在传统学科教学中引入非线性科学的思考

第８卷第６期　南阳师范学院学报　Ｖｏ１．８　ＮＯ．６　２　００　９年６月　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｎａｎｙａｎｇ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｊｕｎ．２００９　在传统学科教学中引入非线性科学的思考　崔甲武　（南阳师范学院物理与电子工程学院，河南南阳４７３０６１）　摘要：从非线性科学已取得的成就入手，阐述了高等院校物理系开设“非线性科学”内容的必要性和现实性，探讨了　开设非线性科学的学科结构和课程体系及教学内容．　关键词：非线性科学；混沌；孤立子；分形　中图分类号：Ｇ　６４２．３　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７１—６１３２（２００９）０６—０１０２—０３　纵观物理学的发展，可由牛顿一麦克斯韦一爱　可归结为：（１）确定的内在随机性；（２）对初值的敏　因斯坦为主线来映射，１９世纪以前是所谓经典物　感依赖性；（３）有序与无序的统一体．成熟的理论　理时期，取得的成就可由Ｋｅｌｖｉｎ勋爵在世纪之交　是：（１）倍周期分岔进入混沌；（２）阵发混沌；　的讲话充分体现．２０世纪确立的量子力学和相对　（３）茹勒一泰肯道路．　论，证明由牛顿创立的经典力学并不是完美的．在　分形是１９７５年Ｂ．Ｂ．Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ提出的，想用　物质微观尺度上应该由量子力学取代，当物体的速　它来描述欧几里得几何所不能描述的一大类复杂　度接近光速时，则相对论是正确的，从而引发了物　无规的几何对象，如弯曲的海岸线、起伏不平的山　理学的一次大革命．与此同时，法国学者Ｈｅｎｒｉ　脉、变幻无常的浮云、纵横交错的血管等．它们的特　Ｐｏｉｎｃａｒｅ发现某些特殊的微分方程的可解性与解　点是极不规则或极不光滑，这些现象就是分形．它　值对其初始条件极为敏感，初始条件的细微差别可　的两个特征是：系统具有“自相似性”和“分数维　导致其解值的巨大偏差，甚至产生无解现象，从而　度”．　拉开了非线性科学研究的序幕．　１．２经典物理学中的非线性问题　１　非线性科学的成就…　单摆作为一种简单而重要的物理模型已为大　家熟知．传统的教育都是讨论在摆角很小时　１．１　非线性科学的主体是孤子、混沌、分形　（０＜５。）无阻尼的单摆作谐振动，且周期与幅角及　１９６５年，美国科学家Ｚａｂｕｓｋｙ和Ｋｒｕｓｋａｌ用计　摆质量无关，建立的方程为线性微分方程　算机数值模拟法详细考虑了等离子体中孤立波相　ｍｌ　０＋ｍｇｓｉｎＯ＝０．　（１）　互作用的非线性碰撞过程，才证实了孤立波在相互　当０＜５。时，ｓｉｎＯ￣０，　作用后形状和传播速度保持不变的论断，他们就把　ｍｌ　０＋ｍｇＯ＝０，　（２）　这种碰撞过程和弹性粒子之间的碰撞过程十分相　■　似的孤立波命名为孤子．孤子概念的确立和被普遍　其中，　。＝√导，Ｖ　这就是一个非常重要的线性解．　接受，使人们对孤子的研究注入了极大的兴趣，也　这就是牛顿创立经典力学以来，人们思考、讨　取得了成熟的理论．通常把具有下列性质的非线性　论问题的方法．几百年来，根深蒂固地影响一代又　演化方程的解称为孤立波解，并用它们来描述孤立　一代人，人们似乎认为自然界就是这么完美的线性　波及其相互作用：（１）行波解；（２）波是定域的；　关系，滋生了机械论的哲学思想，以至于拉普拉斯　（３）波形不随时间变化；（４）孤立波间的相互作用　的“智者”诞生了，宇宙的演化规律化了．随着非线　呈现出“弹性碰撞”的特点．