学年 九年级数学（下）“教学研讨案” 第32讲 图形的相似与位似 课型：复习 执笔： 审核： 授课： 时间： 周星期 考点一 ac1．对于四条线段a、b、c、d，如果＝，那么这四条线段叫bd做成比例线段，简称比例线段． 2．表示两个比相等的式子叫做比例式，简称比例． 3．连比：连在一起的三个数的比，叫做连比． ac4．比例的基本性质：如果＝，那么ad＝bc，反之也成立．其bdab中a与d叫做比例外项，b与c叫做比例内项．特殊地＝⇔b2＝bcac. 5．比例的等比性质 a＋c＋„＋macm如果＝＝„„＝，且b＋d＋„„＋n≠0，那么bdnb＋d＋„＋na＝. b考点二 1．多边形相似的判断：各角对应相等，各边对应成比例． 2．相似多边形的性质 (1)对应角相等，对应边成比例． (2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． 考点三 1．定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．因此，位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形． 2．性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比． 考点四 ACBC如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝，ABAC则称线段AB被点C黄金分割，点C叫做AB的黄金分割点，AC5－1AC与AB的比叫做黄金比(即＝≈0.618)． AB2 备课札记
a－b2a(1)(2009·云南)若＝，则＝( ) b3b1245A. B. C. D. 3333 (2)(2009·定西)如图所示，小东用长为3.2 m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8 m、与旗杆相距22 m，则旗杆的高为( ) A．12 m B．10 m C．8 m D．7 m (3)(2009·孝感)美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图所示，某女士身高165 cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为( ) A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm (4)(2009·烟台)视力表对我们来说并不陌生，如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“E”之间的变换是( ) A．平移 B．旋转 C．对称 D．位似
(2009·宁夏)在边长均为1的小正方形网格纸中，△OAB的顶点O、A、B均在格点上，且O是直角坐标系的原点，点A在x轴上． (1)以O为位似中心，将△OAB放大，使得放大后的△OA1B1与△OAB对应线段的比为2∶1，画出△OA1B1(所画△OA1B1与△OAB在原点两侧)； ．．．．(2)求出线段A1B1所在直线的函数关系式． 【点拨】此题重点考查位似作图，以及一次函数解析式的确定． 1．在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为( C ) A．4.8米 B．6.4米 C．9.6米 D．10米 2．下面的四组数中，成比例的是( C ) A．3,4,5,6 B．4,8,3,5 C．5,15,2,6 D．8,4,1,3 3．如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2∶3.已知AB＝4，则DE的长为6. x＋2y5x4．已知＝，则＝3. 3y3ya＋3b－2c3abc5．已知＝＝，且a、b、c都是正数，则＝. 23472a＋b 6．如图，方格纸中有一条美丽可爱的小金鱼． (1)在同一方格纸中，画出将小金鱼图案绕原点O旋转180°后
得到的图案； (2)在同一方格纸中，并在y轴的右侧，将原小金鱼图案以原点O为位似中心放大，使它们的位似比为1∶2，画出放大后小金鱼的图案． 考点训练 训练时间：60分钟 分值：100分 训练时间：60分钟 分值：10 一、选择题(每小题4分，共48分) 1．(2009中考变式题)在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm，则它的宽约为( ) A．12.36 cm B．13.6 cm C．32.36 cm D．7.64 cm a－2b3b2．(2009中考变式题)已知＝，则的值是( ) a3b－a5A．19∶8 B．8∶19 C．2∶3 D．3∶2 abc3．(2009中考变式题)已知＝＝，且a＋b＋c≠0，则2572a＋3b－2c的值为( ) a＋b＋c551416A. B. C. D. 1411517 图形的相似与位似 图形的相似与位似 4．(2011中考预测题)如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是( ) A．1∶6 B．1∶5 C．1∶4 D．1∶2 5．(2009中考变式题)如果a∶b＝4∶5，b∶c＝2∶1，那么a∶b∶c的值是( ) A．4∶5∶1 B．4∶5∶2 C．8∶10∶5 D．8∶5∶2 6．(2009中考变式题)如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是( )
