椭圆的简单几何性质中求离心率的重难点创新教学探究

学习目标：（一）知识与技能

1.熟练掌握椭圆离心率的定义及计算公式；

2.理解椭圆标准方程中的a,b,c对离心率影响的几何意义。（二）过程与方法

1.通过学习探究椭圆的离心率，让学生体验知识的形成和演变过程，培养学生的发散思维，逻辑推理，观察分析和解决问题的能力。

2.通过实际的活动，发挥学生的主体作用，利用数形结合的思想加强分析，抽象，概括的能力，使几何问题代数化，使复杂问题简单化。

（三）情感态度与价值观

通过数与形的辩证统一，指导学生有效解决问题，让学生体会到能有效解决问题时所带来成功的喜悦，由一种山重水复疑无路到柳暗花明又一村的情感演变，激发学生的学习兴趣。

教学重点：利用椭圆的离心率的定义及其几何意义，解决各类问题。

教学难点：利用数形结合探究在不同的题型中的椭圆离心率，几何问题代数化。教学方式：

以启发式教学为主，综合运用演示法、讲授法、讨论法、有引导的探究发现法及理论与实践相结合的练习法等教学方法。

教学手段：

以黑板讲解为主多媒体为辅相结合的方式，有引导的过程教学。教学过程：

（一）创设情境，激发探究兴趣

思考：同学们，我们所给的几个椭圆的图形当中，显然他们的圆扁程度是不一样的，那么，他们的圆扁程度跟我们的哪些量有关呢？如何刻画他们的圆扁程度？

（教师用多媒体给学生展示）

通过提问形式，让学生回答：离心率跟我们椭圆方程中的量a,c有关。

创设意图：利用椭圆的定义及标准方程，引出离心率所涉及的量除了a,c，离心率还可以用哪些量表示呢？

离心率的定义：

cc2a2b2b2变式：e12 ∈(0,1)22aaaa（二）交流展示

例1：已知F1为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO∥AB（O为椭圆中心）时，椭圆的离心率为e_______(通过简单例题，先给学生自主探究.)

（小结：数形结合，寻找解决问题的突破点，围绕着离心率的定义和公式，建立起等量关系，以板书形式演示探讨）

例2：(2014·江西卷)设椭圆C：

x2a2＋y2b2

＝1(a>b>0)的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的

垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于________．

解析：　法一：不妨设A在x轴上方，由于AB过F2且垂直于x轴，因此可得A

()(c，

a

b2

，Bc，－

b2a)，由OD∥F2B，O为F1F2的中点可得D0，－

(b2

→

，所以AD＝

2a)(3b2b23b4→→→

2－c，－，F1B＝2c，－，又AD⊥F1B，所以AD·F1B＝－2c＋＝0，即3b4＝

2aa2a2)()4a2c2，又b2＝a2－c2，所以可得3(a2－c2)＝2ac，两边同时除以a2，得3e2＋2e－3＝0，解得e＝

33

或－3，又e∈(0,1)，故椭圆C的离心率为

33.法二：连接AF1，∵OD∥AB，O为F1F2的中点，∴D为BF1的中点．又AD⊥BF1，∴|AF1|＝|AB|.∴|AF1|＝2|AF2|.

设|AF2|＝n，则|AF1|＝2n，|F1F2|＝3n.∴e＝＝＝＝.3a|AF1|＋|AF2|3n

c

|F1F2|

3n

3小结：解题思路：由数形结合——得出（1）代数法；（2）几何法.两种方法都可以解决问题，但显然，如果我们用几何法寻找他们的等量关系，问题就很快的得到解决！在这里很好的衔接我们的例1，利用数形结合，找对方法很快使问题迎刃而解，激发了学生的学习兴趣！

变式练习：

x2y2

(2016·新课标全国卷Ⅲ 理11)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左

a2b2焦点，A，B分别为C的左，右顶点，P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（ ）．

A．1/3

B．1/2

C．2/3

D．3/4

解析：　法一：由题意可设F（-c，0），A（-a，0），B（a，0）

令x=-c，代入椭圆方程可得y= , 可得P(-c, ),设直线AE的方程为

y=k(x+a), 令x=-c，可得M（-c，k（a-c）），令x=0，可得E（0，ka），

设OE的中点为N，可得N(0,即

), 由B，N，M三点共线，可得KBN=KBM ，

.

,

法二：

故a=3c,可得e=

引出作业：

1．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是

x2y221ab02F、F12ab2．设分别是椭圆的左、右焦点，P是其右准线上纵坐

FFF2P，则椭圆的离心率是标为3c （c 为半焦距）的点，且12评估与反思：

通过教学过程中与学生课堂交流活动的观察，学生的自主探究和师生的共同探讨讲练结合，学生的变式练习的评估，发现大部分同学对该内容掌握还不错，只有少部分同学画出了图，但还没能找出他们的等量关系，所以通过作业再给予思考和反馈，并引导指正！所以，通过重难点教学的探究，尽力实现学生数学学习的自我构建意识，注重引导，追求数学课堂上的有效教学。