关于摩擦力的几个问题
再议摩擦力的几个问题
吴江市盛泽中学 陈丽英
关键词：静摩擦力、滑动摩擦力、滚动摩擦力
论文摘要：高中物理中，两个相互接触物体间的摩擦力问题是一个很要的概念，谈谈对摩擦力的分类、有关极值问题、做功问题等的看法。
在物理课程中需要了解两个相互接触的物体之间的摩擦问题。而关于摩擦力的概念是一个既重要、又容易出错的问题。摩擦力和弹力一样本质上是由原子间或分子间的电磁力而引起的，是通过电磁场进行的。在力学问题中摩擦力可以表观地看作是“接触力”。
一般来说，固体间的摩擦叫干摩擦。干摩擦力包括静摩擦力和滑动摩擦力。在相互挤压的接触面间有相对滑动趋势但还没有发生相对滑动的时候，接触面间便出现阻碍发生相对滑动的力，这个力叫静摩擦力。静摩擦力总是沿接触面而作用着，并与接触面间相对滑动趋势的方向相反。静摩擦力的大小由物体所受其它力和物体的运动状态而定，它没有“独立自主”的大小和方向，处于“被动地位”。但静摩擦力并不能无限止增加，当物体处在从静到动的临界状态时，静摩擦力达到最大值，叫做最大静摩擦力。通常用库仑提出的近似经验公式
f0max=µ0N
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f0max表示最大静摩擦力，N表示接触面间的正压力，静摩擦因数µ0为一无量纲的纯数。µ0与接触面的材料、表面光滑程度、干湿程度、表面温度等有关。若用f0表示真实的静摩擦力，则f0 ≤f0max。而且，在不超过最大静摩擦力的前提下，根据物体受力和运动状况，为了防止接触面发生相对滑动，需要多大的静摩擦力，就有多大，需要它沿哪个方向，就沿哪个方向。当一个物体在另一个物体的表面上相对于另一个物体滑动时，要受到另一个物体阻碍它相对滑动的力，这种力叫做滑动摩擦力。滑动摩擦力的方向总跟接触面相切，并且跟物体的相对运动的方向相反。实验表明：滑动摩擦力的大小也可用公式表示：f=µN。其中µ叫做动摩擦因数，它的数值跟相互接触的两个物体的材料、接触面的粗糙程度有关，它是一个比值，无量纲。除了上述两种摩擦力以外，还有滚动摩擦。滚动摩擦是一个物体在另一个物体表面上滚动时产生的摩擦。滚动摩擦一般比滑动摩擦小得多。下面就两物体间的摩擦力问题作一些初浅的探讨。 一、 关于静摩擦力与滑动摩擦力之间的“突变”问题
学生对摩擦力的理解、尤其是对滑动摩擦力和静摩擦力之间的转换过程中的“突变”问题，有时感到难以理解。现用数学图象对它们之间的转换过程表现出来，有助于学生较清晰地理解两者间的“突变”过程，也有
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利于培养学生用数学图象来解决物理问题的能力。
［例题１］如图１所示，在水平桌面上放一木块，用从零开始逐渐增大的水平拉力F拉着木块沿桌面运动，则木块所受的摩擦力f随拉力F变化的图象（图２）正确的是：（ ）
(
f f f
0 F 0 F 0
F 0 F
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图1 )
F
f B
C D
( 图2 ) ［析与解］：当木块没有受拉力，即F＝０时，桌面对木块没有摩擦力，即f=０。当木块受到的水平拉力F较小时，木块仍保持静止，但出现向右运动的趋势，桌面对木块产生静摩擦力，其大小与F相等，方向相反。随着水平拉力F不断增大，木块向右运动的趋势增强，桌面对木块的静摩擦力也相应增大，直到水平力F足够大时，木块开始滑动，桌面对木块的静摩擦力达成到最大值fm，在这个过程中，由木块在水平方向的二力平衡条件知道，桌面对木块的静摩擦力f始终与拉力F等大反向，即静摩擦力f随着F的增大而增大。
木块发生滑动的瞬间，桌面对它的阻碍作用由最大静摩擦力突然变为滑动摩擦力，其值要小于最大静摩擦力，即两种摩擦力大小发生“突变”。在木块继续滑动的过程中滑动摩擦力又保持不变，所以D答案正确。 本题把静摩擦力的变化过程、最大静摩擦力大于滑动摩擦力、静摩擦力向滑动摩擦力转变的过程中产生的“突变”以及不变的滑动摩擦力通过数学图像清楚地表示出来，给学生留下深刻的印象。