A．87° B．60° C．75° D．120° 6．(2009中考变式题)如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是( ) A．87° B．60° C．75° D．120° 7．(2011中考预测题)图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是( ) A．点P B．点O C．点M D．点N 8．(2011中考预测题)如图，正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB∶FG＝2∶3，则下列结论正确的是( ) A．2DE＝3MN B．3DE＝2MN C．3∠A＝2∠F D．2∠A＝3∠F 9．(2011中考预测题)如图，在平面直角坐标系中有两点A(6,2)，B(6,0)，以原点为位似中心，相似比为1∶3，把线段AB缩小，则过A点对应点的反比例函数的解析式为( ) 44418A．y＝ B．y＝ C．y＝－ D．y＝ x3x3xx10．(2011中考预测题)如图，△ABC中，CD⊥AB于D，下列条件一定能确定△ABC为直角三角形的条件的个数是( )
CDDB＝；③∠B＋∠2＝90°；④BC∶AC∶ABADCD＝3∶4∶5；⑤AC·BD＝AC·CD. A．1 B．2 C．3 D．4 11．(2009中考变式题)如图，等腰△ABC中，底边BC＝a，∠A＝36°，∠ABC的平分线交AC于D，∠BCD的平分线交BD5－1于E，设k＝，则DE＝______.( ) 2①∠1＝∠A；② aaA．k2a B．k3a C.2 D.3 bkabc12．(2009中考变式题)已知＝＝且3a－2b＋c＝9，则2a＋5784b－3c的值为( ) 14A．7 B．42 C．14 D. 3二、填空题(每小题4分，共16分) a＋2b－3cabc13．(2009中考变式题)已知＝＝，则的值为372c________． 14．(2010·丹东)如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且位似比是1∶2，若AB＝2 cm，则A′B′＝________cm. 15．(2010·湖州)如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，若△ABC与△A1B1C1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是________．
16．(2009中考变式题)如图所示，已知△ABC和△DEF是位似图形，且OB∶OE＝3∶5，那么S△ABC∶S△DEF＝________. 三、解答题(共36分) 17．(12分)(2009中考变式题) x＋2y5x(1)已知＝，求的值； 3y3ya＋3b－2cabc(2)已知＝＝，且a、b、c都是正数，求的值． 2342a＋b18．(12分)(2009中考变式题)如图，△ABC在方格纸中． (1)请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A、B的坐标满足A(2,3)、C(6,2)，并求出B点的坐标； (2)以原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的图形△A′B′C′； (3)计算△A′B′C′的面积S. 19．(12分) (2011中考预测题)如图，矩形ABCD沿EF对折后，矩形FCDE∽矩形ABCD，已知AB＝4， 求：(1)AD的长； (2)求这两个相似矩形的相似比k的值．
考点一 ac1．对于四条线段a、b、c、d，如果＝，那么这四条线段叫bd做成比例线段，简称比例线段． 2．表示两个比相等的式子叫做比例式，简称比例． 3．连比：连在一起的三个数的比，叫做连比． ac4．比例的基本性质：如果＝，那么ad＝bc，反之也成立．其bdab中a与d叫做比例外项，b与c叫做比例内项．特殊地＝⇔b2＝bcac. 5．比例的等比性质 a＋c＋„＋macm如果＝＝„„＝，且b＋d＋„„＋n≠0，那么bdnb＋d＋„＋na＝. b考点二 1．多边形相似的判断：各角对应相等，各边对应成比例． 2．相似多边形的性质 (1)对应角相等，对应边成比例． (2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． 考点三 1．定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．因此，位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形． 2．性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比． 考点四 ACBC如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝，ABAC则称线段AB被点C黄金分割，点C叫做AB的黄金分割点，AC5－1AC与AB的比叫做黄金比(即＝≈0.618)． AB2 a－b2a(1)(2009·云南)若＝，则＝( ) b3b1245A. B. C. D. 3333
(2)(2009·定西)如图所示，小东用长为3.2 m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8 m、与旗杆相距22 m，则旗杆的高为( ) A．12 m B．10 m C．8 m D．7 m (3)(2009·孝感)美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图所示，某女士身高165 cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为( ) A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm (4)(2009·烟台)视力表对我们来说并不陌生，如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“E”之间的变换是( ) A．平移 B．旋转 C．对称 D．位似 (2009·宁夏)在边长均为1的小正方形网格纸中，△OAB的顶点O、A、B均在格点上，且O是直角坐标系的原点，点A在x轴上． (1)以O为位似中心，将△OAB放大，使得放大后的△OA1B1
