求椭圆方程专题练习

题型一 已知椭圆求方程----设列解答求方程

椭圆C：x2y216a2b21(ab0)过点P(3,1)且离心率为3

a解：依题意可知解得b 椭圆方程为x2y21

a2b2c2cy2x22椭圆

E：a2b21ab0经过点A3,0和点B0,2 解：依题意可知解得ab 椭圆方程为x2y2

1

a2b2c2c223椭圆C:xa2yb21(ab0)过点(1,32)，且离心率

e12

a解：依题意可知

解得b 椭圆方程为x2y21 a2b2c2c4椭圆C：x2y23a2b21(ab0)的离心率为2，且在x轴上的

顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)

a解：依题意可知  b 椭圆方程为x2y2解得1

a2b2c2c5椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离 的最大值为3；最小值为1 a解：依题意可知 椭圆方程为x2y2解得1

ba2b2c2c6椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x24y的焦

点，离心率等于255。



解：依题意可知解得ab 椭圆方程为x2y21 a2b2c2c7椭圆C:x2y2a221(a0)的左右焦点分别为F1、F2，A是椭圆C上的一点，AFF0，坐标原点O到直线AF121F21的距离为3OF1．

a解：依题意可知 解得 b 椭圆方程为x2y2 1a2b2c2c

8. F1、F2分别为椭圆C：x2y2a2b21(ab0)的左、右两个焦点，A、B为两个

顶点，已知椭圆C上的点(1,32)到F1、F2两点的距离之和为4.

a解：依题意可知解得b 椭圆方程为x2y21 a2b2c2c9.椭圆离心率为

33，过焦点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433



ax 解：依题意可知解得2b 椭圆方程为y21 

a2b2c2c

Fx2a＋y210.设1、F2分别是椭圆2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，当a＝2b时，点P在椭圆上，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，求椭圆方程． 已知点P(3,4)是椭圆x2y211.a2＋b2＝1(a＞b＞0)上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点， 若PF→1·PF→2＝0. 二 定义求椭圆方程

1已知F0),F31(2，2(2，0)两点，曲线C上的动点P满足PF1PF22F1F2, 求曲线的方程

2一个动圆与圆x2y26x50外切，同时与圆x2y26x910内切，求动圆的圆心轨迹方程。 M

F1F2

3. M(x220,y0)圆F1(x1)y9上的一个动点, 点F2（1,0）为定点。

线段MF2的垂直平分线与MF1相交于点Q(x,y),求点Q的轨迹方程

M QF 1F2

3. 设点A,B的坐标分别是（-5,0），（5,0），直线AM,BM相交于点M，且他们的斜率的乘积为49，求点M的轨迹方程

【练习】1．如图1，ABC中，已知B(2,0)，C(2,0)，点A在x轴上方运动，且tanBtanC2，则顶点A的轨迹方程是 ．

2．如图2，若圆C：(x1)2y236上的动点M与点B(1,0)连线BM的垂直平分线交CM于点G，则G的轨迹方程是 ．

3．如图3，已知点A(3,0)，点P在圆x2y21上运动，AOP的平分线交AP于Q，则Q的轨迹方程是 ．

4．与双曲线x22y22有共同的渐近线，且经过点(2,2)的双曲线方程为 ．

5．如图4，垂直于y轴的直线与y轴及抛物线y22(x1)分别交于点A、P，

点B在y轴上，且点A满足|AB|2|OA|，则线段PB的中点Q的轨迹方程是 ．

圆锥曲线定义解题专题

1、椭圆的定义 MF1MF12a2aF1F202、双曲线的定义 MF1MF2a102aF1F23、抛物线的定义 MFdF为焦点，d为动点M到准线l的距离【样题】（1）椭圆

x225y291上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于( )

A. 4 B. 2 C.

32 D. 8 （2）已知双曲线的方程是

x2y21681，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，点N是PF1的中点，则ON的大小为

（3）设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P， 若PF1F2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是____

【练习】

（1）F1、F2是椭圆的两个焦点，过F2作一条直线交椭圆于P、Q两点， 使PF1⊥PQ，且｜PF1｜=｜PQ｜，求椭圆的离心率e.

（2）点P是椭圆x2y2

25＋16＝1上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，且△PF1F2

的内切圆半径为1，当P点在第一象限时，P点的纵坐标为( )

A.83

B.58 C.38

D.8

5 （3）已知椭圆 x2y2421的两个焦点是F1，F2，点P在该椭圆上． 若|PF1||PF2|2，则△PF1F2的面积是_____

、Fx24）已知F12为双曲线C:4y21的左、右焦点，点P在C上， ∠F01PF2=60，则P到x轴的距离为 （ ） A．5 B． 155 C． 2151555 D． 20 （5）设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1、F2，若曲线C上存在点P满足

