数学试卷（文科）
★祝考试顺利★注意事项：
1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡
上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷
类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用
2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案用
0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选
修题答题区域的答案一律无效。
5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知直线l：，则直线l的倾斜角为A.
B.
C.
D.
【答案】C 【解析】【分析】
设直线l的倾斜角为，可得，即可得出．
【详解】解：设直线l的倾斜角为
，
．
则
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了直线斜率、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.抛物线的准线方程为
A.
B.
C.
D.
【答案】D 【解析】【分析】
- 1 -
先把抛物线化为标准方程为【详解】解：
抛物线的标准方程为
，再求准线．
，
，开口朝上，准线方程为故选：D．
【点睛】在解答的过程当中充分运用抛物线的方程与性质是解题的关键．3.命题“A. C.
，，
，使
”的否定为（
）
B. D.
，，
，
【答案】A 【解析】
因为全称命题的否定是特称命题，使4.由点A.
【答案】C 【解析】
点到圆心的距离为故选C. 5.已知函数A.
【答案】B 【解析】【分析】求得函数求值．
【详解】解：函数可得在点
的导数为
处的切线斜率为
3，
，
的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为
，即可得到所
在点
B.
处的切线与直线
C. 3
垂直，则a的值为
D.
，圆的半径为
根据勾股定理可得切线长为
，
”，故选A. 引圆
的切线的长是（B.
）．
C.
D.
所以命题“
，使
”的否定为“
，
- 2 -
由切线与直线可得故选：B．
，
垂直，
【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线垂直的条件：斜率之积为查方程思想，属于基础题．6.已知双曲线C：公共焦点，则A.
的一条渐近线方程为
，且与椭圆
，考
有
C的方程为
B.
C.
D.
【答案】D 【解析】【分析】
求得椭圆的焦点，可得双曲线的
，由双曲线的渐近线方程可得
a，b的关系，解方程可得
a，b的值，进而得到所求双曲线的方程．
【详解】解：椭圆可得双曲线的
，即
的焦点为
，，
，
由双曲线的渐近线方程为可得解得
，，
，
．
则双曲线的方程为故选：D．
【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和焦点，同时考查椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题．7.已知互不重合的直线A. 若C. 若
,,
,,
,互不重合的平面,则
,则
,给出下列四个命题
B. 若D. 若
,错误．．的命题是（,,
,则//,
,则
）
- 3 -
【答案】B 【解析】【分析】
由线线平行的性质定义能判断的性质，即可判定【详解】由题意，在所以是正确的；在
,
,
A的正误；由面面平行的性质，可判定
D的正误.
，
C中，若
D
B的正误，由线面垂直
C的正误，由线面平行的性质，即可判定A中，若B中，若
,,
,
,则由面面垂直和线面垂直的性质可得,则
或//
，所以不正确的；在
,则由线面垂直的判定定理和性质定理，即可得
,，进而
,
,过直线
所以是正确的，故选
作平面B.
，所以是正确；在相交的平面
中，如图所示，若
，可得
，记
【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记点、线与面的位置关系的判定定理和性质定理，结合几何体的结构特征是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题8.实数x，y满足A. C.
【答案】C 【解析】【分析】设
，则
与圆
由交点在根据圆心到直线的距离小于等于半
.
，则
的取值范围是
B. D.
径列式，解不等式可得．【详解】解：设
，则
与圆
由交点，
- 4 -
圆心解得故选：C．
到直线
．
的距离，
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．9.已知过抛物线
，则p的值为
A. 2 【答案】C 【解析】【分析】
设直线AB的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系可物线的定义可知，【详解】解：抛物线准线方程为
直线AB的方程为代入
可得，
由抛物线的定义可知，
，
，
，
，
解得故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，考查直线与抛物线相交问题、焦点弦长问题、弦长公式，属于中档题．10.我国古代数学名著
九章算术
中有这样一些数学用语，
“堑堵”意指底面为直角三角形，
现有
．
，设
，，的焦点，
，
，即可得到p．
，
，由抛
B. 4
C.
