正余弦定理知识点总结及高考考试题型

三角函数五——正、余弦定理

一、知识点 （一）正弦定理：

abc2R,其中R是三角形外接圆半径. sinAsinBsinC变形公式：（1）化边为角：a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC; （2）化角为边：sinAabc,sinB,sinC;2R2R2R （3）a:b:csinA:sinB:sinC abcabc2R （4）sinAsinBsinCsinAsinBsinC. 1111abcSABCahabsinCacsinBbcsinA2R2sinAsinBsinC22224R3、三角形面积公式：

4、正弦定理可解决两类问题： （1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（解唯一） （2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角. （解可能不唯一） a2b2c22bccosA（二）余弦定理：b2a2c22accosB c2a2b22abcosCb2c2a2a2c2b2a2b2c2,cosB,cosC.. 由此可得：cosA2ab2ac2ab注：a2＞b2c2A是钝角；a2=b2c2A是直角；a2＜b2c2A是锐角； 2、余弦定理可以解决的问题： （1）已知三边，求三个角；（解唯一）

（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）：

（3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一）

三、正、余弦定理的应用

射影定理：abcosCccosB,bacosCccosA,cacosBbcosA.

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有关三角形内角的几个常用公式 解三角形常见的四种类型

（1）已知两角A,B与一边a：由ABC180及正弦定理 求出C，再求b,c。

（2）已知两边b,c与其夹角A，由a2b2c22bccosA，求出a，再由余弦定理， 求出角B,C。

（3）已知三边a、b、c，由余弦定理可求出A、B、C。 （4）已知两边a,b及其中一边的对角A，由正弦定理 对角B，由C180AB，求出C，再由 ab，求出另一边b的 sinAsinBabc，可 sinAsinBsinBac求出c，而通过 sinAsinCab求B时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表： sinAsinB二、例题（一）求（2009广知ABC A90° A90° A90° 一解 一解 两解 一解 无解 讲解 边的问题 东文）已中，一解 无解 一解 无解 无解 无解 A,B,C的对边分别为a,b,c若ac62且A75o，则b ( ) A．2 B．4＋23 C．4—23 D．62

【答案】 A 【解析】sinAsin750sin(300450)sin300cos450sin450cos300264 00由ac62可知,C75,所以B30,

a261bsinB2sinA2624由正弦定理得,故选A

sinB12

（2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ10）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2Acos2A0，a7，c=6，则b（ ） A.10

B.9

C.8

D.5

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2【解题指南】由23cosAcos2A0，利用倍角公式求出cosA的值，然后利用正弦定理或余弦定理求得b的值.

12cosA22225， 【解析】选D.因为23cosAcos2A0，所以23cosA2cosA10，解得

方法一:因为△ABC为锐角三角形，所以

7626sinCac由正弦定理sinAsinC得，5.

12619sinCcosC35，35.又B(AC)， 所以sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC， sinBcosA261sinA5. 5,

72619112650626506ab535535175.由正弦定理sinAsinB得, 5175，解得b5.

112cosAb3612b492225，则5方法二:由余弦定理abc2bccosA，，解得b5

b（2011浙江）在ABC中，角A,B,C所对的边分a,b,c.若acosAbsinB，则sinAcosAcos2B( ) A．-11 B． C． -1 D． 1 22【答案】D 【解析】∵acosAbsinB，∴sinAcosAsin2B， ∴sinAcosAcos2Bsin2Bcos2B1. 12cos(BC)0，9、（2011安徽）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a=3，b=2，求边BC上的高. 【解析】：∵A＋B＋C＝180°，所以B＋C＝A， 又12cos(BC)0，∴12cos(180A)0， 即12cosA0，

又0°cosA12，

bsinA2sin602absinBa2， 3在△ABC中，由正弦定理sinAsinB得

又∵ba，所以B＜A，B＝45°，C＝75°，

∴BC边上的高AD＝AC·sinC＝2sin752sin(4530)

在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asinB=3b.

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(1)求角A的大小.

(2)若a=6,b+c=8,求△ABC的面积.

【解题指南】(1)由正弦定理易求角A的大小;(2)根据余弦定理,借助三角形的面积公式求解.

