一、选择题
1． 已知a=log20.3，b=20.1，c=0.21.3，则a，b，c的大小关系是（ ） A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．b＜c＜a 2． 已知x，y满足约束条件
，使z=ax+y取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1
3． 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A．y=|x|（x∈R） B．y=（x≠0） C．y=x（x∈R） D．y=﹣x3（x∈R）
4． 棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后所得的几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A． B．18 C． D．
5． 函数f（x）=sinωx（ω＞0）在恰有11个零点，则ω的取值范围（ ） A． C． D．时，函数f（x）的最大值与最小值的和为（ ）
A．a+3 B．6 C．2 D．3﹣a
2222
6． 与圆C1：x+y﹣6x+4y+12=0，C2：x+y﹣14x﹣2y+14=0都相切的直线有（ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
7． 已知直线l1 经过A（﹣3，4），B（﹣8，﹣1）两点，直线l2的倾斜角为135°，那么l1与l2（ ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 8． “4＜k＜6”是“方程
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
表示椭圆”的（ ）
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9． 若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定错误的是（ ） A．
10．两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是球面面积的则这两个圆锥的体积之比为（ ） A．2：1 B．5：2 C．1：4 D．3：1
11．若等边三角形ABC的边长为2，N为AB的中点，且AB上一点M满足CMxCAyCB，
14则当取最小值时，CMCN（ ）
xyA．6 B．5 C．4 D．3 12．如图，在平面直角坐标系中，锐角α、β及角α+β的终边分别与单位圆O交于A，B，C三点．分别作AA'、BB'、CC'垂直于x轴，若以|AA'|、|BB'|、|CC'|为三边长构造三角形，则此三角形的外接圆面积为（ ）
，
B．
C．
D．
A．
B． C． D．π
二、填空题
13．若P（1，4）为抛物线C：y2=mx上一点，则P点到该抛物线的焦点F的距离为|PF|= ． 14．幂函数f(x)（m3m3)x15．设f(x)2m22m1在区间0,上是增函数，则m ．
x，在区间[0,3]上任取一个实数x0，曲线f(x)在点x0,f(x0)处的切线斜率为k，则随机xe2事件“k0”的概率为_________.
16．函数f(x)x2(a1)x2在区间(,4]上递减，则实数的取值范围是 ．
17．“黑白配”游戏，是小朋友最普及的一种游戏，很多时候被当成决定优先权的一种方式．它需要参与游戏的人（三人或三人以上）同时出示手势，以手心（白）、手背（黑）来决定胜负，当其中一个人出示的手势与其
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它人都不一样时，则这个人胜出，其他情况，则不分胜负．现在甲乙丙三人一起玩“黑白配”游戏．设甲乙丙三人每次都随机出“手心（白）、手背（黑）”中的某一个手势，则一次游戏中甲胜出的概率是 ．
18．已知i是虚数单位，复数
的模为 ．
三、解答题
19．已知p：2x2﹣3x+1≤0，q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0 （1）若a=，且p∧q为真，求实数x的取值范围． （2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
20．已知、、是三个平面，且c，a，b，且abO．求证：、 、三线共点．
21．△ABC中，角A，B，C所对的边之长依次为a，b，c，且cosA=（Ⅰ）求cos2C和角B的值； （Ⅱ）若a﹣c=
﹣1，求△ABC的面积．
222
，5（a+b﹣c）=3
ab．
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22．已知斜率为1的直线l经过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，|AB|=4．
（I）求p的值；
（II）若经过点D（﹣2，﹣1），斜率为k的直线m与抛物线有两个不同的公共点，求k的取值范围．
23．已知函数f（x）=sin2x+（Ⅱ）当x∈[﹣
24．对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足： ①f（x）在[m，n]内是单调函数；
②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]． 则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．
2
（1）证明：[0，1]是函数y=f（x）=x的一个“和谐区间”．
2
（1﹣2sinx）．
（Ⅰ）求f（x）的单调减区间；
，
]时，求f（x）的值域．
（2）求证：函数不存在“和谐区间”．
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（3）已知：函数最大值．
（a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n﹣m的