PF1：F1F2：PF2=4：3：2，则曲线C的离心率等于（ ）

（A）2或332 （B）21133或2 （C）2或2 （D）2或2

（6）已知定点A的坐标为(1,4)，点F是双曲线

x2y24121的左焦点， 点P是双曲线右支上的动点，则PFPA的最小值为

（ （7）已知抛物线y22px的焦点F与双曲线

x2y2791的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|2|AF|，

则△AFK的面积为（ ）

（A）4 （B）8 （C）16 （D）32

（8）已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为

，

直线

交椭圆

于

两点．若

，点

到直线的距

离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

（9）已知

,

是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得,

则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A． B．

C．

D．

(10)已知

为椭圆的两个焦点，P在椭圆上且

满足

，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）

A． B．

C．

D．

(11)

椭圆

的左右焦点分别为

,焦距为

，

若直线

与椭圆的一个交点满足

, 则该椭圆的离心率等于____

（12）已知直线l1:4x3y60和直线l2:x1，抛物线y24x

上一动点P到直线l1 和直线l2的距离之和的最小值是（ ） （A）355 （B）2 （C）115 （D）3

(13)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的直线l依次交抛物线及其准线于点A，B，C，

若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程是______

圆锥曲线重点知识体系

1. P1(x1,y1)、P2(x2,y2)， 则Ky1y2P1P2=

xtan PPxx2yy2x12中点（1,1） 12222.直线的方程 如果直线已给，看是过定点还是平行直线系问题

（1）点斜式 :K存在yy0k(xx0) K不存在xx0

（2）斜截式 :xmyn 合二为一 （3）一般式 ：AxByC0

3.两条直线：l1//l2，则k1k2 l1l2，则k1k21 4.点P(x|Ax0By0C|0,y0)到直线AxByC0的距离dA2B2

5.弦长公式：|AB|1k2|x21x2|1k(x21x2)4x1x2

6.圆的四种方程

（1）圆的标准方程(xa)2(yb)2r2 圆心(a,b) 半径r （2）圆的一般方程x2y2DxEyF0

圆心(DD2E242,E2)半径rF2

7. 椭圆定义： PF1PF22a(2aF1F22c)

P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，长轴长为2a的椭圆

8. 椭圆的标准方程、图形及几何性质： 中心在原点，焦点在x轴上 中心在原点，焦点在y轴上 x2y2标准方程y2a2b21(ab0) x2a2b21(ab0) 图形 椭圆的参xacos数方程 （xbcos（为参数） ybsin为参数） yasin焦半径PF 最大距离为：ac 最小距离为：ac 对称性 x轴，y轴为对称轴 原点O(0,0)为对称中心 焦点 F1(c,0) F2(c,0) F1(0,c) F2(0,c) 定量值 长轴长2a 短轴长2b 焦距2c a,b,c关系 a2b2c2 离心率 eca=2c2a (0e1) ,e越大椭圆越扁，e越小椭圆越圆。 通径 过焦点与焦点所在轴垂直的直线交椭圆于两点A,B,则AB=2b2a 9.双曲线的方程及几何性质 x2y2标准方程1(a0,y2x2a2b2b0) a2b21(a0,b0) 图 形 范围 xa，yR ya，xR 顶 点 （a,0） (a,0) (0, a,) (0，a) 定量值 实轴长 2a 虚轴长 2b 焦距 2c a,b,c关系c2b2a2 通径 过焦点与焦点所在轴垂直的直线交椭圆于两点A,B,则AB=2b2a 10. 渐近线的求法：开平方 变正负 常为零 共渐近线：常为K 11. 等轴双曲线：a=b, 渐近线互相垂直且为yx ，离心率为2

共轭双曲线：x2y2y2x212.a2b21的共轭双曲线是b2a21 ,

且他们渐近线相同

13.抛物线（1）定义PF=d ；

（2）方程看一次，除4定焦点 填负为准线

圆锥曲线部分 核心：玩点 读译式解题 一问：题型一设列解答求方程

椭圆：a2b2c2，eca，PF2b21PF22a，点代入曲线，通径a （过焦

点与x轴垂直的弦）

x2y2椭圆常见方程：431 一问：轨迹方程问题：定义求椭圆，向量解方程问题

二问：（1）读点解关系---比例问题为先，代入求解为辅 三种相似三角形 （2）设而不求+韦达（有明显的直线交曲线于AB两点）注意直线设法x=ky+m解决面积问题

（3）出现y用直线替代 （4）向量数量积， 弦长公式

AB1k2|x1x2|1k2(x1x2)24x1x2

（5） 点到直线的距离公式

|Ax0By0C|A2B2

（6） 面积（分解成OF为底边，y1y2为高或点线距与弦长问题两种）

面积最值（二次函数，均值不等式；注意如果有斜率不存在的时候，肯定是斜率不存在为答案）

（7）定值问题找特殊位置（一般都是端点） 【小题】双曲线离心率e=

cba，渐近线yax

（实际上这两个量就是韦达定理）问题 常见答案：e2等轴双曲线，e512黄金双曲线，e=2 焦点到渐近线距离为b

离心率：多考虑定义PF2c1PF22a，离心率实际上是e2a 【抛物线】

1.看一次项，系数除4定焦点，填负为准线 2. 考虑定义PF=d

抛物线定值问题应该引起足够重视： 前提过焦点的直线交抛物线于AB两点

AB2Psin2 ； Sp2OAB2sin;1;

