2013年高考数学真题(理)-四川

2013年高考数学真题（理）-四川

（2013四川理1）设集合A{x|x20}，集合B{x|x240}，则AA.{2} B.{2} C.{2,2} D. 【答案】A

【解析】∵A{2}，B{2,2}，∴A∩B ={-2}，选A

（2013四川理2）如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是（）

B（）

A.A B.B C.C D.D 【答案】B

【解析】若zxyi（x0,y0），则zxyi

（2013四川理3）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】由三视图可知上部是一个圆台，下部是一个圆柱，选D

（2013四川理4）设xZ，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题

p:xA,2xB，则（）

A.p:xA,2xB B.p:xA,2xB C.p:xA,2xB D.p:xA,2xB 【答案】D

【解析】本题考查命题的否定，将改为，将2xB改为2xB，选D

x)(0,（2013四川理5）函数f(x)2sin(,的值分别是（）

22)的部分图象如图所示，则

A.2,B.2,3

6

C.4,D.4,6

3【答案】A 【解析】由图可知，则

T11525，T,2，又点(,2)在图像上， 212122T125622k，又22，则3

y（2013四川理6）抛物线y4x的焦点到双曲线x1的渐近线的距离是（）

3222A.

1 2B.3 2C.1 D.3 【答案】B

)渐近线【解析】抛物线y24x的焦点为(1,0)，则(1,0到d

3xy0的距离

|30|(3)213 2x3（2013四川理7）函数yx的图象大致是（）

31A.

B.

C.

D.

【答案】C

x30，排除B； 【解析】函数的定义域为{x|x0}，排除A；当x0时，yx31 当x时，3远大于x，∴y0，选C

（2013四川理8）从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a,b， 共可得到lgalgb的不同值的个数是（） A.9 B.10 C.18 D.20 【答案】C

【解析】因为lgalgblg

（2013四川理9）节日家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时

x3a1339222，而，，所以C5A22A5218 b3913

通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（） A.B.C.D.

1 41 23 47 8【答案】C

【解析】两串彩灯的第一次闪亮的时刻分别为x,y，

0x4则0y4，作图|xy|2

122232，故P1

444（2013四川理10）设函数f(x)exxa（aR，e为自然对数的底数）．若曲线

ysinx上存在(x0,y0)使得f(f(y0))y0，则a的取值范围是（） ，e] A.[1B.[e-1，1]

1，e1] C.[1D.[e-1，e1] 【答案】A

【解析】因为f(f(y0))y0，所以y00，又因为(x0,y0)在函数ysinx上，所以y01

所以问题转化为f(f(x))x在[0,1]上有解，

若f(x)x在[0,1]上恒成立，则f(f(x))f(x)x，则f(f(x))x在[0,1]上

无解，

同理若f(x)x在[0,1]上恒成立，则f(f(x))f(x)x。 所以f(f(x))x在[0,1]上有解等价于f(x)x在[0,1]上有解

1

即xexxaax2xex,x[0,1] 令g(x)exx,x[0,1]，所以g(x)x2x，e2x10,x[0所以

a[1e, ]

（2013四川理11）二项式(xy)5的展开式中，含x2y3的项的系数是____________．（用数字作答） 【答案】10

2【解析】因为二项式(xy)，所以xy的系数为C510

523

（2013四川理12）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，

ABADAO，

则____________

【答案】2

【解析】

ABADAC2AO，则2

（2013四川理13）设sin2sin，(【答案】3 【解析】sin22sincossin，则cos2,)，则tan2的值是___________

1，又(,)， 22则tan3，tan2

2tan233 1tan2132（2013四川理14）已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)x4x，

那么，不等式f(x2)5的解集是___________

【答案】(7,3)

2【解析】当x0时， f(x)x4x5，解得0x5，则f(x)5的解为5x5；

所以f(x2)5，即是5x25，即7x3。

（2013四川理15）设P1,P2,,Pn为平面内的n个点，在平面内的所有点中，若点P到

P1,P2,,Pn

,Pn点的一个“中位点”．

点的距离之和最小，则称点P为P1,P2,例如，线段AB上的任意点都是端点A,B的中位点．则有下列命题：

①若A,B,C三个点共线，C在线段上，则C是A,B,C的中位点； ②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点A,B,C,D共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点． 其中的真命题是____________．（写出所有真命题的序号） 【答案】①④

【解析】①正确，因为C点到A、B的距离之和小于AB上其它点到A、B的距离之和；②不正确，因为直角三角形斜边上的点到三个顶点的距离是可变的；③不正确，不妨认为B、C在线段AD上，则线段BC上的任一点到A、B、C、D距离之和均最小；④正确，每条对角线上的点到其两端点的距离之和最小，所以交点到梯形四个顶点的距离之和最小．

（2013四川理16）在等差数列{an}中，a1a38，且a4为a2和a9的等比中项， 求数列{an}的首项、公差及前n项和

3n1【答案】a1=4，q0，Sn4n或a1=1，q3，Sn

2

a1d4a1a38【解析】由题意可知，2即， 2a4a2a9 3a1dd0a1=4a1=1解得或

d0d3（1）当a1=4,d0时，Sn4n；

3n2n（2）当a11,d3时，Sn．

2

（2013四川理17）在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，

且2cos2AB3cosBsin(AB)sinB． 25（Ⅰ）求cosA的值；

（Ⅱ）若a42，b5，求向量BA在BC方向上的投影 【答案】（Ⅰ）cosA3 5（Ⅱ）

2 2(AB)cosBsin(AB)sinBcos(AC)2【解析】（Ⅰ）由题意可知

2cos2[1cos(AB)]cosBsin(AB)sin(AC)cos Bcos(AB)cosBsin(AB)sinBcos(AB+B) cosA所以cosA35

3； 5bsinA22，则cosB， a22（Ⅱ）由正弦定理，sinB32c2252又由余弦定理有cosB，解得 c1或c7（舍）， 2242c故向量BA在BC方向上的投影

（2013四川理18）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1,2,3,,24

这24个整数中等可能随机产生．

（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P,2,3)； i(i1（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了

BABCBCBABCcosBBCccosB2． 2

输出y的值为i(i1,2,3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据． 甲的频数统计表(部分)

乙的频数统计表(部分)

当n2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i1,2,3)的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大； （Ⅲ）按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数的分布列及数学期望．

【答案】（Ⅰ）P1

111，P2，P3; 236（Ⅱ）乙编写的程序更符合算法要求.