研究也揭示了非线性　性科学的诞生，人们意识到，经典物理学所处理的　过程中孤子的物理本质，即孤子是一种特殊的相干　线性作用，实际上是非线性作用在一定条件下的近　结构，是由于系统中的色散与非线性两种作用相互　似结果．如上例，当摆角增大时，其运动是十分复杂　平衡的结果．孤子的特点是有出奇的稳定性．　的，产生的结果是混沌现象．在摆角增大时　混沌是一种貌似无规实则有序的运动，支配这　１　．　１　．　种运动的规律可用确定性的方程来描述．混沌理论　ｓｉｎＯ＝０一ｇ　７０　＋　矿一・　（３）　收稿日期：２００８—１０—２５　作者简介：崔甲武（１９６３一），河南邓州人，副教授，主要从事理论物理及非线性物理学的研究　第６期　崔甲武：在传统学科教学中引入非线性科学的思考　方程（１）则为　＋　＝∞；（、　矿一一　＋．．．１　（４）　的第一入门学科，从而使得力学自然地成为引导学　生步人非线性世界的最佳切人点．而理论力学是普　通力学的后续理论课程，从而为非线性科学的延续　・　一・　，　该方程是非线性微分方程．　诸如此类问题，贯穿于整个经典物理学中．物　理学的本质到底是什么？是线性还是非线性？爱　因斯坦的广义相对论和杨～米尔斯规范场论的出　现，宣告自然界在一切本质层次上是非线性的，人　们期待的大统一理论也应是非线性的．　１．３经典物理学的困惑　２０世纪物理学三大理论的出现，从根本上消　除了经典物理学的各种幻想．相对论消除了绝对时　空的幻想：量子力学消除了可控制测量过程的牛顿　梦；非线性科学则消除了拉普拉斯关于决定论可预　测性的幻想．　物理学虽然起源于Ｆ＝ｍ　ａ形式的牛顿力学，　但现代物理学的框架体系和基本语言却是Ｈａｍｉｌ．　ｔｏｎ的正则体系．在后续的物理学课程中并不使用　原始的牛顿意义下的力的概念，甚至使用这种　“力”的思维一再造成理解场与量子过程的障碍．　当Ｋｅｌｖｉｎ勋爵说“一切物理的定律都能够从力学　的角度来说明，这是一条公理，整个物理学就建立　在这条公理之上”时，所指的正是这个意义下的力　学．“四大力学”名称中的“力学”也是如此．这样力　学系统行为特征的对称性问题，也只能在这个框架　下揭示．　对称原则是与具体问题的求解相关的．由于非　线性，物理上的力学问题很少能够严格求解，甚至　封闭的分析表达式本身存在与否都是问题．如牛顿　力学本质上是惯性系的力学规律，但由于存在着未　知的宇宙背景引力等因素，不存在不受外力作用的　物体，也就不存在实际可用的严格意义下的惯性　系．因此经典力学中那些极少数可严格分析求解的　问题就成为重要的物理模型．现在发现，这种“可　积性”与模型内在的对称性是紧密相关的，对称意　味着守恒，这正是物理图像的核心要素，将对称、守　恒、可积三位一体的思想替代“方程中心论”，这才　是理解经典物理学的核心所在．　经典物理学的实质以及非线性科学的诞生，尤　其是非线性科学取得的成就表明，传统的牛顿力学　正面临着巨大的挑战，大学是传递科学思想的场　所，是科学培养人才的摇篮，如果在大学课堂中仍　旧回避非线性问题，不说是亵渎，也称得上是不作　为．实际上，国内外也就该问题在不断的探索，我们　也正是基于这种认识，研究非线性在物理教学中的　应用．　近年，有关力学中的非线性研究的系列成　果　以及力学中除了线性振动和人为的工程问　题而外全是非线性过程，且“普通力学”也是大学　提供了场所，考虑学生的接受能力和课程的科学　性，我们认为在力学和理论力学中讲授非线性是可　行和科学的．但现实是课时的紧张性，如何规划，这　也是我们思考的另一个课程改革的问题，即力学一　理论力学的课程整合．　２　非线性科学在物理教学中的定位及学科　体系　非线性动力学、分形与孤立子是非线性科学的　三个主体，从内容体系上讲，从学生的接受能力上　讲，把非线性动力学放在普通力学中讲，这是由于　在力学中涉及这类问题系统、科学，而把分形和孤　立子放在理论力学中讲授，涉及理论的完整性．