AF1BF2PyAyBP2

过焦点做两条互相垂直的弦AB,CD：

1AB11CD2P 【2018年高考八大题型突破训练】 第五部分 圆锥曲线

【A版本传统题目】-设列解答（4分）--设而不求（4分）--弦长、面积、向量、最值、定值问题等（4分）

x2y2【2017年全国1卷-20题】已知椭圆C：22=1（a>b>0），四点P1（1,1），P2

ab(2mn)24(m24)(n24)02mn----------------设而不求（韦达定理）4分（理y1y22m4n24y1y22斜率 m4 弦长公式 33（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上. 科必须到此环节） 关键词：直线与曲线交于A、B两点 22（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，

证明：l过定点. 【试题解析】

1）依题意，可知由于P3，P4两点关于y轴对称，C不经过点P1，所以点P2在C上. 112x2a4b2因此，解得2. 故椭圆C的方程为y21. ------4分（整

4b1131a24b2又kP2AkP2B1y11y21y1y11121 x10x20my1nmy2n整理得：(2mm2)y1y2(nmmn)(y1y2)n22n0----1分

n242mn(2mm)(2)(nmmn)(2)n22n0

m4m42整理得nm2----1分

面积公式 数量积 平行（共线 垂直 最值求法 xmym2x2m(y1)----1分

体给分）

2）设直线l的方程为x=my+n ---------（当直线有斜率不存在的时候，避免讨论，可以这样设直线）

直线l不经过P2点，所以mn0

直线过定点所以l过定点（2，1）----1分 【2018年高考八大题型突破训练】 第五部分 圆锥

【B版本思维转换题目】-----点是解题的核心---初高中知识衔接--相似三角形、比例线段、中垂线等

xmyn2222整理得：(m4)y2mnyn40 2x4y4x2y21上，过M[2017全国2卷20题]设O为坐标原点，动点M在椭圆C：2作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP(1) 求点P的轨迹方程；

2NM。

(2)设点Q在直线x3上，且OPPQ1。证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。

试题解析：（1）设

Px,y,Mx0,y0,设Nx0,0,

NPxx0,y,NM0,y0。

由NP2NM得x0x,y022 (2)【线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等2018年高考八大题型突破训练】 第五部分 圆

xy21。 因为Mx0,y0在C上，所以y。

22222x2y2【练习1】.设F1,F2分别是椭圆C:221(ab0)的左右焦点，M是Cab上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N（.1）若直线MN的斜率为

因此点P的轨迹方程为xy2。

（2）由题意知F1,0。设Q3,t,Pm,n,

则OQ3,t,PF1m,n,OQPF33mtn，

3，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且4|MN|5|F1N|，求a,b.

OPm,n,PQ3m,tn。由OPPQ1得3mm2tnn21，又

由（1）知mn2，故33mtn0。所以OQPF0，即OQPF。又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。

(1)相似三角形的比例模式

22x2y21(a0)的左右焦点分别为F1、F2，A是椭圆【练习2】.设椭圆C:2a2C上的一点，AF2F1F20，坐标原点O到直线AF1的距离为

1OF1．（1）求椭3B E A D C

圆C的方程；（2）设Q是椭圆C上的一点，N(点M，若MQ2QN，求直线l的斜率．

1,0),连接QN的直线交y轴于2x2y2【练习3】已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆方程为221，

ab

x2y21.椭圆1的离心率是

94椭圆上到焦点距离最大值为3.最小值为1

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）A,B为椭圆上的点，ABC面积为3，求证：OAOB为定值.

x2y2【练习4】在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:221(ab0)的左、右焦

ab22x2y22.已知F1,F2是双曲线E:221的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂ab直，sinMF2F1（D）2

3.已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（ ） A．13,则E的离心率为（ ） （A）2（B）（C）332点分别为F1, F2, 离心率为

1,AB长为7，点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF12的垂线l1,

过点F2作直线PF2的垂线l2. （1）求椭圆E的标准方程；

（2）若直线E的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标. F1 y A 5 B．2 C．3 D．2 O F2 x x2y224.若双曲线C:221（a0，b0）的一条渐近线被圆x2y24所abB 截得的弦长为2，则C的离心率为（ ） A．2 B．3 C．2

【练习5】已知椭圆

两点

，

（）的半焦距为，原点到经过

D．23 35.已知F是抛物线C:y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交

的直线的距离为

．（I）求椭圆

的离心率；（II）如图，

是圆

y轴于点

N。若M为FN的中点，则FN 6.抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_______．

的一条直径，若椭圆

经过

，

两点，求椭圆

的方程．

7.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB|=42,|DE|=25,则C的焦点到准线的距离为( ) (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 8.设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线线段PF上的点，且

=2

上任意一点，M是

,则直线OM的斜率的最大值为( )

（A）

（B）

2（C）

（D）1

9.设F为抛物线C:y3x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点，则AB( )

（A）

30 （B）6 （C）12 （D）373 x2y210双曲线C:221(a0,b0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，ab则C的焦距等于( )

A. 2 B. 22 C.4 D.42