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涟水县第一高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解：由对数和指数的性质可知， ∵a=log20.3＜0 b=20.1＞20=1 c=0.21.3 ＜ 0.20=1 ∴a＜c＜b 故选C．
2． 【答案】D
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由z=ax+y，得y=﹣ax+z，
若a=0，此时y=z，此时函数y=z只在B处取得最小值，不满足条件． 若a＞0，则目标函数的斜率k=﹣a＜0． 平移直线y=﹣ax+z，
由图象可知当直线y=﹣ax+z和直线x+y=1平行时，此时目标函数取得最小值时最优解有无数多个， 此时﹣a=﹣1，即a=1．
若a＜0，则目标函数的斜率k=﹣a＞0． 平移直线y=﹣ax+z，
由图象可知当直线y=﹣ax+z，此时目标函数只在C处取得最小值，不满足条件． 综上a=1． 故选：D．
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【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，利用z的几何意义是解决本题的关键．注意要对a进行分类讨论．
3． 【答案】D
【解析】解：y=|x|（x∈R）是偶函数，不满足条件，
y=（x≠0）是奇函数，在定义域上不是单调函数，不满足条件， y=x（x∈R）是奇函数，在定义域上是增函数，不满足条件， y=﹣x3（x∈R）奇函数，在定义域上是减函数，满足条件， 故选：D
4． 【答案】D
【解析】解：由三视图可知正方体边长为2，截去部分为三棱锥，作出几何体的直观图如图所示：
2
故该几何体的表面积为：3×2+3×（
）+=，
故选：D．
5． 【答案】A
【解析】A． C． D．恰有11个零点，可得5π≤ω•求得10≤ω＜12， 故选：A． 6． 【答案】C
【解析】
【分析】先求出两圆的圆心和半径，判断两个圆的位置关系，从而确定与它们都相切的直线条数．
2222
【解答】解：∵圆C1：x+y﹣6x+4y+12=0，C2：x+y﹣14x﹣2y+14=0的方程可化为，
；； ∴圆C1，C2的圆心分别为（3，﹣2），（7，1）；半径为r1=1，r2=6．
∴两圆的圆心距=r2﹣r1； ∴两个圆外切，
∴它们只有1条内公切线，2条外公切线． 故选C．
＜6π，
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7． 【答案】A
【解析】解：由题意可得直线l1的斜率k1=
又∵直线l2的倾斜角为135°，∴其斜率k2=tan135°=﹣1， 显然满足k1•k2=﹣1，∴l1与l2垂直 故选A
8． 【答案】C
【解析】解：若方程
表示椭圆
=1，
则6﹣k＞0，且k﹣4＞0，且6﹣k≠k﹣4 解得4＜k＜5或5＜k＜6 故“4＜k＜6”是“方程故选C
【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，椭圆的标准方程，其中根据椭圆的标准方程及椭圆的简单性质，构造不等式组，求出满足条件的参数k的取值范围，是解答本题的关键．
9． 【答案】C
【解析】解；∵f′（x）=f′（x）＞k＞1， ∴即当x=即f（故f（所以f（故选：C．
10．【答案】D
＞k＞1，
时，f（））＞）＜
，
，一定出错， ）+1＞﹣1=
×k=
，
＞k＞1，
表示椭圆”的必要不充分条件
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2
【解析】解：设球的半径为R，圆锥底面的半径为r，则πr=×4πR2=
．
，∴r=．
∴球心到圆锥底面的距离为∴两个圆锥的体积比为：故选：D．
11．【答案】D 【解析】
=．∴圆锥的高分别为和
=1：3．
试题分析：由题知BMCMCBxCA(y1)CB，设B，则xk,y1k，BACACB；MkBA14y4x14144xy可得xy1，当取最小值时，xy5时取到，此，最小值在xyxyxyxyyx121CACB代入，则时y,x，将CMxCAyCB,CN3321212xy12CMCNxCAyCBCACB3xy33.故本题答案选D.
22233考点：1.向量的线性运算；2.基本不等式． 12．【答案】 A
【解析】（本题满分为12分）
解：由题意可得：|AA'|=sinα、|BB'|=sinβ、|CC'|=sin（α+β）， 设边长为sin（α+β）的所对的三角形内角为θ， 则由余弦定理可得，cosθ===
=sinαsinβ﹣cosαcosβ =﹣cos（α+β）， ∵α，β∈（0，∴α+β∈（0，π） ∴sinθ=
=sin（α+β）
=1，
）
﹣cosαcosβ
﹣cosαcosβ
设外接圆的半径为R，则由正弦定理可得2R=∴R=，
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2
∴外接圆的面积S=πR=
．
故选：A．
【点评】本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，正弦定理，圆的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．
二、填空题
13．【答案】 5 ．
2
【解析】解：P（1，4）为抛物线C：y=mx上一点，
2
即有4=m，即m=16， 2
抛物线的方程为y=16x，
焦点为（4，0）， 即有|PF|=故答案为：5．
【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查两点的距离公式，及运算能力，属于基础题．
14．【答案】 【解析】
=5．
【方法点睛】本题主要考查幂函数的定义与性质,属于中档题.幂函数定义与性质应用的三个关注点：（1）若幂函数yxR是偶函数，则必为偶数．当是分数时，一般将其先化为根式，再判断；（2）若幂函
数yxR在0,上单调递增，则0，若在0,上单调递减，则0；（3）在比较幂值