从　时间跨度上看，学生接受非线性科学由第一学期延　伸到第三学期，这主要是考虑到学生接受能力和消　化过程．具体我们设想在力学内容讲解之后，加上　非线性动力学，内容体系为：　非线性动力学　第一节非线性振动基础　１．无阻尼单摆的自由振荡：（１）小角度无阻尼　单摆一椭圆点；（２）任意角度无阻尼单摆振动一双　曲点；（３）无阻尼单摆的势能与相图．　２．阻尼振子：（１）阻尼单摆不动点；（２）无驱　杜芬方程；（３）非线性阻尼．　３．相图方法：（１）相轨线；（２）平衡点的类型及　其稳定性．　４．受迫振动：（１）线性单摆的受迫振动；（２）杜　芬方程的受迫振动；（３）庞加莱截面．　第二节分岔与奇怪吸引子　１．简单数学分岔：（１）切分岔；（２）转换键型分　岔；（３）叉式分岔；（４）霍夫型分岔．　２．平方映射与倍周期分岔：（１）从生态平衡到　平方映射；（２）平方映射的不动点及其稳定性；（３）　平方映射的周期解及其稳定性；（４）倍周期分岔的　功率谱．　３．奇怪吸引子与李雅普诺夫指数：（１）李雅普　诺夫指数；（２）洛仑兹吸引子；（３）罗斯勒吸引子．　第三节混沌　１．由倍周期分岔走向混沌：（１）平方映射的倍　周期分岔道路；（２）费根鲍姆常数；（３）杜芬方程的　倍周期分岔．　２．阵发性混沌：（１）阵发性混沌现象；（２）阵发　性混沌机理．　３．湍流：（１）湍流的本质；（２）湍流道路．　４．保守系统中的不规则运动：（１）可积的与不　可积的系统；（２）振动与ＫＡＭ定理；（３）标准映射．　南阳师范学院学报　第８卷　５．混沌控制与同步混沌：（１）控制混沌；（２）同　步混沌及其应用．　都有现实的意义．非线性科学作为新兴的科学体系，　已日趋完善，科学理念和应用已日显成熟，非线性进　入大学课堂替代传统学科是势在必行的，改变和影　响传统观念和思维定势在大学生中的影响是必需　的，更新思想，改变方法，拓宽视野是我们现在所面　临的重要课题，只有让大学生全面理解和掌握非线　性科学体系和思想，才可以使他们有所对比，有所理　解．有所掌握，只有这样才更加有所发展，这就是我　在理论力学部分，则着重讲解分形和孤立波．　第一节分形　１．豪斯道夫维数与规则分形：（１）豪斯道夫维　数与相似维数；（２）规则分形．　２．容量维数、信息维数：（１）容量维数与信息　维数；（２）布朗运动；（３）自然界分形．　３．时序分析与关联维数：（１）时序分析；（２）关　联维数．　４．分形与动力学：（１）奇怪吸引子的维数；（２）　们的初衷和愿望．而且，拓宽非线性科学在大学生各　门学科中的学习和运用，也是势在必行的，那么对这　新型问题的研究也是非常现实和紧迫的，如在光　学、热学、电学等学科中如何引入非线性科学也是摆　一奇怪排斥子与康托点集；（３）魔鬼楼梯的分形维　数；（４）吸引域边界上的分形；（５）一维映射的分行　维数；（６）１　噪声时域中的自相似性；（７）复数域　上的分形．　在我们面前的一个重要课题，尤其是非线性学科在　这些方面运用是愈来愈广，怎么定位、怎么讲授、怎　么引导、怎么学习、怎么运用，都需要更多的学者参　与探究，从而加快非线性科学的普及与推广．　第二节孤立波　１．历史回顾：（１）一个奇特水波；（２）孤立波与　孤立子．　参　考　文　献　［１］　郝柏林．非线性科学丛书［Ｍ］．上海：上海科技教育　出版社。１９９３．　２．ＫｄＶ方程：（１）波动中的非线性会聚效应；　（２）波动中的色散；（３）ＫｄＶ方程；（４）ＫｄＶ方程的　孤立波解．　［２］　陆同兴．非线性物理概论［Ｍ］．合肥：中国科技大学　出版社，２００２．　３．正弦一高登方程：（１）一维原子链与正弦一　高登方程；（２）正弦一高登方程的孤立波解．　４．