2020年版北京市初三数学分类汇编-新定义

2020年初三上学期期末、新定义

1西城．对于给定的△ABC，我们给出如下定义：

若点M是边BC上的一个定点，且以M为圆心的半圆上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称这样的半圆为BC边上的点M关于△ABC的内半圆，并将半径最大的内半圆称为点M关于△ABC的最大内半圆.

若点M是边BC上的一个动点（M不与B，C重合），则在所有的点M关于△ABC的最大内半圆中，将半径最大的内半圆称为BC关于△ABC的内半圆. （1）在Rt△ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC = 2，

① 如图1，点D在边BC上，且CD=1，直接写出点D关于△ABC的最大内半圆的半径长； ② 如图2，画出BC关于△ABC的内半圆，并直接写出它的半径长；

2020初三上学期新定义 2

2东城． 如图，在平面直角坐标系xOy中，过⊙T外一点P引它的两条切线，切点分别为M，N，若

60MPN180，则称P为⊙T的环绕点．

(1)当⊙O半径为1时，

①在P1(1,0),P2(1,1),P3(0,2)中，⊙O的环绕点是___________;

②直线y=2x+b与x轴交于点A，y轴交于点B，若线段AB上存在⊙O的环绕点，求b的取值范围；

（m,（2）⊙T的半径为1，圆心为（0，t），以

33m）(m0)为圆心，m为半径的所有圆构成图形H，3若在图形H上存在⊙T的环绕点，直接写出t的

3 2020初三上学期新定义 3

3朝阳．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，2)，点B在x轴上，以AB为直径作⊙C，点P在y轴上，

且在点A上方，过点P作⊙C的切线PQ，Q为切点，如果点Q在第一象限，则称Q为点P的离点.例如，图1中的Q为点P的一个离点.

图1 图2

(1)已知点P(0，3)，Q为P的离点.

①如图2，若B(0，0)，则圆心C的坐标为 ，线段PQ的长为 ； ②若B(2，0)，求线段PQ的长；

(2)已知1≤PA≤2, 直线l：ykxk3（k≠0）.

①当k=1时，若直线l上存在P的离点Q，则点Q纵坐标t的最大值为 ；

②记直线l：ykxk3（k≠0）在-1≤x≤1的部分为图形G，如果图形G上存在P的离点，直接写出k的取值范围.

2020初三上学期新定义 4

4石景山．在△ABC中，D是边BC上一点，以点A为圆心，AD长为半径作弧，如果与边BC 有交点E（不与点D重合），那么称DE为△ABC的A外截弧． 例如，右图中DE是△ABC的一条A外截弧．

BDECA 在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC存在A外截弧，其中点A的坐标为(5,0)， 点B与坐标原点O重合．

（1）在点C1(0,2)，C2(5,3)，C3(6,4)，C4(4,2)中，满足条件的点C是 ； （2）若点C在直线yx2上， ①求点C的纵坐标的取值范围；

②直接写出△ABC的A外截弧所在圆的半径r的取值范围．

5丰台．平面直角坐标系xOy中有点P和某一函数图象M，过点P作x轴的垂线，交图象M于点Q，设点

P，Q的纵坐标分别为yP，yQ．如果yP＞yQ，那么称点P为图象M的上位点；如果yPyQ，那么称点P为图象M的图上点；如果yP＜yQ，那么称点P为图象M的下位点．

（1）已知抛物线yx22.

① 在点A(-1，0)，B(0，-2)，C(2，3)中，是抛物线的上位点的是 ；

② 如果点D是直线yx的图上点，且为抛物线的上位点，求点D的横坐标xD的取值范围； （2）将直线yx3在直线y3下方的部分沿直线y3翻折，直线yx3的其余部分保持不变，

得到一个新的图象，记作图象G．⊙H的圆心H在x轴上，半径为1．如果在图象G和⊙H上分别存在点E和点F，使得线段EF上同时存在图象G的上位点，图上点和下位点，求圆心H的横坐标xH的取值范围．

2020初三上学期新定义 5

6顺义区．在平面直角坐标系xOy中，若点P和点P1关于x轴对称，点P1和点P2关于直线l对称，则

称点P2是点P关于x轴，直线l的二次对称点． （1）如图1，点A(0，-1)．

①若点B是点A关于x轴，直线l1：x=2的二次对称点，则点B的坐标为 ； ②点C (-4，1)是点A关于x轴，直线l2：x=a的二次对称点，则a的值为 ； ③点D(-1，0)是点A关于x轴，直线l3的二次对称点，则直线l3的表达式为 ；