D. 8
的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于
A，B两点，
且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥一如图所示的堑堵
，
，
，当堑堵
的外接球的体积为
- 5 -
时，则阳马体积的最大值为
A. 2 【答案】D 【解析】【分析】
B. 4 C. D.
由已知求出三棱柱外接球的半径，式求最值．【详解】解：
堑堵
，即．．
得到，进一步求得AB，再由棱锥体积公式结合基本不等
的外接球的体积为
，
，
其外接球的半径又则
，
．
即阳马故选：D．
【点睛】本题考查多面体的体积、均值定理等基础知识，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题．11.已知定义在
上的函数
满足
，其中
是函数
的导函数若
体积的最大值为
．
，则实数m的取值范围为
A.
B.
C.
D.
【答案】C 【解析】【分析】
- 6 -
令，，求出函数的导数，根据函数的单调性求出，，，
，
递减，
，
，
m的范围即可．
【详解】解：令则
函数在
，
，即
故故故选：C．
，解得：
，
，
，
，
【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．12.已知双曲线
的左、右顶点分别为
A，点F为双曲线的左焦点，过点
F作垂直于x轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线
连接AE，EA延长线交QF于点M，且A.
【答案】C 【解析】【分析】利用已知条件求出
B. 2
C于P、Q两点，连接PB交y轴于点
，则双曲线C的离心率为
C. 3
D. 5
P的坐标，然后求解E的坐标，推出M的坐标，利用中点坐标公式得到双
曲线的a，c关系，由离心率公式可得所求值．【详解】解：由题意可得可得BP的方程为：
时，则AE的方程为：则
，，
，
，，
，，
，
，
- 7 -
由可得即则
，可得M是线段QF的中点，
，，即，
，
故选：C．
【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共13.在棱长为1的正方体【答案】【解析】【分析】作出正方体，易知【详解】解：正方体
底面ABCD，即为
易知
，
，
故答案为：
．
与底面ABCD所成角，
即为所求角，容易得解．中，
4小题，共20.0分）
中，
与平面ABCD所成角的正弦值为
______．
【点睛】此题考查了斜线与平面所成角，属容易题．14.已知函数【答案】【解析】【分析】
求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可．【详解】解：
的定义域是，
令
，解得：
，
，
，则
的单调递增区间为
______．
- 8 -
故在递增，．
故答案为：
【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．15.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
______．
【答案】【解析】【分析】
由几何体的三视图得到该几何体是由底面直径为圆锥两部分组成，由此能求出该几何体的体积．
【详解】解：由几何体的三视图得到该几何体是由底面直径为和底面直径为
2高为1的半圆锥两部分组成，
2，高为2的圆柱
2，高为2的圆柱和底面直径为
2高为1的半
该几何体的体积为：
．
故答案为：
．
【点睛】本题考查几何体的体积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意三视图的合理运用．16.设则【答案】【解析】
，
分别是椭圆
的最大值为______．
的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点
M的坐标为，
- 9 -
【分析】根据条件求出
a，和c的值，结合椭圆的定义进行转化，利用三点共线的性质进行求解即可．
，即焦点坐标为
，
，
【详解】解：椭圆中的点M在椭圆的外部，则
，当且仅当M，故答案为：
，P三点共线时取等号，，
【点睛】本题主要考查椭圆定义的应用，利用椭圆定义转化为三点共线是解决本题的关键．三、解答题（本大题共17.已知命题若若
6小题，共70.0分）；命题q：关于x的方程
有两个不同的实数根．
为真命题，求实数为真命题，
；（2）
m的取值范围；
m的取值范围．
为假命题，求实数
【答案】（1）【解析】【分析】根据
为真，则p真q真，求出命题为真命题，
为假命题，则命题
p，q为真命题的等价条件即可
p，q一个为真命题，一个为假命题，讨论即可
，解得
【详解】解：若
当命题q为真时，则
为真，则p真q真，
，解得，
即实数m的取值范围为若
为真命题，
