高中数学选修1-2第三章章末检测(A)

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章末检测 (A)

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子的颜色应该是( )

A．白色

B．黑色

D．黑色可能性大

C．白色可能性大

底×高

2．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式：S＝，可推知扇形2面积公式S扇等于( )

r2A. 2lrC. 2

l2B. 2

D．不可类比

3．设凸n边形的内角和为f(n)，则f(n＋1)－f(n)等于( ) A．nπ C．π

B．(n－2)π D．2π

4．观察下列数表规律

则从数2 010到2 011的箭头方向是( )

↑

A.2 010→ ↑

B．→2 010

↓

C.2 010→

D．→2 010 ↓

5．对于定义在数集R上的函数f(x)，如果存在实数x0，使f(x0)＝x0，则x0叫函数f(x)的一个不动点．已知f(x)＝x2＋2ax＋1不存在不动点，那么a的取值范围是( )

13

－， A.2213C.2，2 6．已知p＝a＋A．p>q C．p≥q

31

－，－ B.2231－， D.221

(a>2)，q＝2－a2＋4a－2 (a>2)，则( ) a－2

B．p7．有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现进行如下分组：

第1组含有一个数{1}；第2组含两个数{3,5}；第3组含三个数{7,9,11}；…试观察每组内各数之和为(用其组的编号数n来表示)( )

A．n2

B．n3

C．n4

D．n(n＋1)

8．已知c>1，a＝c＋1－c，b＝c－c－1，则正确的结论是( ) A．a>b C．a＝b

B．a9．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于( )

15

A. 233

C. 4

31B. 417D. 2

10．平面内原有k条直线，它们的交点个数记为f(k)，则增加了一条直线后，它们的交点个数最多为( )

A．f(k)＋k

B．f(k)＋1 D．k·f(k)

C．f(k)＋k＋1

11．函数f(x)是[－1,1]上的减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是( )

A．f(sin α)>f(cos β) C．f(cos α)>f(sin β)

B．f(cos α)f(sin β)

12．已知△ABC中，cos A＋cos B>0，则必有( ) A．0πB．0π

C.π

D.≤A＋B<π 2

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．观察：7＋15<211；5.5＋16.5<211；3－3＋19＋3<211；….对于任意正实数a，b，试写出使a＋b≤211成立的一个条件可以是__________．

－1n1

14．若不等式(－1)a<2＋对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是

n

＋

n

________．

15．由“等腰三角形的两底角相等，两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是__________________________________________________．

16．将“函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使f(c)>0”反设，所得命题为“________________________”．

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)已知a、b、c是不等正数，且abc＝1， 111

求证：a＋b＋c<＋＋.

abc

18．(12分)把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立． (1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交； (2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．

x1＋x2x1－x219.(12分)已知函数f(x)(x∈R)，对于任意x1、x2∈R，等式f(x1)＋f(x2)＝2f()·f()

22恒成立，但f(x)不恒为0，求证：f(x)是偶函数．

111

20．(12分)已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋(＋＋)2≥63，并确定a，b，

abcc为何值时，等号成立．

21.(12分)先解答(1)，再通过类比解答(2) π1＋tan xx＋＝(1)求证：tan41－tan x；

1＋fx

(2)设x∈R且f(x＋1)＝，试问f(x)是周期函数吗？证明你的结论．

1－fx

22．(12分)等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋2，S3＝9＋32. (1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；

Sn(2)设bn＝ (n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

n

第三章 推理与证明(A)

答案

1．A [由图知：三白二黑周而复始相继排列，因36÷5＝7余1，所以第36颗应与第1颗珠子的颜色相同，即为白色．]

2．C [由扇形的弧与半径类比于三角形的底边与高可知选C.]

3．C [作凸(n＋1)边形的一条对角线，使之成为一个凸n边形和一个三角形．] 4．A

5．A [因为f(x)＝x2＋2ax＋1不存在不动点，所以f(x)＝x无实根．由x2＋2ax＋1＝x13

得x2＋(2a－1)x＋1＝0，此方程若无实根，则Δ＝(2a－1)2－4<0，解得－22

11

6．A [∵p＝a＋＝a－2＋＋2≥4，

a－2a－2q＝2－a2＋4a－2＝2－(a－2)2＋2<4 (a>2)，∴p>q.]

7．B [前三组数分别求和得1,8,27，即13,23,33，所以猜想第n组数的和为n3.]

8．B [∵a＝c＋1－c＝b＝c－c－1＝1c＋c－1

1

，

c＋1＋c，又∵c>1，

∴c＋1＋c>c＋c－1>0， ∴

11

<.即ac＋1＋cc＋c－1

9．B [∵{an}是由正数组成的等比数列，且a2a4＝1， ∴设{an}的公比为q，则q>0，且a23＝1，即a3＝1. 11

∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝2＋＋1＝7，

qq即6q2－q－1＝0.