（2）如图2，⨀O的半径为2．若⨀O上存在点M，使得点M′是点M关于x轴，直线l4：x = b的二次对称点，

且点M′在射线y3x (x≥0)上，b的取值范围是；

（3）E(𝟎,t)是y轴上的动点，⨀E的半径为2，若⨀E上存在点N，使得点N′是点N关于x轴，直线l5:y的二次对称点，且点N′在x轴上，求t的取值范围．

3x3y4321–5–4–3–2–1O1–1A–2–3–4

4y321

2345x–5–4–3–2–1O–1–2–3–412345x

2020初三上学期新定义 6

7大兴区. 在平面直角坐标系xOy中，已知P（a,b）,R（c,d）两点，且𝑎≠𝑐，𝑏≠𝑑，若过点P作

x轴的平行线，过点R作y轴的平行线，两平行线交于一点S,连接PR，则称△PRS为点P,R，S的“坐标轴三角形”.若过点R作x轴的平行线，过点P作y轴的平行线，两平行线交于一点S,连接PR，则称△RPS为点R,P，S的“坐标轴三角形”.右图为点P，R,S的“坐标轴三角形”的示意图.

（1）已知点A（0，4），点B（3，0）,若△ABC是点A,B,C的“坐标轴三角形”，则点C的坐标为 ;

(2)已知点D（2，1），点E（e，4），若点D,E,F的“坐标轴三角形”的面积为3，求e的值. （3）若⨀𝑂的半径为

3√2，点2

M（m,4）.若在⨀𝑂上存在一点N，使得点N ，M, G的“坐标轴三角形”为

等腰三角形，求m的取值范围.

8平谷区．在平面直角坐标系xOy中，有任意三角形，当这个三角形的一条边上的中线等于这条边的一

半时，称这个三角形叫“和谐三角形”，这条边叫“和谐边”，这条中线的长度叫“和谐距离”． （1）已知A（2,0），B（0,4），C（1,2），D（4,1），这个点中，能与点O组成“和谐三角形”的点是 ，“和谐距离”是 ；

（2）连接BD，点M，N是BD上任意两个动点（点M，N不重合），点E是平面内任意一点，△EMN是以MN为“和谐边”的“和谐三角形”，求点E的横坐标t的取值范围；

（3）已知⊙O的半径为2，点P是⊙O上的一动点，点Q是平面内任意一点，△OPQ是“和谐三角形”，且“和谐距离”是2，请描述出点Q所在位置．

2020初三上学期新定义 7

9昌平区．对于平面直角坐标系xOy中，已知点A（-2，0）和点B（3，0），线段AB和线段AB外的

一点P，给出如下定义：若45°≤∠APB≤90°时，则称点P为线段AB的可视点，且当PA＝PB时，称点P为线段AB的正可视点．

（1） ∠如图1，在点P1（3，6），P2（-2，-5），P3（2，2）中，线段AB的可视点是 ；

∠若点P在y轴正半轴上，写出一个满足条件的点P的坐标：__________． （2）在直线y＝x+b上存在线段AB的可视点，求b的取值范围；

（3）在直线y＝-x+m上存在线段AB的正可视点，直接写出m的取值范围．

图1

10通州

备用图 2020初三上学期新定义 8

2020初三上学期新定义 9

11门头沟．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：如果点P为图形M上任意一点，

点Q为图形N上任意一点，那么称线段PQ长度的最小值为图形M，N的“近距离”，记作 d（M，N）．若图形M，N的“近距离”小于或等于1，则称图形M，N互为“可及图形”．

（1）当⊙O的半径为2时，

①如果点A（0，1），B（3，4），那么d（A，⊙O）=________,d（B，⊙O）= _________； ②如果直线yxb与⊙O互为“可及图形”，求b的取值范围；

（2）⊙G的圆心G在x轴上，半径为1，直线yx5与x轴交于点C，与y轴交于点D，如果⊙G

和∠CDO互为“可及图形”，直接写出圆心G的横坐标m的取值范围．

–7–6–5–4–3–2–1–1–2–3–4–5–7–6–5–4–3–2–1–1–2–3–4–5y54321O12345678xy54321O12345678x 备用图

2020初三上学期新定义 10

12房山区如图28-1，已知线段AB与点P，若在线段AB上存在点Q，．．

满足PQAB，则称点P为线段AB的“限距点”.

图28- （1） 如图28-2，在平面直角坐标系xOy中，若点

A(-1，0)，B(1，0).

-3)中，① 在C(0，是线段AB的2)，D(-2，-2)，E(1，“限

距点”的是________；

② 点P是直线y=x+1上一点，若点P是线段AB“限距点”，请求出点P横坐标xP的取值范围.

的

1)，B(t，-1)，直线y=（2） 在平面直角坐标系xOy中，点A(t，3x+23与x轴交于点M，3与y轴交于点N. 若线段MN上存在线段AB的“限距点”，请求出t的取值范围.

