高考物理复习 洛伦兹力 带电粒子在磁场中的运动

教学目标：

1．掌握洛仑兹力的概念；

2．熟练解决带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动问题 教学重点：带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动 教学难点：带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动 I.洛伦兹力 1.洛伦兹力表达式

运动电荷在磁场中受到的磁场力叫洛伦兹力，它是安培力的微观表现。

计算公式的推导：如图所示，整个导线受到的磁场力（安培力）为F安 =BIL；其中I=nesv；设导线中共有N个自由电子N=nsL；每个电子受的磁场力为F，则F安=NF。由以上四式可得

F=qvB。条件是v与B垂直。当v与B成θ角时，F=qvBsinθ。 2.洛伦兹力方向的判定

在用左手定则时，四指必须指电流方向（不是速度方向），即正电荷定向移动的方向；对负电荷，四指应指负电荷定向移动方向的反方向。分析时要弄清哪个电荷带何种电性质的电荷.

a 例1.如图所示,在匀强磁场中有一铜质导体,通有图示方向的电流,则该导体的两个侧面a、b的电势哪一侧较高?（答案：a侧较高）

练习1. 半导体靠自由电子（带负电）和空穴（相当于带正电）导电，分为p型和n型两种。p型中空穴为多数载流子；n型中自由电子为多数载流子。用以下实验可以判定一块半导体材料是p型还是n型：将材料放在匀强磁场中，通以图示方向的电流I，用电压表判定上下两个表面的电

势高低，若上极板电势高，就是p型半导体；若下极板电势高，就是n型半导体。试分析原因。 解：分别判定空穴和自由电子所受的洛伦兹力的方向，由于四指指电流方向，都向右，所以洛伦兹力方向都向上，它们都将向上偏转。p型半导体中空穴多，上极板的电势高；n型半导体中自由电子多，上极板电势低。

b

F F安 B I 练习2.如图所示，在空间有匀强磁场，磁感应强度的方向垂直纸面向里，大小为B，光滑绝缘空心管MN的长度为h，管内M端有一质量为m、带正电q的小球，开始时小球相对管静止. 管带着小球沿垂直于管长度方向的恒定速度向图中右方运动，设重力及其他阻力均可忽略不计.

⑴当小球相对管上升的速度为v时，小球上升的加速度多大？

⑵小球从管的另一端N离开管口后，在磁场中做圆周运动的圆半径R多大？

⑶小球在从管的M端到N端的过程中，管壁对小球做的功是多少？

MNhu答案： （1）a（3）Ｗ＝Ｂquh

BqumV1；（2）R2Bquhmm2u2 mBqBqII.带电粒子在匀强磁场的运动

带电粒子在匀强磁场中仅受洛伦兹力而做匀速圆周运动时，洛伦兹力充当向心力，由此可以推导出该圆周运动的半径公式和周期公式：

rmv,T2m BqBq处理该类问题的关键是画出粒子在磁场中运动的轨迹示意图，或临界轨迹。

例2.如图所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a、b、c和d，外筒的外半径为r，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感强度的大小为B。在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场。一质量为ｍ、带电量为＋q的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝a的S点出发，初速为零。如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S，则两电极之间的电压U应是多少？（不计重力，整个装置在真空中）

解析：如图所示，带电粒子从S点出发，在两筒之间的电场作用下加速，沿径向穿过狭缝a而进入磁场区，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动。粒子再回到S点的条件是能沿径向穿过狭缝d.只要穿过了d，粒子就会在电场力作用下先减速，再反向加速，经d重新进入磁场区，然后粒子以同样方式经过c、b，再回到S点。设粒子进入磁场区的速度大小为V，根据动能定理，有

qU1mv2 2设粒子做匀速圆周运动的半径为R，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律，有

v2Bqvm

R由前面分析可知，要回到S点，粒子从a到d必经过外半径r，即R=r.由以上各式解得；

3圆周，所以半径R必定等于筒的4B2qr2U.

2m练习2.如图所示，竖直向下的匀强磁场穿过光滑的绝缘水平面，平面上一个钉子O固定一根细线，细线的另一端系一带电小球，小球在光滑水平面内绕O做匀速圆周运动.在某时刻细线断开，小球仍然在匀强磁场中做匀速圆周运动，下列说法一定错误的是 (Ａ)

A.速率变小，半径变小，周期不变 B.速率不变，半径不变，周期不变

C.速率不变，半径变大，周期变大 D.速率不变，半径变小，周期变小

III. 带电粒子在半有界磁场中的运动

处理这一类物理问题要画出带电粒子运动的临界轨迹.

