城固县第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

1． 在等比数列{an}中，已知a1=3，公比q=2，则a2和a8的等比中项为（ ） A．48

B．±48 C．96

D．±96

2． 已知集合A，B，C中，A⊆B，A⊆C，若B={0，1，2，3}，C={0，2，4}，则A的子集最多有（ ） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个

3． 特称命题“∃x∈R，使x2+1＜0”的否定可以写成（ ） A．若x∉R，则x2+1≥0

B．∃x∉R，x2+1≥0

C．∀x∈R，x2+1＜0 D．∀x∈R，x2+1≥0

4． 己知y=ff=x+2， （x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，（x）那么不等式2f（x）﹣1＜0的解集是（ ）A．C．

B． D．

或

或

5． 某班级有6名同学去报名参加校学生会的4项社团活动，若甲、乙两位同学不参加同一社团，每个社团都有人参加，每人只参加一个社团，则不同的报名方案数为（ ） A．4320 B．2400 C．2160 D．1320

6． 命题“∃x∈R，使得x2＜1”的否定是（ ） A．∀x∈R，都有x2＜1

B．∃x∈R，使得x2＞1

C．∃x∈R，使得x2≥1 D．∀x∈R，都有x≤﹣1或x≥1

227． 若，b0,1，则不等式ab1成立的概率为（ ） A．

 B． C． D． 1612848． 已知函数f(x)3x22axa2，其中a(0,3]，f(x)0对任意的x1,1都成立，在1

和两数间插入2015个数，使之与1，构成等比数列，设插入的这2015个数的成绩为T，则T（ ） A．22015 B．3B．﹣3＜a＜6

2015 C．3

C．a＜﹣3或a＞6

20152

D．2

20152

9． 已知函数y=x3+ax2+（a+6）x﹣1有极大值和极小值，则a的取值范围是（ ） A．﹣1＜a＜2

xD．a＜﹣1或a＞2

10．下列函数中，定义域是R且为增函数的是（ ）

A.ye B.yx C.ylnx D.yx 11．已知是虚数单位，若复数3i(ai)（aR）的实部与虚部相等，则a（ ）

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A．1 B．2 C． D． 12．下列函数中哪个与函数y=x相等（ ） A．y=（

2）

B．y=

C．y=

D．y=

二、填空题

13．设复数z满足z（2﹣3i）=6+4i（i为虚数单位），则z的模为 ． 14．已知向量a(1,x),b(1,x1),若(a2b)a，则|a2b|（ ） A．2 B．3 C．2 D．5 【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识，意在考查转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力． 15．设x，y满足约束条件

，则目标函数z=2x﹣3y的最小值是 ．

1sincos，(0,)，则的值为 ．

73sin1217．若函数f(x)alnxx在区间(1,2)上单调递增，则实数的取值范围是__________.

16．已知sincos18．已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值 ．

三、解答题

19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上． （1）求证：平面AEC⊥平面PDB； （2）当PD=

AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．

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20．已知数列{an}满足a1=，an+1=an+（Ⅰ）

＜

；

**

（n∈N）．证明：对一切n∈N，有

（Ⅱ）0＜an＜1．

21．已知圆C经过点A（﹣2，0），B（0，2），且圆心在直线y=x上，且，又直线l：y=kx+1与圆C相交于P、Q两点．

（Ⅰ）求圆C的方程； （Ⅱ）若，求实数k的值； （Ⅲ）过点（0，1）作直线l1与l垂直，且直线l1与圆C交于M、N两点，求四边形PMQN面积的最大值．

22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C的参数方程为x2cosysin（为参数），过点P(1,0)的直线交曲线C于A、B两点.

（1）将曲线C的参数方程化为普通方程； （2）求|PA||PB|的最值.

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23．在ABC中已知2abc，sinAsinBsinC，试判断ABC的形状.

24．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=an﹣，数列{bn}中，b1=1，点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2=0上．

（1）求数列{an}，{bn}的通项an和bn； （2）设cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和Tn．

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城固县第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】B

【解析】解：∵在等比数列{an}中，a1=3，公比q=2， ∴a2=3×2=6，

=384，

∴a2和a8的等比中项为故选：B．

2． 【答案】B

【解析】解：因为B={0，1，2，3}，C={0，2，4}，且A⊆B，A⊆C； ∴A⊆B∩C={0，2}

∴集合A可能为{0，2}，即最多有2个元素， 故最多有4个子集．

故选：B．

3． 【答案】D

2

【解析】解：∵命题“∃x∈R，使x+1＜0”是特称命题

2

∴否定命题为：∀x∈R，都有x+1≥0．

=±48．

故选D．

4． 【答案】B

【解析】解：因为y=f（x）为奇函数，所以当x＞0时，﹣x＜0， 根据题意得：f（﹣x）=﹣f（x）=﹣x+2，即f（x）=x﹣2， 当x＜0时，f（x）=x+2，

