不断探寻“数学味”课堂

何为有“数学味”的课堂？如何构建有“数学味”的课堂？且看周老师给出的回答。 周卫东

数学学科的本质，亦即“数学味”。“数学本质属性的总和构成了数学内涵”，因而，“数学味”课堂就是有数学内涵的课堂。

数学是一个多元复合体，其内涵包含理论、方法、问题和符号语言。最古老的数学产生于日常生活、生产中的计数和测量，经过千百年的演绎、抽象、扩展，形成了一套经验知识，构成了一定的理论体系，如算术、几何、代数、三角等。所以，这些理论显然是数学的重要内涵。当然，其中逐步累积起来的演绎证明、类比归纳、计算、发现等方法也应该看成是数学的重要内涵。理论、问题、方法和数学符号都具有普遍意义，而这一切具有广泛的“模式”的内蕴。“数学味”就像一条河流，但探不到源头，也找不到尽头，因为数学和人类文明一样古老，是人类生存亘古久远的话题。

看过汪宇先生所撰写的《西方文化中的数学》一书，他在书的首页写道：“我们对数学的理解悖逆数学的本质到了多么严重的程度。功利实用倾向和计算技能崇拜遮蔽了数学的本质精神，因此，国民的科学精神和基本的思维能力依然令人失望。我们可以成规模地制造战无不胜的奥赛选手，可是数学能力捉襟见肘。”日本数学教育家米山国藏在从事多年的数学教育研究之后，说过这样一段话：“学生们在学校所学到的数学知识，在进入社会后，几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的数学，通常在出校门后不到一两年就忘掉了。然而不管他们从事什么职业，那种铭刻于头脑中的数学精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和着眼点等，都随时地发生作用，使他们受益终身。”上述论断中的“科学精神和基本的思维能力”“数学精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和着眼点等”，都应是数学本质，都类属于“数学内涵”的范畴。因此，我们的数学课应该体现出浓浓的“数学”的味道。没有“数学味”的数学课，就不能称其为数学课，至少不能算是一节好的数学课。 在《义务教育数学课程标准》（2011年版）全面实施的今天，倘若我们在课堂教学中注重数学知识的揭示，不仅教给学生数学知识，而且能揭示知识的发生过程，揭示解题方法和规律的抽象概括过程，让学生较为深入地领悟数学的内涵，一定能促进学生数学素养的全面提升。然而，要做到有“数学味”，不是一种简单的技巧，它不像“泡汤”一样，只要把“数学”放到汤碗里搅拌一下，就会出现“数学”的味道。我们应该对数学学科的内涵进行系统思考，并进行“智慧加工”，使之逐渐弥漫出“数学”的芳香，从而润泽学生的数学素养。 一、融进课标，浸入教材，找寻“数学昧”的配方

从教材的构成体系来看，数学教材由两条“河流”组成：具体知识构成的、易于被发现的“明河流”和数学内涵构成的、具有潜在价值的“暗河流”，它们是骨架与血脉的关系。有了数学内涵作灵魂，各种具体的数学知识才不成为孤立的、零散的东西。正因为有了数学内涵，“游离”状态的知识才会凝结成优化的知识结构，形成一个有机的整体。我们只有做到“看书要看到底，书要看透，要看到书背面的东西”（苏步青），充分挖掘教材中的灵魂——数学内涵，用数学内涵引领我们的课堂教学，才能高屋建瓴，提契整个知识体系，进行再创造、再建构。

比如，人教版《数学》一年级上册“1-5的认识”，教材首先提供了一幅参观动物园的主题图，然后利用集合思想来描述主题图中的1、2、3、4、5，引导学生正确建立1-5各数的概念。教材蕴含着从不同的角度对数进行抽象的数学思想：第一个集合是一头完整的大象；

第二个集合虽然也是完整的两只河马，但是一大一小，这说明计算物体个数不考虑物体的大小；第三个集合已经不是完整的小鹿而是三只小鹿的头，这说明，在确定一个集合的元素有多少时，不需要用完整的物体来表示，可以用物体的一个部分来表示，但这一部分必须是和其代表的物体存在一一对应的关系；第四个集合表示的不再是地上的物体，而是天上飘浮的云，这说明对数的抽象无处不在，世界上到处充满着数；第五个集合是四个学生和一个老师的头像，表明元素的多少与物体的属性没有关系。只有意识到这些“内涵”，我们的教学才能走得更远，才能更具生长力。