例3.如图所示，一束电子（电量为e）以速度v垂直射入磁感强度为B，宽度为d的匀强磁场中，穿透磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角是30°，则电子的质量是 ，穿透磁场的时间是 。

解析：电子在磁场中运动，只受洛仑兹力作用，故其轨迹是圆弧的一部分，

又因为f⊥v，故圆心在电子穿入和穿出磁场时受到洛仑兹力指向交点上，如图中的O点，由

几何知识知，AB间圆心角θ＝30°，OB为半径。

∴r=d/sin30°=2d，又由r=mv/Be得m=2dBe/v

又∵AB圆心角是30°，∴穿透时间t=T/12，故t=πd/3v。

O B m 练习3.长为L的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图所示，磁感强度为B，板间距离也为L，板不带电，现有质量为m，电量为q的带正电粒子（不计重力），从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是：

A．使粒子的速度v5BqL/4m； C．使粒子的速度v>BqL/m； D．使粒子速度BqL/4m解析：由左手定则判得粒子在磁场中间向上偏，而作匀速圆周运动，很明显，圆周运动的半径大于某值r1时粒子可以从极板右边穿出，而半径小于某值r2时粒子可从极板的左边穿出，现在问题归结为求粒子能在右边穿出时r的最小值r1以及粒子在左边穿出时r的最大值r2，由几何知识得：

粒子擦着板从右边穿出时，圆心在O点，有： r12＝L2+（r1-L/2）2得r1=5L/4，

又由于r1=mv1/Bq得v1=5BqL/4m，∴v>5BqL/4m时粒子能从右边穿出。

粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在O＇点，有r2＝L/4，又由r2＝mv2/Bq=L/4得v2＝BqL/4m ∴v2例4.如图直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。正、负电子同时从同一点O以与MN成30°角的同样速度v射入磁场（电子质量为m，电荷为e），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？

解：由公式知，它们的半径和周期是相同的。只是偏转方向相反。先确定圆心，画出半径，由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。所以两个射出点相距2r，由图还可看出，

2mv4m经历时间相差2T/3。答案为射出点相距s，时间差为t。关键是找圆心、找半

Be3Bq径和用对称。

练习4.一个负离子，质量为m，电量大小为q，以速率v垂直于屏S经过小

M N 孔O射入存在着匀强磁场的真空室中，如图所示。磁感应强度B的方向与离子的运动方向垂直，并垂直于图1中纸面向里.

（1）求离子进入磁场后到达屏S上时的位置与O点的距离.

（2）如果离子进入磁场后经过时间t到达位置P，证明:直线OP与离子入射方向之间的夹角θ跟t的关系是qBt。 2m解析：（1）离子的初速度与匀强磁场的方向垂直，在洛仑兹力作用下，做匀速圆周运动.设圆半径为r，则据牛顿第二定律可得：

v2mvBqvm ，解得r

rBq如图所示，离了回到屏S上的位置A与O点的距离为：AO=2r 所以AO2mv BqvtBqt rm（2）当离子到位置P时，圆心角：因为2，所以qBt. 2m例5.如图所示，一足够长的矩形区域abcd内充满磁感强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，现从区域ad边的中点O处，垂直磁场射入一速度方向跟ad边夹角为30，大小为v0的带电粒子，已知粒子质量为m，电量为q，ad边长为L，重力不计。

（1）v0的大小在什么范围内时粒子能从ab边上射出磁场？ （2）粒子在磁场中运动的可能的最长时间是多少？

解：（1）找临界轨迹如图，因入射方向确定，圆心定都在一条线上，轨迹与ab边相切时，圆心为O1，R1=圆心为O2

由几何知识得：

LL-R1cos60°，得R1=，轨迹与cd边相切时，23L2cot30L R2=

cos30又：R=

mv0qBR，得：v0= qBm故范围：

qBRqBL v03mm2m qB（2）经分析由ad边射出的粒子时间相等且最长 T=圆心角=360°-60°=300° 所以t=

300360T5m 3qB练习5.07宁夏卷在半径为R的半圆形区域中有一匀强磁场，磁场的方向垂直于纸面，磁感应强度为B。一质量为m，带有电量q的粒子以一定的速度沿垂直于半圆直径AD方向经P点（AP＝d）射入磁场（不计重力影响）。