【解析】(1)由2asinB=3b及正弦定理因为A是锐角,所以A. 33ab,得sinA=, 2sinAsinB(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得 b2+c2-bc=36,又b+c=8,所以bc1228, 373. 3由三角形面积公式S=bcsinA,得△ABC的面积为35cosA,cosB,b3,5136、（2012重庆理）设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且则

c______ 【答案】c145 35412cosA,cosBsinA,sinB513513, 【解析】由43bsinA513aab12sinB513由正弦定理sinAsinB得, 14a2c2b22bccosA25c290c560c5 由余弦定理.

4、（2012福建文）在ABC中,已知BAC60,ABC45,BC3,则AC_______.

【答案】2

【解析】由正弦定理得

AC3AC2

sin45sin605、（2011北京）在ABC中，若b5,B1,sinA，则a . 43欢迎共阅

【答案】

52 3【解析】：由正弦定理得

a552ab1,a又b5,B,sinA所以 13sinAsinB43sin341、在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，A A、1 B、2 C、31 D、3

3,a3,b1，则c（ ）

2、在△ABC中，a,b,c分别为A,B,C的对边.如果a,b,c成等差数列，B30°，△ABC的面积为3，那么b（ ） 232 A、1 B、13 C、232 D、23 3、在△ABC中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c，若C120°，c2a，则（ ）

A、ab B、ab C、ab D、a与b的大小关系不能确定 5、若△ABC的周长等于20，面积是103，A=60°，则BC边的长是（ ）

A、5 B、6 C、7 D、8 7、三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x27x60的根，则三角形的另一边长为（ ） A、52 B、213 C、16 D、4 11、在ABC中.若b=5，B1，sinA=，则a___________________. 3412、若△ABC的面积为3，BC＝2，C＝60°，则边AB的长度等于 2，则a 。 313、如图，在△ABC中，若b1,c3，C（二）求角的问题 1（2013·北京高考文科·Ｔ5）在△ABC中，a=3,b=5,sinA=3,则sinB=( ) 515A.5 B.9 C.3 D.1 【解析】选B。 2012天津理）在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知8b=5c,C=2B,则cosC(）

77A．25 B．25

7C．25

24D．25

【答案】A

【解析】8b5c,由正弦定理得8sinB5sinC，又C2B，8sinB5sin2B，

47sinB0,cosB,cosCcos2B2cos2B1525 所以8sinB10sinBcosB，易知

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（2013·湖南高考文科·Ｔ5）在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b. 若2asinB=3b，则角A等于（ ） A.3 B.4 C.6 D.12

ab【解题指南】本题先利用正弦定理sinAsinB化简条件等式，注意条件“锐角三角形” .

3【解析】选A.由2asinB=3b得2sinAsinB=3sinB,得sinA=2,所以锐角A=3. （2013·湖南高考理科·Ｔ3）在锐角ABC中，角A,B所对的边长分别为a,b.若2asinB3b,则角A等于（ ） A．12 B．6 C．4 D．3 ab【解题指南】本题先利用正弦定理sinAsinB化简条件等式，注意条件“锐角三角形” . 3【解析】选D.由2asinB=3b得2sinAsinB=3sinB,得sinA=2,所以锐角A=3. （2013·天津高考理科·Ｔ6）在△ABC中, 1010310 A. 10 B. 5 C. 10 5D. 5 ABC4,AB2,BC3,则sinBAC = ( ) 【解题指南】先由余弦定理求AC边长，然后根据正弦定理求值. 2AC2AB2BC22ABBCcos2922342 【解析】选C. 在△ABC中，由余弦定理得，5ACBC,sin5,所以AC5,由正弦定理得sinBsinA即43,sinA所以sinBAC31010. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC(cosA3sinA)cosB0. (1)求角B的大小； (2)若ac1，求b的取值范围. 【解题指南】(1)借助三角形内角和为，结合三角恒等变换将条件中的等式转化为只含B的方程，求出B的三角函数值，进而可求出角B.（2）根据（1）求出的B与ac1，由余弦定理可得b2关于a的函数，注意到ac1可知0a1，进而可求出b的范围.

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【解析】（1）由已知得cos(AB)cosAcosB3sinAcosB0，即

sinAsinB3sinAcosB0.因为sinA0，所以sinB3cosB0,又cosB0,所以tanB3,

又0B，所以B.

（2）由余弦定理，有b2a2c22accosB，因为ac1，cosB,所以b23(a)2，又因为0a1，所以b21，即b1.