从教学层次设计分析，数学课堂教学设计分为宏观设计、微观设计和情境设计，我们的教学设计应从这三个层面进行充分分析、思考。无论哪个层次上的设计，其目的都是为了让学生“参与”到获得和发展认知的数学活动过程中去。因此，教学设计不能只停留在数学认识过程中的“还原”，更应该有数学内涵的飞跃和创造。

以图形与几何领域中“位置”内容的安排为例。这部分内容主要包括二年级用“第几排第几个”等方式描述物体的位置，五年级用“数对”表示方格图上点的位置，以及六年级用“方向和距离”表示平面图上点的位置。上述内容中所蕴含的数学内涵主线是“依据小学生的年龄特点和认知水平，让他们逐步感知数与平面图形上点的关系，培养符号意识，体会数形结合的基本方法和价值”。其中，用“第几排第几个”等方式描述物体的位置，主要着眼于学生已有的生活经验；用“有序数对”表示方格图上点的位置，则是对生活经验的提炼，也是对感性认识的提升；用“方向和距离”确定平面图上点的位置，其基本思想与用“数对”表示点的位置是类似的，但它引导学生从不同角度丰富对相关数学内涵的认识。因此，这就需要我们搞清楚不同内容应概括怎样的共性，相似内容应该区别怎样的个性。而要顺利地完成这一任务，必须依靠数学内涵作为核心指导，有了深刻的数学内涵作指导，才能设计出智慧灵动的教学思路，才能引发学生创造性的思维活动。 二、关注过程，强化思维，品尝“数学昧”的芳香

数学的内涵往往呈隐蔽形式，积沉、凝聚在数学结论的背后，常常渗透在学生获得知识和解决问题的过程中。著名数学教育家波利亚认为：“学习任何知识的最佳途径，都是由自己去发现、探究，因为这种理解最深刻，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系。”我们应该有效地引导学生经历知识形成的过程，让学生在观察、实验、分析、抽象、概括的过程中，积累数学活动经验，提升数学思考的能力。只有如此，学生所掌握的知识才是鲜活的，这样的学习才是充满智慧的学习。我们应该引导学生在经历数学学习的过程中去感受和理解数学内涵，促使学生对数学知识的理解达到领悟的水平。

比如，在人教版《数学》五年级上册“位置”一课的教学中，我努力使学生获得有价值的思维空间，体验到数学思考的价值魅力。 在学生掌握用数对描述位置的基本方法后，我创设了这样的问题，引发学生的数学思考：

在得出小明现在所在的位置是(7，4)之后

师：小明在运动之前的位置是(3，4)，现在的位置是(7，4)，你能看出这两个数对之间的联系吗？

生：我看出这两个数对的后一个数都是4。 生：后一个数之所以没有变化，是因为他运动的前后都在同一行，所以后一个数都是4。 生：我看出前一个数由3变成了7，是因为他向东走了4格。 生：用3加上4就是7了。