⑴如果粒子恰好从A点射出磁场，求入射粒子的速度。

⑵如果粒子经纸面内Q点从磁场中射出，出射方向与半圆在Q点切线方向的夹角为φ（如图）。求入射粒子的速度。

⑴由于粒子在P点垂直射入磁场，故圆弧轨道的圆心在AP上，AP是直径。 设入射粒子的速度为v1，由洛伦兹力的表达式和牛顿第二定

v12qBv1 律得： md/2解得：v1qBd 2m//⑵设O/是粒子在磁场中圆弧轨道的圆心，连接O/Q，设O/Q＝R/。

/由几何关系得： OQO OORRd

由余弦定理得：(OO/)2R2R/2RR/cos 解得：R/2d(2Rd)

2R(1cos)dv2qBd(2Rd)设入射粒子的速度为v，由m/qvB 解出：v

R2mR(1cos)d例6.一个质量为m电荷量为q的带电粒子从x轴上的P（a，0）点以速度v，沿与x正方向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限。求匀强磁场的磁感应强度B和射出点的坐标。

y 解：由射入、射出点的半径可找到圆心O，

并得出半径为r2amv,得B3mv；射出点坐标为（0，

2aq3Bq/

v 3a）。

O/ B 练习6.如图所示，在平行纸面内建立一个XOY平面直线坐标系，在此坐标系的第一象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感强度为B. 一个质子和一个粒子从坐标原点O垂直磁场方向以相同速度v进入磁场中，速度方向

o a v x

与磁场边界x轴夹角为30°. 已知质子的质量为m，带电荷量为e，粒子的质量为4m，带电荷量为2e.

⑴质子与粒子在磁场中运动时间之比为多少？ ⑵分别求出这两个粒子射出磁场区域时的位置坐标. 答案：（１）１：２；（２）质子（０，IV．带电粒子在圆形磁场区域中的运动。

0 例7．如图12所示，在一个圆形区域内，两个方向相反且都垂直于纸面的

匀强磁场分布在以直径A2A4为边界的两个半圆形区域

Ay B23mv3mv

）α粒子（０，）

eBeB

300vx Ⅰ．Ⅱ中，A2A4与A1A3的夹角为60º。一质量为m．带电量为+q的粒子以某一速度从Ⅰ区的边缘点A1处沿与

A3Ⅰ 6Ⅱ AA

A1A3成30º角的方向射入磁场，随后该粒子以垂直于A2A4的方向经过圆心O进入Ⅱ区，最后再从A4处射出磁场。已知该粒子从射入到射出磁场所用的时间为t，求Ⅰ区和Ⅱ区中磁感应强度的大小（忽略粒子重力）。

图12

解答: 设粒子的入射速度为v，已知粒子带正电，故它在磁场中先顺时针做圆周运动，再逆时

针做圆周运动，最后从A4点射出，用B1．B2．R1．R2．T1．T2分别表示在磁场Ⅰ区Ⅱ磁感应强度．轨道半径和周期 qv1Bv2m ① R1v2qvB2m ②

R2T12R12m ③ vqB1T22R22m ④ vqB2 设圆形区域的半径为r，如答图5所示，已知带电粒子过圆心且垂直A3A4进入Ⅱ区磁场，连接A1A2，△A1OA2为等边三角形，A2为带电粒子在Ⅱ区磁场中运动轨迹的圆心，其半径

R1A1A2OA2r ⑤

圆心角A1A2O60，带电粒子在Ⅰ区磁场中运动的时间为

1t1T1 ⑥

6带电粒子在Ⅱ区磁场中运动轨迹的圆心在OA4的中点，即 R=

1r ⑦ 2 在Ⅱ区磁场中运动时间为 t21T2 ⑧ 2带电粒子从射入到射出磁场所用的总时间

tt1t2 ⑨

由以上各式可得

B15M ⑩

6qtB15M ○11

3qt练习7.圆心为O、半径为r的圆形区域中有一个磁感强度为B、方向为垂直于纸面向里的匀强磁场，与区域边缘的最短距离为L的O＇处有一竖直放置的荧屏MN，今有一质量为m的电子以速率v从左侧沿OO＇方向垂直射入磁场，越出磁场后打在荧光屏上之P点，如图所示，求O＇P的长度和电子通过磁场所用的时间。