111

故q＝或q＝－(舍去)，∴a1＝2＝4.

23q141－5

2131

∴S5＝＝8(1－5)＝.故选B.]

1241－2

10．A [增加一条直线后，最多和原来的k条直线都相交，有k个交点，所以交点个数最多为f(k)＋k.]

11．C [因为α、β是锐角三角形的两个内角， πππ

所以α＋β>，所以>α>－β>0，

222π

所以cos α而cos α∈(0,1)，sin β∈(0,1)，f(x)在[－1,1]上是减函数，故f(cos α)>f(sin β)．] 12．A [由cos A＋cos B>0得cos A>－cos B， ∴cos A>cos(π－B)， ∵0且y＝cos x在x∈(0，π)上单调递减． ∴A<π－B，∴A＋B<π，即0解析 ∵7＋15＝22,5.5＋16.5＝22,3－3＋19＋3＝22，∴猜测a＋b＝22. 314．－2≤a<

2

1

解析 当n为偶数时，a<2－，

n1133而2－≥2－＝，∴a<. n222

1

当n为奇数时，a>－2－，

n1

而－2－<－2，∴a≥－2.

n3

综上可得－2≤a<.

2

15．正棱锥各侧面与底面所成二面角相等，各侧面都是全等的三角形或各侧棱相等 16．函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上恒小于等于0 17．证明 ∵a、b、c是不等正数，且abc＝1， ∴a＋b＋c＝111111＋＋＋bccaab<＋＋ 222111＝＋＋. abc

111

故a＋b＋c<＋＋. abc

18．解 (1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交． 结论是正确的：证明如下： 设α∥β，且γ∩α＝a，

则必有γ∩β＝b，若γ与β不相交，则必有γ∥β， 又α∥β，∴α∥γ，与γ∩α＝a矛盾， ∴必有γ∩β＝b.

(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行，结论是错误的，这两个平面也可能相交．

19．证明 方法一 (分析法)要证f(x)是偶函数，只需证对于任意x∈R，都有f(－x)＝f(x)．

x1＋x2x1－x2由f(x1)＋f(x2)＝2f()·f()

22得f(－x)＋f(x)＝2f(0)·f(－x)， 欲证f(－x)＝f(x)， 需先证f(0)＝1.

由f(x)不恒为0，即存在一个x0使f(x0)≠0， 从而f(x0)＋f(x0)＝2f(x0)·f(0)， 由2f(x0)＝2f(x0)·f(0)．

因为f(x0)≠0，所以f(0)＝1，命题得证． 方法二 (综合法)设x0∈R，f(x0)≠0，

1＋bc

1＋ca

1 ab

则f(x0)＋f(x0)＝2f(x0)·f(0)， 即2f(x0)＝2f(x0)·f(0)． 因为f(x0)≠0，所以f(0)＝1.

对于任意x∈R，有f(x)＋f(－x)＝2f(0)·f(x)， 所以f(x)＋f(－x)＝2f(x)， 所以f(－x)＝f(x)． 因此，函数f(x)为偶函数．

20．证明 因为a，b，c均为正数，由基本不等式得 a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac. 所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac. 111111

同理2＋2＋2≥＋＋，

abcabbcac111

故a2＋b2＋c2＋(＋＋)2

abc

333

≥ab＋bc＋ac＋＋＋≥63. ③

abbcac所以原不等式成立．

当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立．

1

故当且仅当a＝b＝c＝3时，原不等式等号成立．

4π4π

x＋＝21．(1)证明 tan 4π

1－tan xtan

4

tan x＋tan

＝

1＋tan x

；

1－tan x

① ②

(2)解 f(x)是以4为一个周期的周期函数． 证明如下：

1＋fx＋1

∵f(x＋2)＝f((x＋1)＋1)＝ 1－fx＋11＋fx1＋

1－fx1＝＝－，

1＋fxfx1－

1－fx∴f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－∴f(x)是周期函数．

22．(1)解 由已知得{a1＝2＋1，3a1＋3d＝9＋32，

1

＝f(x)， fx＋2

∴d＝2，故an＝2n－1＋2，Sn＝n(n＋2)． Sn(2)证明 由(1)得bn＝＝n＋2.

n

假设数列{bn}中存在三项bp、bq、br (p、q、r∈N*且互不相等)成等比数列，则b2 q＝bpbr，即(q＋2)2＝(p＋2)(r＋2)， ∴(q2－pr)＋2(2q－p－r)＝0.

2

∵p、q、r∈N*，∴{q－pr＝0，2q－p－r＝0，

∴

p＋r2

＝pr，(p－r)2＝0，

2

∴p＝r，这与p≠r矛盾．

∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．