2020初三上学期新定义 11

13密云区．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为r（r＞0）．给出如下定义：若平面上一点P到圆

心O的距离d，满足

13rdr，则称点P为⊙O的“随心点”． 22311，2），D（，）中，⊙O的“随心点”222（1）当⊙O的半径r=2时，A（3，0），B（0，4），C（是 ；

（2）若点E（4，3）是⊙O的“随心点”，求⊙O的半径r的取值范围；

（3）当⊙O的半径r=2时，直线y=- x+b（b≠0）与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在⊙O的“随心点”，直接写出b的取值范围 ．

y 44 33 22 11 1234x-4-3-2-1O 3-2-1O12-4--1-1 -2-2 -3-3 - 4 - 4

备用图

y34x 2020初三上学期新定义 12

14海淀.

在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和实数k(k0)，给出如下定义：当kab0时，

将以点P为圆心，kab为半径的圆，称为点P的k倍相关圆．

例如，在如图1中，点P(1,1)的1倍相关圆为以点P为圆心，2为半径的圆．

y321–1yNP123–1OxOMx图 1

图 2

（1）在点P1(2,1)，P2(1,3)中，存在1倍相关圆的点是_____，该点的1倍相关圆半径为_______． （2）如图2，若M是x轴正半轴上的动点，点N在第一象限内，且满足∠MON＝30°，判断直

1线ON与点M的倍相关圆的位置关系，并证明．

2（3）如图3，已知点A的(0,3)，B(1,m)，反比例函数y于y轴对称．

①若点C在直线l上，则点C的3倍相关圆的半径为 ．

6的图象经过点B，直线l与直线AB关 x1②点D在直线AB上，点D的倍相关圆的半径为R，若点D在运动过程中，以点D为圆

3心，hR为半径的圆与反比例函数y

–7–6–5–4–3–26的图象最多有两个公共点，直接写出h的最大值. xy7654321–1O–1–2–3–4–5–6–71234567BAxl图 3 2020初三上学期新定义 13

1.西城．解：（1）①

2． 2② BC关于△ABC的内半圆，如图1， BC关于△ABC的内半圆半径为1．

（2）过点E作EF⊥OE，与直线y=3x交于点F，设点M是OE上的动点， 3i）当点P在线段OF上运动时（P不与O重合），OE关于△OEP的内半圆是以M为圆心，分别与OP，PE相切的半圆，如图2． ∴ 当

2东城.解：（1）①P2，P.…………………………2分3

②半径为1的⊙O的所有环绕点在以O为圆心，半径分别为1和2的两个圆之间（如下图阴影部分

所示，含大圆，不含小圆）.

ⅰ)当点B在y轴正半轴上时，如图1，图2所示.

考虑以下两种特殊情况：线段AB与半径为2的⊙O相切时，OB25； 当点B经过半径为1的⊙O时，OB1.

yB33≤R ≤1时，t 的取值范围是≤t≤3． 42yAO12xBAO12x

2020初三上学期新定义 14

因为线段AB上存在⊙O的环绕点，所以可得b的取值范围为 1b25； ②当点B在y轴负半轴上时，如图3，图4所示.

yyAOB12xO12AxB

同理可得b的取值范围为 25b1.

综上，b的取值范围为1b25或25b1 .………………………5分

（3）2

t4.………………………7分

3朝阳．解：（1）①（0，1）；3.

②如图，过C作CM⊥y轴于点M，连接CP，CQ.

∵A（0，2），B（2，0）， ∴C（1，1）. ∴M（0，1）. 在Rt△ACM中，由勾股定理可得CA=2. ∴CQ=2. ∵P（0，3），M（0，1）， ∴PM=2.

在Rt△PCM中，由勾股定理可得PC=5.

在Rt△PCQ中，由勾股定理可得PQ=PC2-CQ2=3.

（2）①6.

②1-22＜k≤-22或≤k＜1+22. 22

4石景山．解：（1）C2，C3； ………………………… 2分

2020初三上学期新定义 15

（2）①∵点C在直线yx2上， 设点C的坐标为(m,m2)．

当BCA90°时，过点C作CDx轴于点D，如图．

∴△CDB∽△ADC． ∴CD2BDAD．

2 ∴(m2)m(5m)．

y321CDA456–1B–1–2–31C'23x1． 213 ∴C(4,2)或C'(,)．

22 解得m14，m2 又∵直线yx2与y轴交于点(0,2)，

结合图形，可得点C的纵坐标的取值范围是2yC3或yC2． 2 ………………………… 5分 ②5r≤5． ………………………… 7分 5丰台.解：（1）①A，C. ………………………………………………………………2分 ②∵点D是直线yx的图上点，∴点D在yx上.

