2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(附答案)(16)

1、已知圆心分别为O1,O2的圆1,2外切于点D，并内切于圆，切点分别为E,F，过点D作1,2的公切线。设圆的直径AB垂直于，使得A,E,O1在的同侧，证明（第47届IMO预选题） AO1,BO2,EF三线交于一点。

2、已知a,b,cR,且abc1,求证:

abbcca2(abc) cab

3、给定四个数a、b、c、d，按下列法则进行变换：前一个乘后一个，第四个乘第一个，得到一组新数ab、bc、cd、da．从这组新数出发，再按上述法则又得到一组新数，如此下去．证明：除a＝b＝c＝d＝1或0的特殊情况外，不会再出现原来的四个数．

4．若n{1,2,,100}且n是其各位数字和的倍数，这样的n有多少个？

加试模拟训练题（16）

1、已知圆心分别为O1,O2的圆1,2外切于点D，并内切于圆，切点分别为E,F，过点D作1,2的公切线。设圆的直径AB垂直于，使得A,E,O1在的同侧，证明（第47届IMO预选题） AO1,BO2,EF三线交于一点。

证明 设AB的中点为O，E为圆与圆1的位似中心，由于半径OB,O1D分别垂直于，所以OB∥O1D，且有E,D,B三点共线。同理F,D,A三点共线。

设AE,BF交于点C，由于AFBC,BEAC，所以D是ABC的垂心，于是

CDAB，这表明C在直线上。

设EF与直线交于点P，下面证明点P在直线AO1上。设AC与圆1的第二个交点为

N，则ND是圆1的直径，由梅涅劳斯定理的逆定理，要证A,O1,P三点共线，只要证

CACPCANO1DP。设与AB交于点K，则1。因为NO1O1D，所以只要证

ANPDANO1DPCCACKCPCK，从而只要证，即证C,P,D,K是调和点列。连AP交BC于点X，ANKDPDKD则C,X,F,B是调和点列，因此有C,P,D,K是调和点列。

2、已知a,b,cR,且abc1,求证:

abbcca2(abc) cab证明:为书写简便,首先令x3a,y3b,z3c;

x3y3y3z3z3x3333则原不等式可化为:2(xyz) 333zxy结合条件xyz1知只需证齐次不等式:

x3y3y3z3z3x32(x3y3z3). 333zxyxyz11x3y3y3z3z3x333313 (xyz)因为=333333yzzxyx(x3y3z3)3113[2(x3y3z3)(x3y3z3)]3 xyzxyz2(x3y3z3)1333.所以原不等式得证. [2(xyz)3xyz]3=

xyzxyz3、给定四个数a、b、c、d，按下列法则进行变换：前一个乘后一个，第四个乘第一个，

得到一组新数ab、bc、cd、da．从这组新数出发，再按上述法则又得到一组新数，如此下去．证明：除a＝b＝c＝d＝1或0的特殊情况外，不会再出现原来的四个数．

【证】:设在变换n次后又出现原来4个数a、b、c、d．因为一次变换后4数之积为(abcd)2，…，第n次变换后4数之积为(abcd)2n，所以abcd＝1或0． 若a、b、c、d中有一个为0，则易知两次变换后，所得数均为0．

设abcd＝1，则三次变换后所得的数A＝a2b2，B＝b2c2，C＝c2d2，D＝d2a2都是正数，且满足AC＝BD＝1．

不妨设A最大，经2n次变换后，最大数为A2n．

由于经若干次变换后，A、B、C、D又重新出现，所以必有A＝1，从而B＝C＝D＝1．由此易知a＝b＝c＝d＝1．

4．若n{1,2,,100}且n是其各位数字和的倍数，这样的n有多少个？解：（1）若n为个位数字时，显然适合，这种情况共有9种； （2）若n为100时，也适合；

（3）若n为二位数时，不妨设nab，则n10ab，由题意得(ab)|(10b)

10ab9aZ即Z也就是(ab)|9a； abab若b0显然适合，此种情况共有9种；

即

若b0，则由aba，故3|(ab)

若(ab)|9，则显然可以，此时共有2＋8＝10个；

若（ab）9，则ab6或ab12，这样的数共有24,42,48,84共4个； 综上所述，共有9＋1＋9＋10＋4＝33个。