(2013·浙江高考理科·T16)在△ABC中,∠C=90°,M是BC的中点.若BAC= . 【解题指南】分别在Rt△ABC和△ABM中应用勾股定理和正弦定理. 【解析】设AC=b,AB=c,BC=a,在△ABM中由正弦定理得 1ac2sinBAMsinBMA①, ACsinBMAsinCMAAM, 因为14121231214sinBAM13,则sin∠c2a2sinBMA123232222AMbacaca2244ACbca4又,,所以. 1ac21c2a233c2a24又由①得,两边平方化简得4c4-12a2c2+9a4=0,所以2c2-3a2=0, 所以sinBACa6c3. 6【答案】3 （2013·上海高考文科·T5）已知ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若a2+ab+b2-c2=0，则角C的大小是 .

a2 b2-c212C 【解析】a abb-c0cosC2ab23222【答案】

2 3设ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，(abc)(abc)ac

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（I）求B; （II）若sinAsinC31,求C. 4【解题指南】（I）由条件(abc)(abc)ac确定求B应采用余弦定理. （II）应用三角恒等变换求出AC及AC的值，列出方程组确定C的值. 【解析】（I）因为(abc)(abc)ac.所以a2c2b2ac.

a2c2b21，因此B120. 由余弦定理得cosB2ac2（II）由（I）知AC60，所以cos(AC)cosAcosCsinAsinC 31312. 224故AC30或AC30，因此C15或C45 10、（2012辽宁理）在ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c.角A,B,C成等差数列. （I）求cosB的值; （Ⅱ）边a,b,c成等比数列,求sinAsinC的值. 12BAC,ABC,B,cosB32 【解析】（I）由已知32sinAsinCsinB24， （Ⅱ）解法一：bac，由正弦定理得1a2c2b2a2c2acbac,cosB2222ac2ac解法二：，由此得abacac，得ac 3ABC,sinAsinC34 所以

2（2012江西文）△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知3cos(B-C)-1=6cosBcosC. （1）求cosA; （2）若a=3,△ABC的面积为22,求b,c. 3(cosBcosCsinBsinC)16cosBcosC3cosBcosC3sinBsinC13cos(BC)111cos(A)cosA33. 【解析】（1）  则

（2）由（1）得

sinA223,由面积可得bc=6①,则根据余弦定理

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b2c2a2b2c291cosA2bc123则b2c213②, b3a3a2或b2 ①②两式联立可得7、（2011全国）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知asinAcsinC2asinCbsinB.

（I）求B； （Ⅱ）若

A750,b2,求a，c. 【解析】（I）由正弦定理得a2c22acb2

由余弦定理得b2a2c22accosB. 故cosB22，因此B45 sinAsin(3045)sin30cos45cos30sin4526（II）4 absinA2613故sinB2 cbsinCsinB2sin60sin456. 1、ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a,b,c成等比数列，且c2a，则cosB（ A、14 B、34 C、224 D、3 2、在△ABC中，A60°，a43,b42，则B等于（ ） A、45°或135° B、135° C、45° D、以上答案都不对 4、在△ABC中，a3，b7，c2，那么B等于（ ） A、30° B、45° C、60° D、120° 6、在△ABC中，已知a2b2c2bc，则A为（ ） A、3 B、6 C、223 D、3或3 7、已知△ABC的面积为32，且b2,c3，则A等于（ ） A、30° B、30°或150° C、60° D、60°或120° 8、已知在△ABC中,sinA:sinB:sinC3:2:4,那么cosC的值为（ ）

A、11224 B、4 C、3 D、3

10、若△ABC的内角，A,B,C满足6sinA4sinB3sinC，则cosB

A．15 154 B．

34

C．316 D．1116 欢迎共阅

）

11、在ABC中，角A,B,C所对的边分a,b,c．若acosAbsinB，则sinAcosAcos2B

11 B． C． -1 D．1 2212、已知在△ABC中，a10,b56,A45°,则B 。

A．-

13、在△ABC中，b3,c3,B30°，则A 。

14、已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a1,b3，AC2B, 则sinC 。

15、在△ABC中，bc:ca:ab4:5:6，则△ABC的最大内角的度数是 16、已知abcbca3bc，则A 17、在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a2，b2， sinBcosB2,则角A的大小为 . （三）判断三角形形状的问题 设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若bcosCccosBasinA, 则△ABC的形状为()