非线性薛定谔方程与光学孤立子：（１）光纤　中的光脉冲压缩效应；（２）非线性薛定谔方程及其　孤立波解；（３）光学孤立子的传播特性．　［３］　刘怀宜．求单摆运动的一种近似解［Ｊ］．大学物理，　１９９４，１３（１）：３８．　［４］　夏清华，汪秉宏，兰学忠．一个非线性问题的解析解　［Ｊ］．大学物理，２００４，２３（５）：９．　［５］　周纪卿，朱因远．非线性振动［Ｍ］．西安：西安交通大　学出版社，１９９８．　３　非线性科学在物理教学中的展望　非线性科学的发展是迅猛的，并且非线性现已　涉及自然和社会等诸方面，且已有广泛的应用．非线　性在力学及理论力学中涉及的方面愈来愈多，因此，　大学生必须在该两门学科中熟悉认知非线性科学，　［６］赵凯华，罗尉茵．新概念物理教程一力学［Ｍ】．北京：　高等教育出版社，１９９５．　［７］孙春峰．非线性单摆的格林函数解［Ｊ］．大学物理，　２００４，２３（１）：９．　［８］　余守宪．非线性振动、非线性波与Ｊａｃｏｂｉ椭圆函数　［Ｊ］．大学物理，２００４，２３（１）：３．　［９］　余守宪．孤立子及其相互作用的初步分析［Ｊ］．大学　物理，１９９６，１５（１１）：４１．　掌握非线性科学的体系及内涵，对于大学生的成长　和知识的拓宽有非常重要的意义．尤其是非线性科　学的思想体系对于扩充大学生的思维，在现实生活　中处理和解决问题的方法，有着极其重要的意义，在　人才的培养和增加学生的知识体系和总容量方面，　［１０］何勤，潘波．三质点单自由度非线性振动特性分析　［Ｊ］．大学物理，２００２，２１（１）：７．　Ｒｅｓｅａｒｃｈ　ａｎｄ　ｔｈｉｎｋｉｎｇ　ｏｆ　ｈｏｗ　ｔｏ　ｉｎｄｕｃｅ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｓｃｉｅｎｃｅｓ　ｉｎ　ｔｅａｃｈｉｎｇ　ｏｆ　ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ　ｄｉｓｃｉｐｌｉｎｅｓ　ＣＵＩ　Ｊｉａ—ＷＵ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｐｈｙｓｉｃｓ　ａｎｄ　Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｎａｎｙａｎｇ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎａｎｙａｎｇ　４７３０６　１，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ　ｏｎ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｓｃｉｅｎｃｅｓ，ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｅｌａｂｏｒａｔｅｓ　ｔｈｅ　ｎｅｃｅｓｓｉｔｙ　ａｎｄ　ｒｅａｌｉｔｙ　ｏｎ　ｏｆ－　ｆｅｒｉｎｇ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｓｃｉｅｎｃｅｓ　ｉｎ　ｐｈｙｓｉｃｓ　ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ，ａｎｄ　ｐｒｏｂｅｓ　ｔｈｅ　ｃｏｕｒｓｅ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ａｎｄ　ｔｅａｃｈｉｎｇ　ｍｅａｎｉｎｇｓ　ｏｎ　ｎｏｎ‘　ｌｉｎｅａｒ　ｓｃｉｅｎｃｅｓ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｓｃｉｅｎｃｅｓ；ｃｈａｏｓ；ｓｏｌｉｔｏｎ；ｆｒａｃｔａｌ