可绕M端自由转动，若将其N端慢慢抬起，物体所受的
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［例题２］如图３所示，物体放在粗糙木板上，木板
摩擦力为f，木板与地面间夹角为θ，则物体所受的摩擦力f的大小随θ的变化图线是图４中的（ ）
θ M N
（ 图3 ） f f f f
0 θ00
0 90 θ 0 θ0 90 θ 0 900 θ 0 θ0
0 90 θ A B C
D
（ 图4 ）
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0θ
［析与解］：当木板与地面间的夹角是００时，物体没有发生相对运动的趋势，不受静摩擦力，即f=0. 当物体所受静摩擦力f达到最大值fm之前总与重力沿斜面向下的分力相平衡，即f =µmgsinθ,当θ角由0增大到θ0，即静摩擦力f达到最大值fm之前，它随θ呈正弦曲线变化规律。
当静摩擦力f达到最大值fm并开始滑动的瞬间，静摩擦力突然变为滑动摩擦力，其值为f =µN＝μmg cosθ.故θ角在θ0之后到90的过程中滑动摩擦力 f滑随θ的变化图线为余弦曲线，并且滑动摩擦力f滑小于最大静摩擦力fm ，即在θ0角处摩擦力发生由静摩擦力到滑动摩擦力的“突变”。
所以图４中 C符合上述变化规律，为正确答案。
本题以数学图象的形式，活灵活现地把静摩擦
力和滑动摩擦力的规律反映出来了，它能使学生通过比较对静摩擦力和滑动摩擦力的性质及之间的“突变”过程更加清晰明确，具有启发性、典型性。
[例题3]如图5所示，把一重为G的物体，用一个与时间成正比的水平推力F推压在足够高而平整的竖直墙壁上，开始时物体的速度为零，从t =0开始，物体所受的摩擦力随时间的变化图象是图6中的（ ）
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０
F
( 图 5 )
f G G G G t
A B C D
( 图 6 )
[析与解]：开始时由于推力F推为零，物体和墙壁间没有压，则摩擦力f = 0。物体在重力的作用下开始沿竖直墙面下滑，所以开始时是滑动摩擦力。由f =µN,又N=F推，而F推随时间成正比的增加，所以摩擦力f也随时间成正比的增加。
当f增大到等于G时，物体具有一定的速度，由于惯
性仍然滑行，随着滑行的继续，因压力不断增加，摩擦力f=µN将大于物体的重力G，物体作减速运动，最后物体静
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f f f 0 t 0 t 0 t 0
止于墙面上，滑动摩擦力突然变为了静摩擦力。在竖直方向根据二力平衡条件：静摩擦力f =G。
因此，在某一瞬间摩擦力发生了由大于G到等
于G的“突变”。
所以D为本题的正确答案。
本题的讨论过程和答案的数学图象，非常形象
地表明了滑动摩擦力向静摩擦力转变时所发生的“突变”，有助于学生分析摩擦力的问题时，根据物体的运动状态确定摩擦力的种类。
以上三个例题的正确图象分别反映了摩擦力随外力变化时的突变、摩擦力随斜面角度变化时的突变、摩擦力随时间变化的突变，它们都反映了两种摩擦力之间转换时表现出来的特点。 二、 滑动摩擦力永远都不可能为零
在中学物理中，定义滑动摩擦力的大小f滑= µN ，定义最大静摩擦力的大小f0max=µ0N，其中N是正压力。在相同接触面的情况下，最大静摩擦系数µ0略大于滑动摩擦因数µ，也即滑动摩擦力是小于最大静摩擦力的。在正压力一定的情况下，影响滑动摩擦力的就是滑动摩擦因数µ，它与两物体的材料、接触面的粗糙程度及表面的润滑情况等有关。甚至还与滑动表面接触时间的长短有关。