解析 ：电子所受重力不计。它在磁场中做匀速圆周运动，圆心为O″，半径为R。圆弧段轨迹AB所对的圆心角为θ，电子越出磁场后做速率仍为v的匀速直线运动， 如图4所示，连结OB，∵△OAO″≌△OBO″，又OA⊥O″A，故OB⊥O″B，由于原有BP⊥O″B，可见O、B、P在同一直线上，且∠O＇OP=∠AO″B=θ，在直角三角形ＯＯ＇P中，O＇P=（L+r）tanθ，而

A O θ B P N

A O θ B P L N L M O

,

M O

,

2tan()r2，tan()，所以求得R后就可以求出O＇tanR 2R2θ/1tan()θ/2ABRP了，电子经过磁场的时间可用t=来求得。

O/VVmvv2.OP(Lr)tan 由Bevm得R=eBR

reBrtan()，

2RmV2tan()2eBrmv2 tan22222mveBr1tan2()2O,P(Lr)tan2(Lr)eBrmv，

m2v2e2B2r2arctan(2eBrmv)

m2v2e2B2r2tRvm2eBrmvarctan(22) 222eBmveBr练习8.如图所示，一个质量为m、电量为q的正离子，从A点正对着圆心O以速度v射入半径为R的绝缘圆筒中。圆筒内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。要使带电粒子与圆筒内壁碰撞多次后仍从A点射出，求正离子在磁场中运动的时间t.设粒子与圆筒内壁碰撞时无能量和电量损失，不计粒子的重力。

解析：由于离子与圆筒内壁碰撞时无能量损失和电量损失，每次碰撞后离子的速度方向都沿半径方向指向圆心，并且离子运动的轨迹是对称的，如图所示。设粒子与圆筒内壁碰撞n次（n2），则每相邻两次碰撞点之间圆弧所对的圆心角为2π/（n+1）.由几何知识可知，离子运动的半径为

A v0 B O rRtann1

v22m离子运动的周期为T，又Bqvm，

rqB所以离子在磁场中运动的时间为t2Rtan. vn1练习9．如图是某离子速度选择器的原理示意图，在一半径为R10cm的圆形筒内有

B1104T的匀强磁场，方向平行于轴线。在圆柱形筒上某一直径两端开有小孔a、b分

别作为入射孔和出射孔。现有一束比荷为

q以不21011C/kg的正离子，

m同角度入射，最后有不同速度的离子束射出，其中入射角30°，且不经碰撞而直接从出身孔射出的离子的速度v大小是 （C）

A．4105m/s B．2105m/s C．4106m/s D．2106m/s 练习10．在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度

大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示．一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿-x方向射入磁场，它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿+y方向飞出．

(1)请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷q/m；

（2） 若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为

B’，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60角，求磁感应强度B’多大?

0

此次粒子在磁场中运动所用时间t是多少?

答案：(1)由粒子的飞行轨迹，利用左手定则可知：该粒子带负电荷．粒子由A点射入，由，

其速度方向改变了90，则粒子轨迹半径 R=r v2又qvBm

R0

则粒子的比荷

qv mBr0

0

(2)粒子从D点飞出磁场速度方向改变了60角，故AD弧所对圆心角60，粒子做圆周运动

的半径 Rrcot3003r 又 RBmv qB3B 3粒子在磁场中飞行时间tT1612m3r

6qB3r练习11.匀强磁场分布在半径为R圆内，磁感应强度为B，CD是圆

的直径．质量为m、电量为q的带正电粒子，由静止开始经加速电场加速后，沿着与直径CD平行且相距O.6R的直线从A点进入磁场，如图所示.若带电粒子在磁场中运动的时间是

0.98qB2R2．求加速电场的加速电压． [答案] U

m2qBm练习12.一质量为m、带电量为q的粒子以速度V0，从O点沿y轴正方向射入磁感强度为B的的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面，粒子飞出磁场区域后，从b处穿进x轴，速度方向与x轴正方向的夹角为300，如图示，重力不计，试求：（1）圆形磁场区域的最小面积。 （2）粒子从O点进入磁场到达B点所经历的时间及B点的坐标。(答案：