师：不简单！假如小明向东走了20格，他的位置是多少？如果向东走了50格，位置又是多少呢？

生：向东走了20格后的位置是(23，4)，向东走了50格后的位置是(53，4)。

师：现在告诉你小明运动后的位置是(3，20)，你知道他是怎么走的吗？ 生：我认为小明是向北走的。

生：我同意他的意见，而且是走了16格。

师：看得出，同学们对方格图上点的位置变化已经掌握得比较清晰了。咱们的思考不妨再深入一点，以(3，4)为例，你是怎么找到这个点的？

师：你认为哪几根线可以决定这个点的位置？（学生分别指出表示第3列的直线和表示第4行的直线）

师：咱们的思考不妨再深入一点，这两根线又是由哪些线决定的呢？（学生感到问题很有意思，非常兴奋）

经过短暂思考，有学生指向最左边和最下面的两条线。

师：其实，有了这两条线，也就能决定图中任何一点的位置。没想到，我这一带，竞带出了一群“中学生”，这一知识咱们在中学的学习中将要进一步研究。 在此片断中，我采取数形结合的方式，抓住运动前后数对的变化，引导学生分析、对比、想象、概括，得出了数对的变化规律，有机地训练了学生观察、对比、抽象、概括等多元的数学能力。教师让学生在方格图中找点，体会到找点的方法，再通过“是怎样的线条决定了方格图中点的位置”，感悟纵横交叉两条线的作用，进而推衍横轴和纵轴在确定位置中的作用，进一步渗透了坐标思想。课上我随口一句“这一带，竞带出了一群‘中学生”’，润物无声的思想渗透，让学生在感受符号体系的过程中恰当地生成和渗透相应的数学价值，帮助学生建立起大数学的宏观视野。

三、触及思想，有机渗透，探问“数学昧”的精髓 “在一切方法的背后，如果没有一种生气勃勃的精神，它们到头来，不过是笨拙的工具。”这里的精神指的就是数学思想。从哲学角度来看，“思想”即“观念”，即社会存在于意识中的反映。而所谓数学思想，是人们对数学研究统一的本质性认识，是现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，是被人们反复运用和确认的、带有普遍意义且相对稳定的特征，它直接支配着数学的实践活动，是对数学规律的理陛认识。由此看来，数学思想是数学内涵的核心，它决定了数学的经验基础、思考核心、发展目标。 从宏观角度看，小学数学思想按研究层次的不同大致可分为以下几类：一为哲学的（包括逻辑的）思想，如分析法、综合法、演绎法、归纳法、类比法等；二为科学的思想，如试验法、图表法、假设法等；三为数学的思想，如化归法、递推法、列举筛选法等。第一类应当是整个数学教学的主线，是最上位的思想，但在具体的问题中，会涉及到数学抽象、数学模型、等量替换、数形结合等数学思想。

数学思想的形成同样有一个循序渐进的过程。只有经过理解、应用、促疑、释疑，才能使学生真正领会，形成自觉运用数学思想的意识，建立起学生自我的“数学思想系统”。 比如，教学“三角形三边关系”，在学生已经初步掌握了“两边之和大于第三边”这一规律后，教者设计了这样一个问题来驱动学习的思维向思想层面“跃升”。

师：有两根小棒，一根长7厘米，另一根长9厘米，可以把其中一根小棒剪成两段，用拼的方法，你能将它围成一个三角形吗？

生：老师，不可以把短棒剪成两根，因为“两边之和大于第三边”是指较短的两边之和应该大于第三边，只能把长的小棒剪成两段。

生：老师，我把长的小棒分成了4和5，3和6，2和7，1和8。

生：老师，他说错了，不可以分成1和8。这样分的话，两条短边是1和7，长边是8，两边之和等于第三边了。

师：了不起，不仅找出了答案，而且还洞察到其中的细微之处。相信同学们对今天所学

的规律理解更为透彻了！

师：让我们把这几种情况画下来，可以吗？（如右图）

师：除了这几种情况外，还有其他可能吗？ 生（迟疑地）：老师，剪开的两条边的长度可以是小数吗？ 师：明白他的意思吗？能不能举一些例子？ 生：比如，9可以分成4.1和4.9，3.1和5.9。 生：9可以分成2.1和6.9，1.1和7.9。 生：9可以分成2.12和6.88，1.16和7.84。 师：这些都可以拼成三角形吗？ 生：可以！

生：这些都能满足“两边之和大于第三边”的条件。 师：太好了，你认为一共有多少种可能呢？ 生：无数种。

师：让我们把这些可能也用图表示出来。（如右图）想象一下，如果把这些点都描出来，这幅图像什么？

生：像鸟巢。

生：像国家大剧院。

“无限这一主题不应被看成与小学数学完全无关的，如何能够通过有关的内容帮助学生建立起关于无限的一些认识，就是小学数学的重要目标。”（郑毓信）在上述教学中，三角形三边之间的关系在多种可能性中不断地被强化，被“结构”化，由边的长度（整数、一位小数、两位小数甚至更多位小数）可能性的拓展，在学生的头脑中渐次形成一个“无数”点的集合，这不就是“极限思想”的有机渗透吗？不仅如此，两条不断变化着的短边与固定的长边之间，形成了一个a+b >c（其中a<c，b<c）的不等式关系，不也正好渗透了函数思想吗？

