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方程根与系数的关系
例1：设关于x的方程ax+（a+2）x+9a=0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2， 那么实数a的取值范围是（ ） A．
22
B． C． D．
变：设关于x的方程ax+（a-1）x+1=0有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜2＜x2， 那么实数a的取值范围是
12 变：关于x的方程ax(a2)x0，有两个不相等实数根x1、x2，且x11x2，那么实数a的取值范
4围
例2：已知关于x的一元二次方程x+（2m+1）x+m﹣4=0 （1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值．
变：已知关于x的方程ax+（2a﹣1）x+1=0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使方程的两个实数根互为相反数如果存在，求出a的值；
如果不存在，说明理由． 函数：
已知：如图，一次函数y=x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y=x+bx+c的图象与一次函数y=x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且D点坐标为（1，0）． （1）求二次函数的表达式及C点的坐标；
（2）观察图象，直接写出下面小题的答案：不等式x+bx+c＞x+1的解集为 ； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得PC+PE的值最小？若存在，求出点P的坐标；
若不存在，请说明理由．
（4）求BCE的面积并在抛物线上找点Q使的BCE和BCQ的面积相等
1
2
2
22
2
2
旋转：
例1．有下列四个说法，其中正确说法的个数是( )．
①图形旋转时，位置始终保持不变的点只有旋转中心；
②图形旋转时，图形上的每一个点都绕着旋转中心旋转了相同的角度； ③图形旋转时，对应点与旋转中心的距离相等；
④图形旋转时，对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小都没有发生变化 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，若正方形DCEF旋转后能与正方形ABCD重合，
则图形所在平面内可作为旋转中心的点共有( )个． A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图①～④是四种正多边形的瓷砖图案．其中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．①③ B． ①④ C．②③ D．②④
4．已知：如图，F是正方形ABCD中BC边上一点，延长AB到E，使得BE=BF， 试用旋转的性质说明：AF=CE且AF⊥CE．
5．已知：如图，E是正方形ABCD的边CD上任意一点，F是边AD上的点，且FB平分∠ABE．
求证：BE=AF＋CE．
6．已知：如图，在四边形ABCD中，∠B＋∠D=180°，AB=AD，E，F分别是线段BC，CD上的点，
且BE＋FD=EF．求证：EAF12BAD.
2
7．已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，DE、DF分别交AC于E，交BC于F，
且DE⊥DF．
222
(1)如果CA=CB，求证：AE＋BF=EF；
(2)如果CA＜CB，(1)中的结论还成立吗?若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
旋转的综合训练 一、选择题
1．数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心O旋转多少度后和它自身重合? 甲同学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°． 以上四位同学的回答中，错误的是( )． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )． A．等边三角形 B．菱形 C．等腰梯形 D．平行四边形
3．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△DEF为等边三角形，AB=DE，
点B，C，D在x轴上，点A，E，F在y轴上，下面判断正确的是( )．
A．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的 B．△DEF是△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的 C．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转60°得到的 D．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转120°得到的 4.如图,将正方形图案绕中心O旋转180°后,得到的图案是( )
5.如上图，面积为12cm的△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置，平移的距离是边BC长的两倍， 则图中的四边形ACED的面积为（ ）
A、24cm B、36cm C、48cm D、无法确定 6.下列命题中的真命题是 ( )
(A)全等的两个图形是中心对称图形. (B)关于中心对称的两个图形全等. (C)中心对称图形都是轴对称图形. (D)轴对称图形都是中心对称图形.
3
2
2
2
2
7．4张扑克牌如图（1）所示放在桌子上，小敏把其中一张旋转180°后得到如图（2）所示， 那么她所旋转的牌从左起是（ ）
A．第一张、第二张 B．第二张、第三张 C．第三张、第四张 D．第四张、第一张
（1） （2） 8、如右图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连结BE，将△BCE绕点
0
0
ADC顺时针方向旋转90得到△DCF，连结EF，若∠BEC=60，则∠EFD的度数为（ ） 0
0
0
0
EA、10 B、15 C、20 D、25
BC二、填空题
1．如下图，用等腰直角三角板画∠AOB=45°，并将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线处后 绕点M按逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA的夹角为 °．
2．如上图，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形A′B′C′D′， 则它们的公共部分的面积等于______．
3．如上图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边△ABD，连结DC，以DC为边作等边△DCE，
FB，E在C，D的同侧．若AB2,则BE=______．
4．如上图，已知D，E分别是正三角形的边BC和CA上的点，且AE=CD，AD与BE交于P，则∠BPD =_____°． 5．在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为(1，0)，将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得到P1，
延长OP1到点P2，使OP2=2OP1，再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°，得点P3，则P3的坐标是______． 6．如下图，P是等边△ABC内一点，△BMC是由△BPA旋转所得，则∠PBM＝_____________． 7.直线y=x+3上有一点P(m-5,2m),则P点关于原点的对称点P′为
00
8.如下图，把三角形△ABC绕着点C顺时针旋转35，得到△A＇B＇C，A＇B＇交AC于点D，若∠A＇DC=90， 则∠A的度数是__________。
9.如下图,边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到的正方形EFCG,EF交AD于点H, 那么DH的长为_____ _. 10．如下图，△ABC绕点B逆时针方向旋转到△EBD的位置，若∠A=15，
∠C=10，E，B，C在同一直线上，则∠ABC=________，旋转角度是________.
4
0
0
三 解答题
1.四边形ABCD是正方形，△ADF旋转一定角度后得到△ABE，如图所示，如果AF=4，AB=7， 求（1）指出旋转中心和旋转角度 （2）求DE的长度
（3）BE与DF的位置关系如何？
2． 已知：如图，四边形ABCD中，∠D=60°，∠B=30°，AD=CD．
222
求证：BD=AB＋BC．
3. 通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．
（1）思路梳理
∵AB=CD， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，点F、D、G共线．根据 ，易证△AFG≌ ，得EF=BE+DF． （2）类比引申
如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°． 若∠B、∠D都不是直 角，则当∠B与∠D满足等量关系 时，仍有EF=BE+DF． （3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°． 猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．
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