3m2v0m2s,t(3),b点的坐标为:(3mv0/qB,0)

qB34q2B2

练习13.在XOy平面同有许多电子(质量为m,电量为e)从坐标原点O不断地以相同大小的速度v沿不同方向射入第I象限,如图示,现加上

2y V0 O m，q b ） 300 x y

x

O 一个垂直于xOy平面的匀强磁场,要求这些电子穿过该磁场后都能平行于x轴正方向运动,试求出符合条件的磁场的最小面积. 答案:(π-2)(mveB)/2

练习14．一匀磁场，磁场方向垂直于xy平面，在xy平面上，磁场分布在以O为中心的一个圆形区域内。一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，由原点O开始运动，初速为v，方向沿x正方向。后来，粒子经过y轴上的P点，此时速度方向与y轴的夹角为30°，P到O的距离为L，如图所示。不计重力的影响。求磁场的磁感强度B的大小和xy平面上磁场区域的半径R。 解答:

粒子在磁场中受各仑兹力作用，作匀速圆周运动，

设其半径为r，

2

v2 qvBm ①

r

据此并由题意知，粒子在磁场中的轨迹的圆心C必在y轴上， 且P点在磁场区之外。过P沿速度方向作延长线，它与x轴相交于Q点。

作圆弧过O点与x轴相切，并且与PQ相切，切点A即粒子离开磁场区的地点。这样也求得圆弧轨迹的圆心C，如图所示。

由图中几何关系得

L=3r ② 由①、②求得

B3mv ③ qL

图中OA的长度即圆形磁场区的半径R，由图中几何关系可得 R3L ④ 3练习15.电视机的显像管中，电子速的偏转是用磁偏转技术实现的。电子束经过电压为U的加

速电场后，进一圆形匀强磁场区，如图所示。磁场方向垂直于圆面。磁场区中心为O，半径为r。当不加磁场时，电子束将通过O点而打到屏幕的中心M点。为了让电子束射到屏幕边缘P，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度，此时磁场的磁感应强度B应为多少？

解：电子在磁场中沿圆弧ab运动，圆心为C，半径为R。以v表示电子进入磁场时的速度，m、e分别表示电子的质量和电量，则

（3）

（4）

V.带电粒子在两个磁场中的运动

例8.图所示，在x＜0与x＞0的区域中，存在磁感应强度大小分别为B1与B2的匀强磁场，磁场方向均垂直于纸面向里，且B1＞B2。一个带负电荷的粒子从坐标原点O以速度v沿x轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过O点，B1与B2的比值应满足什么条件？

答案：粒子在整个过程中的速度大小恒为V，交替地在xy平面内B1与B2磁场区域中做匀速圆周运动，轨道都是半个

V B1 y B2 O x 圆周。设粒子的质量和电荷量的大小分别为m和q，圆周运动的半径分别为r1和r2，有

mV

r1＝，

q B1

①

mVr2＝。

q B2

②

现分析粒子运动的轨迹。如图所示，在xy平面内，粒子先沿半径为r1的半圆C1运动至y轴上离O点距离为2 r1的A点，接着沿半径为r2的半圆D1运动至O1点，OO1的距离

d＝2(r2－r1)。

③

Cn+1 此后，粒子每经历一次“回旋”（即从y轴出发沿半径为r1的半圆和半径为r2的半圆回到原点下方的y轴），粒子的y坐标就减小d。设粒子经过n次回旋后与y轴交于On点，若OOn即nd满足

nd＝2r1，

旋次数。

由③④式解得

r1n

＝ r2 n＋1

n＝1，2，3，……

⑤

④

则粒子再经过半圆Cn+1就能经过原点，式中r＝1，2，3，……为回

C1 y A D1 O O1 On x

联立①②⑤式可得B1、B2应满足的条件：

B1n＝ B2 n＋1

例9.07年全国两平面荧光屏互相垂直放置，在两屏内分别取垂直于两屏交线的直线为x轴和y轴，交点O为原点，如图所示，在y＞0，0＜x＜a的区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，在y＞0，x＞a的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为B。在O点有一处小孔，一束质量为m、带电量为q（q＞0）的粒子沿x轴经小孔射入磁场，最后扎在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮。入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值。已知速度最大的粒子在0＜x＜a的区域中运动的时间与在x＞a的区域中运动的时间之比为2∶5，在磁场中运动的总时间为7T/12，其中T为该粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中作圆周运动的周期。试求两个荧光屏上亮线的范围（不计重力的影响）。