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在通常的解题过程中，常常由于题目中有“光滑”两个字而认为两接触面间无任何摩擦力，甚至有的还认为存在摩擦力的其中一个必要条件就是接触面不光滑，这是一种理想情况。实际上，滑动摩擦因数µ的确与两接触面的光滑程度有关。而且，随着两接触面的光滑程度越来越高，（在一定限度内）滑动摩擦因数µ是越来越小，但并不是等于零，而是等于某一临界值。也即当两接触面是光滑的时候，物体间的摩擦力也不是等于零，而是趋于某一临界值。当两物体间的光滑达到一定的程度时，由于两物体间的距离也非常接近，达到甚至超过10-10m时，两接触面间的分子引力将表现得较为明显，此时的滑动摩擦力由于受到分子间引力的作用而受到影响，重新开始增大。所以，滑动摩擦力始终都不会为零。
另外，滑动摩擦力的大小还随着物体相对速度的增大而继续减小，达到一定程度时，以后又随着相对速度的增大而增大，这个过程可以粗略地用图 7来表示。
f fm ( 图7 )
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0 v
三、 关于滚动问题中的摩擦力 a) 滚动摩擦并不是滚动摩擦力
通常认为，在有相对运动趋势的静止物体间存在静摩擦力；在物体间存在相对运动时有滑动摩擦力，顺利成章的，当一个物体在另一个物体表面上滚动时受到的阻碍就是滚动摩擦力。而且，从大量的生活经历可知，在同样的条件下，滚动摩擦力比滑动摩擦力小得多。
实质上，滚动摩擦并不是力，而是一种阻碍物体滚动的力偶矩（或力矩）。当一个物体在粗糙平面上滚动时，平面和物体的接触处要发生形变，从而使接触处前方的支承面突起，这就使支承面作用于物体的弹力N的作用点从最低点向前移动d（见图8）。这个弹力和重力一起产生一个阻碍物体滚动的力偶矩Nd，这就是滚动摩擦。
N Gd 第 11 页 共 22 页
（ 图 8）
从实践中可知，滚动摩擦力矩的大小和正压力成正比，即M=kN，其中k是滚动摩擦系数，在数值上相当于弹力对于滚动体质心的力臂（图中的d），它具有长度的量纲。所谓滚动摩擦比滑动摩擦小，不能理解为滚动摩擦力矩比滑动摩擦力小，因为力矩跟力是无法比较大小的。它的含义是指在其它条件都相同的情况下，克服滚动摩擦使物体运动需要的力比克服滑动摩擦使物体运动需要的力小得多。例如使圆柱形的铁桶滚动前进要比它滑动前进省力得多。 (2)关于滚动问题中的静摩擦力
当物体间有无滑动时的滚动的情况时，如何来判
断静摩擦力的大小和方向？下面就此问题，提出几点粗浅的看法。举例如下：
设一刚性圆柱体，在一刚性的平面上向右作无滑动的滚动。由于物体均为刚性，故不存在滚动摩擦力偶矩。今讨论以下几种情况时，物体所受静摩擦力的大小和方向。
(1) 圆柱体在平面上作匀速滚动（图1）
(2) 用水平力F作用于圆柱体的质心点上（图2）
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(3) 用一力偶（F1、F2）作用在圆柱体上（图3） (4) 用一不过质心的水平力F3作用在圆柱体上（图4） 有人可能会说：\"在上述四种情况中，刚体都是作向右的滚动，又因静摩擦力f必与刚体的相对运动方向相反，所以f的方向均向左\"。其实这是错误的，事实上是：对于图1来说，f=0；对于图2，f向 左；对于图3，f向右；对于图4，f或右、或左、或为零。
C vc C F F2 r F1
r F3
R R R R
( 图1 ) （ 图2 ） （ 图3 ） （ 图4 ）
R
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F2 F1
（ 图 5 ）
下面就以上问题作如下具体分析，我们先取一般情形为例：设一实心圆柱体，在截面的B点受一水平向右的力F1，在其质心C点上受一水平向左的力F2作用，同时，可先假设f向右(如图5)，根据质心运动定理及绕质心的转动定律，可得：F1－F2＋f=mac
F1r－fR=Jcβ，
又 ac=Rβ
将实心圆柱体对质心点的转动惯量Jc=1／2mR2 代入上式中，求得：
f=－(R－2r)F1/3R＋F2／3 对上式讨论如下：