为假命题，则
p，q一真一假，
；
若p真q假，则
，解得
若p假q真，则，解得
- 10 -
综上所述，实数m的取值范围为
p，q为真命题的等价条件是解决
【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的应用，求出命题本题的关键．18.已知方程C：
若方程C表示圆，求实数
，
m的范围；
l：
相交于M、N两点，且
，求m的
在方程表示圆时，该圆与直线值．
【答案】（1）【解析】【分析】
；（2）
根据题意，由二元二次方程表示圆的条件可得围，即可得答案；根据题意，由圆得
【详解】解：则有
即m的取值范围为根据题意，方程圆心
到直线
；
，解可得m的取值范
C的方程分析圆心，求出圆心到直线的距离，结合直线与圆的位置关系可
，解可得m的值，即可得答案．
根据题意，若方程C：
，
表示圆，
，解可得
C：
的距离
，其圆心为
，
，
若圆C与直线l：解得则
．；
相交于M、N两点，且，则有，
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及二元二次方程表示圆的条件以及弦长的计算，属于基础题．
19.如图所示，在直三棱柱是
中点．证明：若三棱锥
平面
；
的体积为
，求该正三棱柱的底面边长．
中，
为正三角形，
，M是
的中点，N
- 11 -
【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】连接
，利用中位线得线线平行，进而得线面平行；
设底面边长为【详解】解：
是又N是
a，转化三棱锥的顶点为
证明：连接
M，利用体积不难列出方程求得a值．
C，
的中点，的中点，
C，
又
平面平面解：是
的中点，
的距离是C到平面交AB于P，
的距离的一半，
，
，
平面
，
到平面如图，作
由正三棱柱的性质，
- 12 -
易证平面，
设底面正三角形边长为则三棱锥
的高
，
a，
，
解得．
．
故该正三棱柱的底面边长为
【点睛】此题考查了线面平行，三棱锥的体积等，难度适中．20.已知函数
在求求
处有极值．
，曲线
在点
处的切线方程为
，
的解析式．
在
上的最小值．
；（2）
【答案】（1）【解析】【分析】
由题意得到关于结合即可．【详解】
，
a，b的方程组，求解方程组即可确定函数的解析式；
中求得的函数解析式研究函数的极值和函数在端点处的函数值确定函数的最小值
．
曲线即
在点P处的切线方程为
，
在处有极值，所以，
由所以由
得，，，
知．
- 13 -
令当当当
，得时，时，时，
，，；，．
．
单调递增；单调递减；单调递增.
又因，所以在区间上的最小值为．
【点睛】本题主要考查由函数的切线方程确定函数解析式的方法，利用导数研究函数的最值等，属于中等题．21.如图，求证：
中，平面EAB；
，ACDE是边长为6的正方形，平面
底面ABC．
求几何体AEDCB的体积．
【答案】（1）见解析；（2）36 【解析】【分析】推导出
，
平面ABC，
由此能证明
平面ACDE，由此能求出几何体
，
平面
，
平面ACDE，
平面EAB．
取AC的中点G，连BG，推导出【详解】证明：又
平面
为正方形，
平面ABC，平面
．
，，
又
，
平面
．
AEDCB的体积．
平面ABC，
又
- 14 -
解：取AC的中点G，连BG，，且，且平面ACDE，
，，又平面
平面ABC
几何体AEDCB的体积
【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查几可体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．22.已知椭圆C：且
，P为C的下顶点，F为其右焦点，点G的坐标为
，椭圆C的离心率为
求椭圆C的标准方程；已知点大值．【答案】（1）【解析】【分析】
由离心率公式及题中条件可得设直线l的方程为
；（2）1
，直线l：
交椭圆C于不同的两点．
，
A，B，求
面积的最
a，b，c的方程，解得a，b，即可得到所求椭圆方程；
，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式、点到直
线的距离公式和三角形的面积公式，结合基本不等式，可得所求最小值．【详解】解：即有
，
，
；
，
由题意得，
，
，
，
所求椭圆的方程为设直线l的方程为
由，得，
由题意得，，
- 15 -
得设则
，
，即
，
或，
，
，
又由题意得，
的面积
当且仅当所以
，即
的面积的最大值为
时取等号，且此时满足1．
，
到直线
的距离
，
，
【点睛】本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，考查基本不等式的运用：求最值，考查化简运算能力，属于中档题．
- 16 -
- 17 -
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