代入所求不等式得：2（x+2）﹣1＜0，即2x＜﹣3， 解得x＜﹣，则原不等式的解集为x＜﹣； 当x≥0时，f（x）=x﹣2，

代入所求的不等式得：2（x﹣2）﹣1＜0，即2x＜5， 解得x＜，则原不等式的解集为0≤x＜， 综上，所求不等式的解集为{x|x＜﹣或0≤x＜}．

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故选B

5． 【答案】D

【解析】解：依题意，6名同学可分两组：第一组（1，1，1，3），利用间接法，有第二组（1，1，2，2），利用间接法，有（根据分类计数原理，可得388+932=1320种， 故选D．

【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查分类讨论思想与转化思想，考查理解与运算能力，属于中档题．

6． 【答案】D 故选：D．

﹣

）•

=932

•

=388，

【解析】解：命题是特称命题，则命题的否定是∀x∈R，都有x≤﹣1或x≥1， 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．

7． 【答案】D 【

解

析】

考点：几何概型． 8． 【答案】C 【解析】

22试题分析：因为函数f(x)3x2axa，f(x)0对任意的x1,1都成立，所以

f10，解得

f102015a3或a1，又因为a(0,3]，所以a3，在和两数间插入a1,a2...a2015共2015个数，使之与，构成等

2Ta1a2...a2015，比数列，两式相乘，根据等比数列的性质得Ta1a2015Ta2015a2...a1，

132015，

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T3

20152

，故选C.

考点：1、不等式恒成立问题；2、等比数列的性质及倒序相乘的应用. 9． 【答案】C

32

【解析】解：由于f（x）=x+ax+（a+6）x﹣1，

2

有f′（x）=3x+2ax+（a+6）．

若f（x）有极大值和极小值，

2

则△=4a﹣12（a+6）＞0，

从而有a＞6或a＜﹣3， 故选：C．

【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件．属基础题．

10．【答案】B 【解析】

试题分析：对于A，yex为增函数，yx为减函数，故yex为减函数，对于B，y'3x20，故yx3在0,上单调递增，故选B. 11．【答案】A

为增函数，对于C，函数定义域为x0，不为R，对于D，函数yx为偶函数，在,0上单调递减，考点：1、函数的定义域；2、函数的单调性.

考

点：复数运算．

12．【答案】B

【解析】解：A．函数的定义域为{x|x≥0}，两个函数的定义域不同． C．函数的定义域为R，y=|x|，对应关系不一致． D．函数的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不同． 故选B．

B．函数的定义域为R，两个函数的定义域和对应关系相同，是同一函数．

【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准是判断函数的定义域和对应关系是否一致，否则不是同一函数．

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析

】

二、填空题

13．【答案】 2 ．

【解析】解：∵复数z满足z（2﹣3i）=6+4i（i为虚数单位）， ∴z=

，∴|z|=

解=

=2，

故答案为：2． 模，属于基础题．

14．【答案】A 【

【点评】本题主要考查复数的模的定义，复数求模的方法，利用了两个复数商的模等于被除数的模除以除数的

15．【答案】 ﹣6 ．

【解析】解：由约束条件

，得可行域如图，

使目标函数z=2x﹣3y取得最小值的最优解为A（3，4）， ∴目标函数z=2x﹣3y的最小值为z=2×3﹣3×4=﹣6． 故答案为：﹣6．

16．【答案】【解析】

17(62)

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sin267, sinsincoscossin41243434317sincos1747326sin1217．【答案】a2 【解析】

623, 故答案为

17(62).

3考点：1、同角三角函数之间的关系；2、两角和的正弦公式.

试题分析：因为f(x)alnxx在区间(1,2)上单调递增，所以x(1,2)时，f'xa10恒成立，即xax恒成立，可得a2，故答案为a2.1

考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题. 18．【答案】 5

半径为3， 即：故答案为：5

﹣4．

﹣4 ．

【解析】解：如图，圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），

﹣4=5

﹣4．

|PM|+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，

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【点评】本题考查圆的对称圆的方程的求法，考查两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力，考查数形结合的数学思想，属于中档题．

三、解答题

19．【答案】

，

【解析】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD， ∵PD⊥底面ABCD，

∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB， ∴平面AEC⊥平面PDB．

（Ⅱ）解：设AC∩BD=O，连接OE， 由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O， ∴∠AEO为AE与平面PDB所的角， ∴O，E分别为DB、PB的中点， ∴OE∥PD，

，

又∵PD⊥底面ABCD， ∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO， 在Rt△AOE中，

∴∠AEO=45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°．

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【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．

20．【答案】

【解析】证明：（Ⅰ）∵数列{an}满足a1=，an+1=an+∴an＞0，an+1=an+∴

*

∴对一切n∈N，

（n∈N），

*

＞0（n∈N），an+1﹣an=

*

＞0，

， ＜

*

．

＜

，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对一切k∈N，∴

∴当n≥2时， =＞3﹣[1+=3﹣[1+=3﹣（1+1﹣=

，

，

*

，

] ]