（1） 当F1=F2=0时，则f=0，即上述图1情况成立。 （2） F2=0，F1=F，r=0时，则f=－F／3＜0（方向向左），即上述图2情况成立。
（3） 当F1=F2，r＞0，则f=2rF1／3R＞0(方向向右)，
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B
即上述图3情况成立。
（4） 当F2=0，F1=F3，r＞0时，则 f=－(R－2r)F3／3R
即上述图4情况成立，此时有三种可能： （1）当r＞R／2时，f＞0（方向向右）； （2）当r =R／2时，f=0；
（3）当r＜R／2时；f＜0（方向向左）。 （5） 另一种情形，即当F1=F，F2=0，r＜0，即F1位于质心下方时，则
f=－(R＋2r)F／3R＜0（方向向左） 以上关于静摩擦力的判断方法也很容易推广到质量作其它分布的情况，如：作加速前进的自行车（略去其它次要因素），它的前轮的运动就与图2情况类似，所受摩擦力向后，而后轮的运动大体和图3情况相似，所受摩擦力是向前的。
所以平常可说自行车后轮是主动轮，而前轮是从动轮。所以骑自行车急刹车时，使用前刹容易翻车，而使用后刹却比较安全，现分析如下：
（1） 如前所述，刹车惯性力使前轮压力增加，后轮压力减少，由f=N可知，急刹前轮的强度比刹后轮大（a大）。
（2） 当我们进一步考虑到人和车的弹性变形以及连
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接处的间隙时，应该说人体各部分获得的加速度是有差异的，急刹前轮时，上肢和上身的加速度较大，惯性力合力的作用点偏在重心上方，因而力臂较长。急刹后轮时，惯性力合力作用点偏在重心下方，因而力臂较短，由此引起的惯性力矩前者较后者大，这也是急刹前轮容易翻车的一个原因。
（3） 急刹前轮时，刹车惯性力既然较大，因而骑车者的重力和惯性力合力的作用线可能超出座椅，造成人翻车倒。 四、 牵引力是摩擦力吗
牵引力在中学物理中常常提到，是指汽车、机车等本身向前的动力。中学课本中多次提到牵引力使汽车产生加速度；在一些参考书中把牵引力解释为就是摩擦力。在高一物理课本上曾有这么一句原话：“汽车的发动机驱动后轮转动，由于轮胎和地面间有摩擦……牵引力就是这样产生的。”
牵引力就是摩擦力吗？下面就此问题提出一些粗浅的看法：
（1） 汽车加速度的根本原因
为研究方便，假定汽车水平运动，车轮做无滑动的滚动，略去滚动摩擦。汽车发动机对后轮作用一驱动力矩L，每个轮子的转动惯量为I，其半径为r，汽车的
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总质量为M。把汽车看成由前轮、车身、后轮三部分组成。
后轮：由于受到发动机的驱动力矩L的作用，使后轮与地面的接触处A点相对地面有向后的运动趋势，地面对它的摩擦力f后向前，同时后轮的转轴对车身有向前的推力F后，车身对后轮的反作用力为F'后。如车身的加速度为a，因为车轮做无滑动的滚动，所以后轮的角加速度为β=a/r，根据转动定理，有
L－f后r=2Iβ， 据质心运动定理有： f后－F'后=m后轮a (如图1)
ω F'后 F前 f前
f后 f前
（ 图 1 ） （ 图 2 ）
F后 F前
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（ 图 3 ）
前轮：前轮轮轴受到车身对它的向前的推力F前，使它与地面的接触点处相对于地面有向前的运动趋势，地面对它施以向后的摩擦力，可列方程
f前r=2Iβ
F前－f前=m前轮a （如图2）
车身：由后轮对它的推力F后，和前轮对它的反作用力F'前， 得
F后 －F'前=m车身a （如图3） 联立方程：
F后 －F'前=m车身a （1） f后－F'后=m后轮a （2） F前－f前=m前轮a （3） L（4） f（5）
且 F前= F'前、、F后= F'后，解得： 、
f 后－F前=(m车身＋m前轮＋m后轮)a=Ma （6） f
后
前
