(x)0；23当xk时，g'(x)0，

233∴g(x)在(,k)上递减，在(k,)递增，

223k3故g(x)最小值g(k)2e2，

23k3335又∵k,，∴k0,1，∴当x0,1时，g(x)最小值g(k)2e2，

2222∴g(x)对x0,1恒成立等价于g(x)最小值2e又g(x)最小值2e∴(2ek32k32；

k3235对k,恒成立．

22)mink，故2e．1

考点：1、利用导数研究函数的单调性进而求函数的最值；2、不等式恒成立问题及分类讨论思想的应用.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性进而求函数的最值、不等式恒成立问题及分类讨论思想的应用.属于难题. 数学中常见的思想方法有：函数与方程的思想、分类讨论思想、转化与划归思想、数形结合思想、建模思想等等，分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想

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之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.本题（2）就是根据这种思想讨论函数单调区间的.20．【答案】

【解析】解：（1）设等比数列{an}的公比为q＜4，∵a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．∴2×3a2=a1+3+a3+4，∴6q=1+7+q2，解得q=2．（2）由（1）可得：an=2n﹣1．bn=lna3n+1=ln23n=3nln2．

∴数列{bn}的前n项和Tn=3ln2×（1+2+…+n）=

ln2．

21．【答案】

【解析】解：（I）a=﹣2时，f（x）=xlnx﹣2x，则f′（x）=lnx﹣1．令f′（x）=0得x=e，

当0＜x＜e时，f′（x）＜0，当x＞e时，f′（x）＞0，

∴f（x）的单调递减区间是（0，e），单调递增区间为（e，+∞）．（II）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，则xlnx+ax＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，即k（x﹣1）＜xlnx+ax﹣ax+x恒成立，又x﹣1＞0，则k＜设h（x）=

对任意x∈（1，+∞）恒成立，，则h′（x）=

．

设m（x）=x﹣lnx﹣2，则m′（x）=1﹣，

∵x∈（1，+∞），∴m′（x）＞0，则m（x）在（1，+∞）上是增函数．∵m（1）=﹣1＜0，m（2）=﹣ln2＜0，m（3）=1﹣ln3＜0，m（4）=2﹣ln4＞0，∴存在x0∈（3，4），使得m（x0）=0，当x∈（1，x0）时，m（x）＜0，即h′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，m（x）＞0，h′（x）＞0，

∴h（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，∴h（x）的最小值hmin（x）=h（x0）=

∵m（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，∴lnx0=x0﹣2．∴h（x0）=

．

=x0．

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∴k＜hmin（x）=x0．∵3＜x0＜4，∴k≤3．

∴k的值为1，2，3．

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数的最值，函数恒成立问题，构造函数求出h（x）的最小值是解题关键，属于难题．　

22．【答案】

【解析】满分（14分）．

解法一：（Ⅰ）当a=4时，f（x）=4x2+2x﹣lnx，x∈（0，+∞），

．…（1分）

由x∈（0，+∞），令f′（x）=0，得

．

当x变化时，f′（x），f（x）的变化如下表：xf′（x）﹣f（x）↘故函数f（x）在

0极小值+↗单调递增，…（3分）f（x）有极小值

单调递减，在

，无极大值．…（4分）

（Ⅱ），

令f′（x）=0，得2ax2+2x﹣1=0，设h（x）=2ax2+2x﹣1．

则f′（x）在（0，1）有唯一的零点x0等价于h（x）在（0，1）有唯一的零点x0当a=0时，方程的解为

，满足题意；…（5分）

，函数h（x）在（0，1）上单调递增，

当a＞0时，由函数h（x）图象的对称轴

且h（0）=﹣1，h（1）=2a+1＞0，所以满足题意；…（6分）当a＜0，△=0时，

，此时方程的解为x=1，不符合题意；

当a＜0，△≠0时，由h（0）=﹣1，只需h（1）=2a+1＞0，得

．…（7分）

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综上，．…（8分）

（说明：△=0未讨论扣1分）

（Ⅲ）设t=1﹣x，则t∈（0，1），p（t）=g（1﹣t）=at2+2t﹣3﹣lnt，…（9分）

，

由

，故由（Ⅱ）可知，

方程2at2+2t﹣1=0在（0，1）内有唯一的解x0，

且当t∈（0，x0）时，p′（t）＜0，p（t）单调递减；t∈（x0，1）时，p′（t）＞0，p（t）单调递增．…（11分）

又p（1）=a﹣1＜0，所以p（x0）＜0．…（12分）取t=e﹣3+2a∈（0，1），

则p（e﹣3+2a）=ae﹣6+4a+2e﹣3+2a﹣3﹣lne﹣3+2a=ae﹣6+4a+2e﹣3+2a﹣3+3﹣2a=a（e﹣6+4a﹣2）+2e﹣3+2a＞0，从而当t∈（0，x0）时，p（t）必存在唯一的零点t1，且0＜t1＜x0，即0＜1﹣x1＜x0，得x1∈（0，1），且x0+x1＞1，

从而函数g（x）在（0，1）内有唯一的零点x1，满足x0+x1＞1．…（14分）解法二：（Ⅰ）同解法一；…（4分）（Ⅱ）

令f′（x）=0，由2ax2+2x﹣1=0，得设

，则m∈（1，+∞），

，

．…（5分）

，…（6分）

的图象在（1，+∞）恰有一个交点问题．

问题转化为直线y=a与函数

又当m∈（1，+∞）时，h（m）单调递增，…（7分）

故直线y=a与函数h（m）的图象恰有一个交点，当且仅当（Ⅲ）同解法一．

．…（8分）

（说明：第（Ⅲ）问判断零点存在时，利用t→0时，p（t）→+∞进行证明，扣1分）

【点评】本题考查函数与导数等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想，考查运用数学知识分析和解决问题的能力．　

23．【答案】a【解析】

2．3第 16 页，共 17 页

考点：集合的运算.24．【答案】

【解析】解：（1）由题得=解得a2=8，b2=4．∴椭圆方程为：

．

，

=1，又a2=b2+c2，

（2）设直线的斜率为k，A（x1，y1），B（x2，y2），∴两式相减得

∵P是AB中点，∴x1+x2=4，y1+y2=2，代入上式得：4+4k=0，解得k=﹣1，∴直线l：x+y﹣3=0．

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、“点差法”、斜率计算公式、中点坐标坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　

，

=1，

=0， =k，

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