）

∴an＜1，又

∴对一切n∈N，0＜an＜1．

【点评】本题考查不等式的证明，是中档题，解题时要注意裂项求和法和放缩法的合理运用，注意不等式性质的灵活运用．

21．【答案】

【解析】

【分析】（I）设圆心C（a，a），半径为r，利用|AC|=|BC|=r，建立方程，从而可求圆C的方程；

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（II）方法一：利用向量的数量积公式，求得∠POQ=120°，计算圆心到直线l：kx﹣y+1=0的距离，即可求得实数k的值；

方法二：设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线方程代入圆的方程，利用韦达定理及=x1•x2+y1•y2=，即可求得k的值；

（III）方法一：设圆心O到直线l，l1的距离分别为d，d1，求得，根据垂径定理和勾股定理得到，

，再利用基本不等式，可求四边形PMQN面积的最大值；

方法二：当直线l的斜率k=0时，则l1的斜率不存在，可求面积S；当直线l的斜率k≠0时，设则

2

2

，

，代入消元得（1+k）x+2kx﹣3=0，求得|PQ|，|MN|，再利用基本不等式，可求四边形PMQN

面积的最大值．

【解答】解：（I）设圆心C（a，a），半径为r．

因为圆经过点A（﹣2，0），B（0，2），所以|AC|=|BC|=r， 所以 解得a=0，r=2，…（2分）

22

所以圆C的方程是x+y=4．…（4分） （II）方法一：因为所以

，∠POQ=120°，…（7分）

，…（6分）

所以圆心到直线l：kx﹣y+1=0的距离d=1，…（8分） 又

，所以k=0．…（9分）

方法二：设P（x1，y1），Q（x2，y2）， 因为

，代入消元得（1+k）x+2kx﹣3=0．…（6分）

2

2

由题意得：…（7分）

因为又

=x1•x2+y1•y2=﹣2，

，

，…（8分）

2

所以x1•x2+y1•y2=

2

化简得：﹣5k﹣3+3（k+1）=0，

2

所以k=0，即k=0．…（9分）

（III）方法一：设圆心O到直线l，l1的距离分别为d，d1，四边形PMQN的面积为S． 因为直线l，l1都经过点（0，1），且l⊥l1，根据勾股定理，有，…（10分）

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又根据垂径定理和勾股定理得到，而

，即

，…（11分）

…（13分）

当且仅当d1=d时，等号成立，所以S的最大值为7．…（14分） 方法二：设四边形PMQN的面积为S．

当直线l的斜率k=0时，则l1的斜率不存在，此时当直线l的斜率k≠0时，设则所以

2

2

．…（10分）

，代入消元得（1+k）x+2kx﹣3=0

同理得到．…（11分）

=…（12分）

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因为所以

， ，…（13分）

当且仅当k=±1时，等号成立，所以S的最大值为7．…（14分）

1x2y21.（2）|PA||PB|的最大值为，最小值为. 22．【答案】（1）

22【解析】

试

x2cosC题解析：解：（1）曲线的参数方程为（为参数），消去参数

ysinx2y21 （3分） 得曲线C的普通方程为2x1tcosx1tcosx2y21 （2）由题意知，直线的参数方程为（为参数），将代入2ytsinytsin得(cos22sin2)t22tcos10 （6分）

111[,1]. 设A,B对应的参数分别为t1,t2，则|PA||PB||t1t2|cos22sin21sin221∴|PA||PB|的最大值为，最小值为. （10分）

2考点：参数方程化成普通方程． 23．【答案】ABC为等边三角形． 【解析】

试题分析：由sinAsinBsinC，根据正弦定理得出abc，在结合2abc，可推理得到abc，即可可判定三角形的形状．

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考点：正弦定理；三角形形状的判定． 24．【答案】

【解析】解：（1）∵Sn=an﹣， ∴当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=an﹣﹣即an=3an﹣1，． ∵a1=S1=

﹣，∴a1=3．

，

n

∴数列{an}是等比数列，∴an=3．

∵点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2=0上， ∴bn+1﹣bn=2，

即数列{bn}是等差数列，又b1=1，∴bn=2n﹣1．

n

（2）∵cn=an•bn=（2n﹣1）•3，

23n1n

∵Tn=1×3+3×3+5×3+…+（2n﹣3）3﹣+（2n﹣1）3， 234nn+1

∴3Tn=1×3+3×3+5×3+…+（2n﹣3）3+（2n﹣1）3， 234nn+1

两式相减得：﹣2Tn=3+2×（3+3+3+…+3）﹣（2n﹣1）3，

=﹣6﹣2（n﹣1）3n+1， ∴Tn=3+（n﹣1）3

n+1

．

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