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的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. 1 15．【答案】
3 5【解析】解析：本题考查几何概率的计算与切线斜率的计算．
1x02k0，由得，，∴随机事件“”的概率为． f(x)0x1003ex016．【答案】a3 kf(x0)【解析】
试题分析：函数fx图象开口向上，对称轴为x1a，函数在区间(,4]上递减，所以1a4,a3. 考点：二次函数图象与性质． 17．【答案】
．
3
【解析】解：一次游戏中，甲、乙、丙出的方法种数都有2种，所以总共有2=8种方案， 而甲胜出的情况有：“甲黑乙白丙白”，“甲白乙黑丙黑”，共2种， 所以甲胜出的概率为故答案为．
【点评】本题考查等可能事件的概率，关键是分清甲在游戏中胜出的情况数目．
18．【答案】 ．
【解析】解：∵复数故答案为：
．
=
=i﹣1的模为
=
．
【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．
三、解答题
19．【答案】 【解析】解：p：∴（1）若a=，则q：∵p∧q为真，∴p，q都为真；
，q：a≤x≤a+1；
；
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∴，∴；
∴实数x的取值范围为；
（2）若p是q的充分不必要条件，即由p能得到q，而由q得不到p； ∴
，∴
；
．
∴实数a的取值范围为
【点评】考查解一元二次不等式，p∧q真假和p，q真假的关系，以及充分不必要条件的概念．
20．【答案】证明见解析． 【解析】
考点：平面的基本性质与推论． 21．【答案】
【解析】解：（I）由∵cosA=∴sinA=
222
∵5（a+b﹣c）=3
，0＜A＜π，
=， ab，
∴cosC=∵0＜C＜π， ∴sinC=
=，
=，
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2
∴cos2C=2cosC﹣1=，
∴cosB=﹣cos（A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣∵0＜B＜π， ∴B=（II）∵∴a=∵a﹣c=∴a=
=．
=c，
，
×+×=﹣
﹣1，
，c=1，
×1×
=．
∴S=acsinB=×
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，两角和与差的正弦公式等知识．考查学生对基础知识的综合运用．
22．【答案】
，准线方程为
．
2
【解析】解：（I）由题意可知，抛物线y=2px（p＞0）的焦点坐标为
所以，直线l的方程为由
…
…
消y并整理，得
设A（x1，y1），B（x2，y2） 则x1+x2=3p，
又|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=4， 所以，3p+p=4，所以p=1…
2
（II）由（I）可知，抛物线的方程为y=2x．
由题意，直线m的方程为y=kx+（2k﹣1）．… 由方程组
2
（1）
可得ky﹣2y+4k﹣2=0（2）… 当k=0时，由方程（2），得y=﹣1．
2
把y=﹣1代入y=2x，得
．
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这时．直线m与抛物线只有一个公共点
2
．…
当k≠0时，方程（2）得判别式为△=4﹣4k（4k﹣2）． 由△＞0，即4﹣4k（4k﹣2）＞0，亦即4k﹣2k﹣1＜0． 解得于是，当
．
且k≠0时，方程（2）有两个不同的实根，从而方程组（1）有两组不同的解，这
．…
时，直线m与抛物线有两个不同的公共点，… 因此，所求m的取值范围是
【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
23．【答案】
2
（1﹣2sinx）=sin2x+
cos2x
【解析】解：（Ⅰ）f（x）=sin2x+=2（sin2x+由2kπ+
≤2x+
cos2x）=2sin（2x+≤2kπ+
），
≤x≤kπ+
（k∈Z），
（k∈Z）得：kπ+
，kπ+
故f（x）的单调减区间为：[kπ+（Ⅱ）当x∈[﹣
，
]（k∈Z）；
]，2sin（2x+
）∈[0，2]，
]时，（2x+）∈[0，
所以，f（x）的值域为[0，2]．
24．【答案】
2
【解析】解：（1）∵y=x在区间[0，1]上单调递增．
又f（0）=0，f（1）=1， ∴值域为[0，1]，
∴区间[0，1]是y=f（x）=x的一个“和谐区间”．
2
（2）设[m，n]是已知函数定义域的子集．
∵x≠0，[m，n]⊆（﹣∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞）， 故函数
在[m，n]上单调递增．
若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则故m、n是方程
的同号的相异实数根．
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2
∵x﹣3x+5=0无实数根，
∴函数不存在“和谐区间”．
（3）设[m，n]是已知函数定义域的子集．
∵x≠0，[m，n]⊆（﹣∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞）， 故函数
若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则故m、n是方程∵
，
在[m，n]上单调递增．
222
，即ax﹣（a+a）x+1=0的同号的相异实数根．
2
∴m，n同号，只须△=a（a+3）（a﹣1）＞0，即a＞1或a＜﹣3时，
已知函数有“和谐区间”[m，n]， ∵
∴当a=3时，n﹣m取最大值
，
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