四、纵横贯通，有机融合，调节“数学味”的温度 与“数学化”相对的是“生活化”。数学要不要“生活化”？回答是肯定的！数学走向生活，这是教育的诉求，纯粹例题式的教学起点，对于儿童来说，不具有可攀性。于是，我们需要各种生活情境，需要借取现实素材。

但在这个过程中，我们不能遗漏一点：即使最简单的数学，也是抽象的产物。有人问得好：你见过纯粹的三角形而不是三角形物体吗？你见过没有大小的点，没有粗细的线吗？你说出的那些数字，又在哪儿真实地看见过？所有这一切，都是从现实原型中提取出的“理想化”的思维产物。

从现实原型中提取出“理想化”思维产物的过程，就是“数学化”的过程。“数学味”与“数学化”是密不可分的。

“数学化”是荷兰数学教育家弗赖登塔尔教育思想的核心，有横向数学化和纵向数学化之分。横向数学化是“把生活世界引向符号世界”，纵向数学化是“在符号世界里，符号的生成、重塑和被使用”。可以这样说，“横向数学化”生成生活与数学的联系，“纵向数学化”生成抽象数学知识之间的联系。

弗赖登塔尔认为，如果用二分法分别从横向数学化和纵向数学化分类，数学教育可以分成四种类型，分别对应着四种不同的哲学观：一是缺少横向数学化，也缺少纵向数学化，是机械主义；二是横向数学化得到成长，但纵向数学化不足，是经验主义；三是横向数学化不足，但纵向数学化得到成长，是结构主义；四是横向数学化和纵向数学化都得到成长，是现

实主义。

数学课程改革倡导现实主义的教学，“横向数学化”和“纵向数学化”要均衡发展。 比如，教学人教版《数学》三年级下册“小数大小的比较”。 课始出示一个纯数学的问题：“0.2和0.6，谁大谁小？你能用哪些方法说明呢？” 问题的开放性给学生以足够的思维空间，解决问题的多样性使得课堂呈现了别样的精彩。 生：老师，我可以举个例子来说明，在0.2和0.6后面各加一个单位，比如加“元”，0.2元小于0.6元。

师：真好！谁来补充？

生：老师，我想到了分数，0.2是十分之二，里面有2个十分之一，0.6是十分之六，里面有6个十分之一，所以0.2小于0.6。 生：我可以画图来说明0.2小于0.6。（在黑板上画出了示意图）

师：大家的知识面可真广，还有不同的想法吗？

生：老师，我可以用圆圈来表示，0.2画两个圆圈，0.6画6个圆圈。（说完在黑板上画出了他的想法） ○○

○○○○○○

（虽然是生成信息，但我意识到这幅图所蕴含的模型价值，立即进行放大处理） 师：同学们明白他的意思吗？能不能给大家解释一下？

生：每个圆圈代表0.1，两个圆圈代表0.2，6个圆圈代表0.6，所以0.6大于0.2。 师：你用画圆圈的方法解释了你的想法。在这里一个圆圈代表0.1，结合刚才同学们的办法，一个圆圈除了可以代表0.1外，还可以代表什么呢？ 生：可以代表0.1元。 生：可以代表十分之一。 生：还可以代表。

师：一个小小的圆圈，竟然具有如此神奇的作用！这个事实告诉我们，比较0.6和0.2的大小，不管方法如何变化，但有一点是不变的，那就是—— 生：看它里面包含了多少个○。 师：明白他的意思吗？

本案例中，虽然来自学生的比较方法不尽相同，但变化之中又包含着相同的数学本质：“数”（shu）起源于“数”（shu）。数的大小比较，其数学的本质就是看它包含了多少个单位。来自学生的各种零散的方法，如果不加以结构化，就好比“一盘散落的珠子”，不具有多少数学意义。因而，当学生创造的画圆圈比较的方法出现时，我意识到这个圆圈其实是一个极好的模型，具有很好的包摄作用，于是进行了放大处理。