等差数列及前n项和

核心考点：（1）等差数列的通项公式，前n项和Sn （2）等差数列的性质与判定

（3）利用an和Sn的关系式求通项公式an,或者利用递推公式构造等差数列求通项

考查形式：“一小一大”的格局，“一小”注重等差数列的简单应用及基本求解，分值为5分；“一大”以等差等比的综合运算为主，分值为12分。 温故知新： （1） 概念：

数列:按照 排列的一列数称为数列。 项：数列中的 叫做这个数列的项

通项公式：如果数列｛an｝的 与 之间的关系可以用 来表示，那么这个 叫做这个数列的通项公式。

等差数列：一般地，如果一个数列从 起， 与它的 的差

等于常数，那么这个数列叫做等差数列。这个 叫做这个数列的公差

等差中项：由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列。这时 A 叫做a与b的等差中项。 （2） 数列的分类：

（ ）

按项数分

（ ）

（ ），d＞0 按项与项之间的关系分 （ ），d＜0

（ ），d=0 摆动数列

（3） 公式：

通项公式： an=a1+(n-1)d

an=am+(n-m)d (n,m∈N＊)n

an=pn+q 递推公式：an-an-1=d (n≧2)或an+1-an=d(n≧1) n(a1+an) n(n-1) d

前n项和：Sn= 2 或 Sn=na1 + 2 S1，n=1 通项an与前n项和Sn的关系：an= Sn-Sn-1,n≧2

sd2dna1n22 (4) 等差前n项和公式 与函数的关系：(5) 等差数列的性质：

❶ 若m+n=p+q(m,n,p,q∈N＊),则有am+an=ap+aq

❷ 等差数列｛an｝的单调性：当d>0时，｛an｝是递增数列；当d<0时，｛an｝是递减数列；当d=0时,｛an｝是常数列。

❸ 若｛an｝是等差数列，公差为d，则ak,ak+m,ak+2m,...（k,m∈N＊）是公差为md的等差数列。

❹ 若｛an｝等差数列，则｛Sn/n｝也是等差数列，其首项与｛an｝首项相同，其公差是｛an｝公差的1/2。

❺ 若｛an｝是等差数列，Sm,S2m,S3m分别为｛an｝的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列，公差为m²d（d为数列｛an｝的公差） ❻关于非零等差数列奇数项与偶数项的性质 Ⅰ、若项数为2n，则S偶-S奇=nd，S奇/S偶=an/an+1

Ⅱ、若项数为2n-1,则S偶=（n-1）an，S奇=nan,S奇-S偶=an，S奇/S偶=n/(n-1)。 （6）等差数列的判定与证明

（1）定义法：an＋1－an＝d (d 是常数)⇔{an}是等差数列.

（2）等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2 (n∈N*)⇔{an}是等差数列.

（3）通项公式：an＝pn＋q(p，q 为常数)⇔{an}是等差数列. （4）前 n 项和公式：Sn＝An²＋Bn (A、B 为常数)⇔{an}是等差数列.

2. 方程思想和化归思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为 a1和 d

等基本量，通过建立方程(组)获得解.

经典题型：

（1）数列通项公式、等差数列基本量运算、等差数列性质运用。

1．数列 0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式是 an等于（ ）

n(1)A.｛＋1｝/2 B.cos nπ/2 C.cos(n＋1)π/2 D.cos(n＋2)π/2

2．已知数列{an}的通项公式是 an＝(n－1)/(n＋1)，那么这个数列是（ A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列

3．在数列{an}中，已知 a1＝1，an＋1＝2an＋1，则其通项公式为 an＝（ ）

nn1A.21 B.21 C.2n－1 D.2(n－1)

4.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a3＋a8＝13，S7＝35，则 a7＝________

（2）数列的通项、递推式

5.数列{an}的通项公式是 an＝n²－7n＋6. （Ⅰ）这个数列的第 4 项是多少？

（Ⅱ）150 是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ （Ⅲ）该数列从第几项开始各项都是正数？

◆变式练习 1：已知 an＝n²＋λn，且对于任意的 n∈N*，数列{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是________.

名师点睛：数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．因此，在研究数列时常常利用函数的性质，如单调性 （3）等差数列的通项公式及前n项和

1．设{an}为等差数列，若a2＝2，a3＝3，则a5＝（ ） A．4

B．5

C．6

D．7

2．等差数列{an}中，Sn是它的前n项和，a2+a3＝10，S6＝54，则该数列的公差d为（ ） A．2

B．3

C．4

D．6

3.{an}是首顶a1＝1，公差d＝3的等差数列，如果an＝2020，则序号n等于（ ） A．671

B．672

C．673

D．674

4.已知等差数列{an}各项均为正数，a1+a2+a3＝12，a1•a2•a3＝48，则数列{an}的通项公式为（ ） A．2n

B．n+2

C．3n﹣2

D．n

5.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a5＝3，S3＝． （1）求{an}的通项公式； （2）若Sm＝27，求m．

◆变式练习2.Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝20，S9＝45． （Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）求Sn，并求当Sn取得最大值时n的值．

名师点睛：等差数列的通项及前 n 项和公式共涉及五个量 n n a , a , d, n, S 1 ，知其中三个就能求出另外两个，体现了方程组思想 （4）利用an和Sn的关系式求通项公式

1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S17＝255，a10＝20，则数列{an}的公差为（ ） A．3

B．4

C．5

D．6

2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝4，a4＝2，则S6＝（ ） A．0

B．10

C．15

D．30

3．正项等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3+a9﹣a62+15＝0，则S11＝（ ） A．35

B．36

C．45

D．55

4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S13＝52，则a4+a8+a9＝ ． 5.已知数列{an}的各项均为正数，前 n 项和为 Sn，且满足 2Sn＝an²＋n－4(n∈N＋)．

（Ｉ）求证：数列{an}为等差数列； （Ⅱ）求数列{an}的通项公式．