（Ⅲ）ξ的分布列为；ξ的数学期望为1

【解析】（Ⅰ）当i1时，即输出的数为奇数，奇数有12个，则P1当i3时，即输出的数为能整除3的偶数，有4个，则P3当i2时，即输出的数为剩下的8个，则P2 即P11； 21； 61， 3111，P2，P3 2361027376697，P2=，P3= 2100210021001051696353，P2=，P3= 210021002100（Ⅱ）甲：P1=乙：P1=根据频率的趋势与概率可知，乙编写的程序更符合算法要求. （Ⅲ设输出y的值为2为事件A，且P(A)

1，则该实验为独立重复事件， 3128412112， P(1)C3， P(0)C303327339031122312， P(2)C， P(3)C32733933232130次数的分布列为

E()0

84211231. 279927（2013四川理19）如图，在三棱柱ABCA1B1C中，侧棱AA1底面ABC，

ABAC2AA1，BAC120，D,D1分别是线段BC,B1C1的中点，P是线段AD的中

点．

（Ⅰ）在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l平面ADD1A1；

（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角AA1MN的余弦值．

【答案】 （1）见解析

（2）

【解析】

（1）由题意可知，直线lBC，又ABAC，D是BC的中点，则BCAD，又在三棱柱ABCA1B1C中，BCDD1，且AD,DD1ADD1A1， 则BCADD1A1，所以直线l平面ADD1A1

（2）连接A1P，过A作AEA1P于E，过E作EFA1M于F，连接AF.

由（1）知，MN平面AEA1，所以平面AEA1平面A1MN，所以AE平面A1MN，则

A1MAE.所以A1M平面AEF，则A1MAF.故AFE为二面角AA1MN 的平

面角（设为）.

设AA11，则由ABAC2AA1，，有BAD60，AB2，AD1，又P为AD的中点，

所以M为AB中点， 且AP所以，在RtAA1P,A1P从而AE1，AM1， 25,在在RtA1MP,A1M2, 2AA1APAAAM11 ,AF1A1PA1M52所以sin

AE215,cos1sin2AF55

x2y2（2013四川理20）已知椭圆C：221,(ab0)的两个

ab焦点分别为F,0),F2(1,0)，且椭圆C经过点P(,)． 1(1（Ⅰ）求椭圆C的离心率；

（Ⅱ）设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M、N两点，点Q是线段MN上的点，

且 【答案】 （Ⅰ）4133211，求点Q的轨迹方程．

|AQ|2|AM|2|AN|22 222（Ⅱ）1810(y2)3x，其中x(

【解析】（Ⅰ）

2266135,),y(,2].2225

椭圆过焦点F1，故c1，

ab1…………………………………………………………………………① 又因椭圆过点P

41()2()2 32321……………………………………………………………………②

ab2c12a2 由①②解得2 故椭圆的离心率为 a22b1（Ⅱ）当直线l的斜率k存在时，设直线方程l:ykx2

x212y212由2得(k)x4kx30

2ykx21(4k)24(k2)34k260

2解得k66或k 22再令方程两个根分别为x1，x2，则

4kxx121k22…………………………………………………………………③ xx31122k2令M(x1,y1)，N(x2,y2)，设Q(x,y) 由

211得 222AQAMAN11k(x2)2211kx22111kx22222x12x21kxx22212，

将③代入上式化简得1810(y2)3x，其中x(

266135,),y(,2]2225

x22xa,x0（2013四川理21）已知函数f(x)，其中a是实数．

lnx,x0设A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))为该函数图象上的两点，且x1x2． （Ⅰ）指出函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直，且x20，求x2x1的最小值； （Ⅲ）若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合，求a的取值范围． 【答案】

（Ⅰ）f(x)的单调增区间为[1,0),(0,)；减区间为(,1)。 （Ⅱ）1

（Ⅲ）(ln21,)

【解析】（Ⅰ）f'(x)2x2(x0) 令f'(x)0，得x1。又f(x)lnx,x0

f(x)的单调增区间为[1,0),(0,)；减区间为(,1)。

（Ⅱ）由（Ⅰ）f'(x)2x2(x0) kA2x12，kB2x22 由题意得(2x12)(2x22)1(x11,1x20)

11(x11)(x21) x11

44(x21)x210 x2x1(x21)(x11)(x21)14(x21)2(x21)14(x21)1

（Ⅲ）设ylnx上一点C(x0,y0)(x00)在切线上，且直线与抛物线切于y轴左侧，则

1ylnxxx00x只有一个负解， 0yx22xax22xalnx0x1有唯一负根， x0x2(2(2a令u1)xa1lnx00有唯一负根， x0112)4(a1lnx0)0且20，

x0x0111(x) lnx0024x02x0121(0,2)，g(u)uulnu

4x0

12uu11120在(0,2)上恒成立， g'(u)u12uug(u)在(0,2)上递减，故ag(u)g(2)ln21

a的取值范围为(ln21,)。