与△OAB对应线段的比为2∶1，画出△OA1B1(所画△OA1B1与△OAB在原点两侧)； ．．．．(2)求出线段A1B1所在直线的函数关系式． 【点拨】此题重点考查位似作图，以及一次函数解析式的确定． 1．在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为( C ) A．4.8米 B．6.4米 C．9.6米 D．10米 2．下面的四组数中，成比例的是( C ) A．3,4,5,6 B．4,8,3,5 C．5,15,2,6 D．8,4,1,3 3．如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2∶3.已知AB＝4，则DE的长为6. x＋2y5x4．已知＝，则＝3. 3y3ya＋3b－2c3abc5．已知＝＝，且a、b、c都是正数，则＝. 23472a＋b 6．如图，方格纸中有一条美丽可爱的小金鱼． (1)在同一方格纸中，画出将小金鱼图案绕原点O旋转180°后得到的图案； (2)在同一方格纸中，并在y轴的右侧，将原小金鱼图案以原点O为位似中心放大，使它们的位似比为1∶2，画出放大后小金鱼的图案． 考点训练
训练时间：60分钟 分值：100分 训练时间：60分钟 分值：10 一、选择题(每小题4分，共48分) 1．(2009中考变式题)在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm，则它的宽约为( ) A．12.36 cm B．13.6 cm C．32.36 cm D．7.64 cm a－2b3b2．(2009中考变式题)已知＝，则的值是( ) a3b－a5A．19∶8 B．8∶19 C．2∶3 D．3∶2 abc3．(2009中考变式题)已知＝＝，且a＋b＋c≠0，则2572a＋3b－2c的值为( ) a＋b＋c551416A. B. C. D. 1411517 图形的相似与位似 图形的相似与位似 4．(2011中考预测题)如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是( ) A．1∶6 B．1∶5 C．1∶4 D．1∶2 5．(2009中考变式题)如果a∶b＝4∶5，b∶c＝2∶1，那么a∶b∶c的值是( ) A．4∶5∶1 B．4∶5∶2 C．8∶10∶5 D．8∶5∶2 6．(2009中考变式题)如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是( ) A．87° B．60° C．75° D．120° 6．(2009中考变式题)如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是( )
A．87° B．60° C．75° D．120° 7．(2011中考预测题)图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是( ) A．点P B．点O C．点M D．点N 8．(2011中考预测题)如图，正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB∶FG＝2∶3，则下列结论正确的是( ) A．2DE＝3MN B．3DE＝2MN C．3∠A＝2∠F D．2∠A＝3∠F 9．(2011中考预测题)如图，在平面直角坐标系中有两点A(6,2)，B(6,0)，以原点为位似中心，相似比为1∶3，把线段AB缩小，则过A点对应点的反比例函数的解析式为( ) 44418A．y＝ B．y＝ C．y＝－ D．y＝ x3x3xx10．(2011中考预测题)如图，△ABC中，CD⊥AB于D，下列条件一定能确定△ABC为直角三角形的条件的个数是( ) CDDB①∠1＝∠A；②＝；③∠B＋∠2＝90°；④BC∶AC∶ABADCD＝3∶4∶5；⑤AC·BD＝AC·CD. A．1 B．2 C．3 D．4
11．(2009中考变式题)如图，等腰△ABC中，底边BC＝a，∠A＝36°，∠ABC的平分线交AC于D，∠BCD的平分线交BD5－1于E，设k＝，则DE＝______.( ) 2aaA．k2a B．k3a C.2 D.3 bkabc12．(2009中考变式题)已知＝＝且3a－2b＋c＝9，则2a＋5784b－3c的值为( ) 14A．7 B．42 C．14 D. 3二、填空题(每小题4分，共16分) a＋2b－3cabc13．(2009中考变式题)已知＝＝，则的值为372c________． 14．(2010·丹东)如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且位似比是1∶2，若AB＝2 cm，则A′B′＝________cm. 15．(2010·湖州)如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，若△ABC与△A1B1C1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是________． 16．(2009中考变式题)如图所示，已知△ABC和△DEF是位
似图形，且OB∶OE＝3∶5，那么S△ABC∶S△DEF＝________. 三、解答题(共36分) 17．(12分)(2009中考变式题) x＋2y5x(1)已知＝，求的值； 3y3ya＋3b－2cabc(2)已知＝＝，且a、b、c都是正数，求的值． 2342a＋b18．(12分)(2009中考变式题)如图，△ABC在方格纸中． (1)请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A、B的坐标满足A(2,3)、C(6,2)，并求出B点的坐标； (2)以原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的图形△A′B′C′； (3)计算△A′B′C′的面积S. 19．(12分) (2011中考预测题)如图，矩形ABCD沿EF对折后，矩形FCDE∽矩形ABCD，已知AB＝4， 求：(1)AD的长； (2)求这两个相似矩形的相似比k的值．
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