A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 【解题指南】在含有边角关系式的三角函数恒等变形中,利用正弦定理将边的关系式化为角的正弦式或利用余弦定理将余弦式化为边的关系式,这是判断三角形形状的两个转化方向. 【解析】选A.因为bcosC+ccosB=asinA,所以由正弦定理得 sinBcosC+sinCcosB=sin2A,所以sin(B+C)=sin2A, sinA=sin2A, sinA=1,所以三角形ABC是直角三角形. 1、在△ABC中，若abc，则△ABC是（ ） cosAcosBcosC A、直角三角形 B、等边三角形 C、钝角三角形 D、等腰直角三角形 2、在ABC中，已知2sinAcosBsinC，那么ABC一定是（ ） A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等腰直角三角形 D、正三角形 3、△ABC中，a2bcosC，则此三角形一定是（ ） A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰或直角三角形

4、在△ABC中，若acosAbcosB，则△ABC的形状是（ ）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰或直角三角形

7、在△ABC中，已知B30°,b503,c150，那么这个三角形是（ ） A、等边三角形 B、直角三角形

C、等腰三角形欢迎共阅

D、等腰三角形或直角三角形

8、△ABC中，sinAsinBsin2C，则△ABC为（ ）

22 A、直角三角形 B、等腰直角三角形C、等边三角形 D、等腰三角形

9、已知关于x的方程x2xcosAcosB2sin2 则ABC一定是（ ）

C0的两根之和等于两根之积的一半， 2 A、直角三角形 B、钝角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形

tanAsinA10、△ABC中，，则三角形为 。 tanBsinB（四）三角形的面积的问题 BABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，6，（2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ4）已知b2，C4，则ABC的面积为（ ） bc2323123231 A. B. D.7 C.AsinsinB,C674，解得c22。所以三64,所以【解析】选B.因为112.由正弦定理得1bcsinA222sin12. 角形的面积为7232221231sinsin()()12342222222， 因为1231bcsinA22()312222所以，选B. .(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB. (1)求B. (2)若b=2,求△ABC面积的最大值. 【解题指南】(1)将a=bcosC+csinB“边化角”,化简求得B. (2)利用角B、边b将△ABC面积表示出来,借助均值不等式求最大值. 【解析】(1)因为a=bcosC+csinB,所以由正弦定理得:sinA=sinBcosC+sinCsinB,所以sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB,即cosBsinC=sinCsinB,因为sinC≠0, 所以tanB=1,解得B=(2)由余弦定理得:b2=a2+c2-2accos,即4=a2+c2-2ac,由不等式得a2+c2≥2ac,当且仅当a=c时,取等421号,所以4≥(2-2)ac,解得ac≤4+22,所以△ABC的面积为acsin≤×(4+22)=2+1.所

424以△ABC面积的最大值为2+1.

. 41、在△ABC中，AB3,AC1,A30，则△ABC面积为（ ）

A、

3 2 B、

3 4 C、

333或3 D、 或 2422、已知△ABC的三边长a3,b5,c6则△ABC的面积为（ ）

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A、14

B、214

C、15

D、215

3、在△ABC中，asin10°，bsin50°，C=70°，那么△ABC的面积为（ ）

1111A、 B、 C、 D、

86432164、在△ABC中，a2，A30°,C45°，则△ABC的面积SABC等于（ ）

A、2 B、22 C、311 D、(31)

26、已知ABC 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为

_______________ (五)综合应用 1、 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c. π(1)若sinA＋6＝2cosA, 求A的值； 1(2)若cosA＝，b＝3c，求sinC的值． 32、在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且3a2csinA (Ⅰ)确定角C的大小： （Ⅱ）若c＝7,且△ABC的面积为332,求a＋b的值。 1

3、设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a＝1，b＝2，cosC＝4.

(1)求△ABC的周长； (2)求cos(A－C)的值． 4.在ABC中，BC5,AC3,sinC2sinA （Ⅰ）求AB的值。 （Ⅱ）求sin(2A4)的值。 5、 △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，asinA＋csinC－2asinC＝bsinB. (1)求B；

(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.

6、在ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sinA（I）求AB的值；

（II）若ab21，求a、b、c的值。

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510,sinB 510