－f
后
r=2Iβ=2Ia
／
／r
r=2Iβ=2Iar
－f
前
=L／(r＋4I／Mr)
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（7）
从表面看a= (f后－f前) ／M，汽车的加速度靠前、后轮的合摩擦力产生，也就是说摩擦力是汽车加速度的直接原因，但由（7）式（f后－f前）∞L，可以看到，合摩擦力正比于发动机所施加的驱动力矩。车轮之所以有摩擦力是因为有驱动力矩L，如果没有驱动力矩L，汽车甚至连运动趋势也没有，更无摩擦力可谈，汽车哪能产生加速度？因此汽车产生加速度的根本原因是发动机所施的驱动力矩L。 （2） 汽车作功的作用力
汽车从低速到高速，动能增加需要牵引力对它作
功。从能量转化的角度看，汽车总动能的增加是其它能量转化给汽车，水平道路虽然给车轮以摩擦力，但却无能量转化给汽车，只有发动机通过消耗汽油变化学能为汽车的动能。从质点系的动能定理
dT=∑dAi＋∑dAi
看，汽车的动能增量等于汽车的内力和外力做功之和。这里汽车外力只有水平方向的摩擦力，在竖直方向上合力为零。因车轮做无滑动的滚动，车轮与地面的接触点A、B为转动瞬心。即A、B点的速度VA=VB=0，汽车所受摩擦力为静摩擦力，故这里摩擦力对汽车不做功，只有内力对汽车做功。
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内外
（3）牵引力的本质
既然摩擦力对汽车不做功，又要求回答牵引力做功的问题，显然牵引力就是摩擦力的说法是不对的；如果把牵引力看成内力，但在回答牵引力对汽车产生加速度的问题时，内力又不能产生加速度，只有摩擦力才产生加速度，这里是个矛盾。
因此，要回答牵引力到底是什么，必须从它实际产生的加速度和做功两个效果来分析，那么牵引力就是使用权汽车产生加速度和对汽车做功的等效力。它是内力和外力的综合作用于效果，它既包含内力也包含外力，不应该考虑成非此即彼的关系，牵引力具有内力和摩擦力的双重性。汽车产生加速度的直接原因是摩擦力，但根本原因是内力。没有发动机内力提供力矩就产生不了摩擦力，也就无加速度 ；反过来只有驱动力矩，地面不足以提供摩擦力，（如因摩擦系数过小），汽车就打滑，不能把内力全部转变成产生汽车加速度的力。同样，对汽车动能变化来说，虽然摩擦力不做功，但它能帮助在内力作用下的车轮滚动前进，使内力对车身做功，如果摩擦力不足，车轮打滑，只能使轮子转速提高，不能使汽车整体动能增加。综上所述，产生汽车牵引力的内因是发动机所施的内力，外因是地面对汽车的摩擦力，这两个因素的共同作用才有了牵引力，汽车的内力
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通过摩擦力起作用，使汽车加速和增加动能，这就是牵引力的本质。没有内力作用就没有摩擦力，也就没有牵引力；有内力作用，没有摩擦力或只有较小的摩擦力，也不会有牵引力或只有较小的牵引力。
所以，牵引力作为一种等效力，它的大小应从它的作用效果来看：当考虑加速度时，内力不起作用，牵引力就等于摩擦力，即
F牵=f后－f前=Ma
当考虑作功时，摩擦力不起作用，牵引力等于内力，即
F牵=F内（把汽车做功的内力等效为F内）
F内.S= mV2／2－MV1／2 由于 V2－V1 =2aS 所以 F内.S=MaS
再根据 Ma= f后－f前
得 F牵=F内 = f后－f前
参考文献：
1．高等教育出版社漆安慎、杜婵英编的<<力学基础>> 2．中学物理2000年第12期<<浅谈摩擦力做功>> 3．物理教师1998年第1期<<牵引力与摩擦力的关系>> 4．中学物理教学参考1997年第八期<<动摩擦因数是
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22
常量吗>>
5．物理教师2000第七期<<关于摩擦力的几个问题>>
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