解：粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中运动的半径为：

× × × × × × × × n＝1，2，3，…… ⑥

y × × mv r

qB 速度小的粒子将在x＜a的区域走完半圆，射到竖

直屏上。半圆的直径在y轴上，半径的范围从0到a，屏上发亮的范围从0到2a。

O a x 轨道半径大于a的粒子开始进入右侧磁场，考虑

r＝a的极限情况，这种粒子在右侧的圆轨迹与x轴在D点相切（虚线），OD＝2a，这是水平屏上发亮范围的左边界。

速度最大的粒子的轨迹如图中实线所示，它由两

段圆弧组成，圆心分别为C和C，C在y轴上，由对称性可知C/在x＝2a直线上。

设t1为粒子在0＜x＜a的区域中运动的时间，t2

/

y C N M C/ D 为在x＞a的区域中运动的时间，由题意可知 O a P x t12 t25 t1t2 解得： t17T 12T 65T t2

12 由两式和对称性可得：

∠OCM＝60° ∠MC/N＝60°

 MCP360°

/5＝150° 12 所以 ∠NC/P＝150°－60°＝90° 即NP为

1圆周，因此，圆心C/在x轴上。 4 设速度为最大值粒子的轨道半径为R，由直角ΔCOC/可得 2Rsin60°＝2a R23a 3 由图可知OP＝2a＋R，因此水平荧光屏发亮范围的右边界的坐标 x2(13)a 3练习16.如图所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场。左侧匀强电场的场强大小为E、方向水平向右，电场宽度为L；中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸

面向里。一个质量为m、电量为q、不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的O点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到O点，然后重复上述运动过程。求：

（1）中间磁场区域的宽度d；

（2）带电粒子从O点开始运动到第一次回到O点所用时间t. 解析：（1）带电粒子在电场中加速，由动能定理，可得：

qEL12mv 2带电粒子在磁场中偏转，由牛顿第二定律，可得：

V2BqVm

R由以上两式，可得R12mEL。

Bq可见在两磁场区粒子运动半径相同，如图13所示，三段圆弧的圆心组成的三角形ΔO1O2O3

是等边三角形，其边长为2R。所以中间磁场区域的宽度为

dRsin60016mEL

2Bq（2）在电场中

t12V2mV2mL， 2aqEqET2m 33qB55mT， 63qB在中间磁场中运动时间t2在右侧磁场中运动时间t3则粒子第一次回到O点的所用时间为

练习17.)如图所示，M．N为两块带等量异种电荷的平行金属板，S1．S2为板上正对的小孔，N板右侧有两个宽度均为d的匀强磁场区域，磁感应强度大小均为B，方向分别垂直于纸面向外和向里，磁场区域右侧有一个荧光屏，取屏上与S1．S2共线的O点为原点，向上为正方向建立x轴．M板左侧电子枪发射出的热电子经小孔S1进入两板间，电子的质量为m，电荷量为e，初速度可以忽略．（05江苏）

(1)当两板间电势差为U0时，求从小孔S2射出的电子的速度v0 (2)求两金属板间电势差U在什么范围内，电子不能穿过磁场区域而打到荧光屏上．

(3)若电子能够穿过磁场区域而打到荧光屏上，试在答题卡的图上定性地画出电子运动的轨迹．

(4)求电子打到荧光屏上的位置坐标x和金属板间电势差U的函数关系．

答案：（1）根据动能定理，得eU012mv0 由此可解得v022eU0 mmvd eB（2）欲使电子不能穿过磁场区域而打到荧光屏上，应有rd2eB212而eUmv由此即可解得U

22m（3）电子穿过磁场区域而打到荧光屏上时运动的轨迹如图所示

（4）若电子在磁场区域做圆周运动的轨道半径为r，穿过磁场区域打到荧光屏上的位置

坐标为

x，则由（3）中的轨迹图可得x2r2r2d2注意到rmv和eBeU12mv 2所以，电子打到荧光屏上的位置坐标x和金属板间电势差U的函数关系为

d2eB22222x(2emU2emUdeB) （U）

eB2m