又∵点D是yx22的上位点，

∴点D在yx与yx22的交点R，S之间运动.

yx22,∵ yx.x11,x22,∴  …………3分

y1.y2.12

∴点R(1，1)，S(2，2).

∴-1＜xD＜2. ……………………………………………………………5分

（2）xH

(全卷所有题目其他解法参照上述解法相应步骤给分)

32或xH＜3+2. ………………………………………………7分

2020初三上学期新定义 16

6顺义．解：（1）① 点B的坐标为 （4，1） ；………………………………… 1分

② a的值为 -2 ； ………………………………… 2分 ③直线l3的表达式为 y =- x ； …………………………… 3分 （2）如图2，设⨀O与x轴的两个交点为M1（-2，0），M3（2，0）， 与射线y3x (x≥0)的交点为M4，则M4的坐标为（1，3）．

y2M4y=3x(x≥0) M4关于x轴的对称点为M2．

当点M在M1的位置时，b=-1， 当点M在M2的位置时，b=1， 当点M在M3的位置时，b=1，

当点M在劣弧M1M2上时（如图3），-1≤b≤1，

M1-2O1M22M3x-2图2当点M在劣弧M2M3上时（如图4），b的值比1大，当到劣弧M2M3的中点时，达到最大值（如图5），最大值为23． 323．………………………………… 5分 3y2M4y=3x(x≥0)y2M4y=3x(x≥0)综上，b的取值范围是-1≤b≤

y2M4y=3x(x≥0)M1-2O1M22M3xM1-2O1M22M3xM1-2O1M22M3x-2图3-2图4-2图54y （3）∵x轴和直线y 直线y3x关于直线y3x对称， 3321–4–3–2–1O–1–2–3–412y=3x3345x3x和直线y3x关于x轴对称，

∠⨀E只要与直线y

3x和y3x有交点即可． 2020初三上学期新定义 17

∴t 的取值范围是：-4≤t≤4. ……………………………………… 7分

7大兴.（1）（3，4）…………………………………………………………………….2分 （2） ∵点D（2，1），点E（e，4）， 点D，E，F的“坐标三角形”的面积为3， ∴SDEF1e233 2e22

∴e4或e0，.……………………………4分

（3）由点N，M， G的“坐标轴三角形”为等腰三角形可得直线MN为 yxb或yxb

①当直线MN为yxb时，由于点M的坐标为（m，4）,

可得m=4－b

由图可知，当直线MN平移至与⊙O相切，且切点在第四象限时，b取得最小值. 此时直线MN记为M1 N1，其中N1为切点， T1为直线M1 N1与y轴的交点. ∵△O N1T1为等腰直角三角形， ON1=32 2233∴OT1=(2)22=3

22∴b的最小值为-3，

∴m的最大值为m=4－b=7………………………………………………5分

当直线MN平移至与⊙O 相切，且切点在第二象限时，b取得最大值. 此时直线MN记为M2 N2，其中N2为切点，T2为直线M2 N2与y轴的交点. ∵△ON2T2为等腰直角三角形，

ON2=32 22332)22=3 ∴OT2=(22 2020初三上学期新定义 18

∴b的最大值为3，

∴m的最小值为m=4－b=1，

∴m的取值范围是1m7，…………………………………………6分 ②当直线MN为yxb时. 同理可得，mb4， 当b3时，m-1 当b-3时，m-7

∴m的取值范围是-7m-1.………………………………………7分 综上所述，m的取值范围是1m7或-7m-1.

（1）A,B；5； ·············································································· 3 8平谷解： （2）19············································································ 5 t； ·

22 （3）点Q在以点O为圆心，4为半径的圆上；

或在以点O为圆心，23为半径的圆上． ······································· 7

9昌平．（1）∠线段AB的可视点是P2，P3． ……………………………………………………………… 1分 ∠点P的坐标：P（0，3）（答案不唯一，纵坐标yp范围：6≤yp≤6）． ………………2分

（2）

2020初三上学期新定义 19

如图，直线与⊙O1相切时，BD是⊙O1直径

∴BD=52. ∵BE=32， ∴DE=22. ∴EF=

DE=4.

cos45∴F（0，7） 同理可得，

直线与⊙O3相切时，G(0，-8)

∠b的取值范围是：－8≤b≤7． …………………5分

（3）m的取值范围：522m2或23m 10通州

523 ………………………………………7分 211门头沟．（本小题满分7分）

解：（1）① 1，3；…………………………………………………………………………2分

② ∵由题意可知直线yxb与⊙O互为“可及图形”，⊙O的半径为2， ∴OEOF3．……………………………………………………………3分 ∴OMON32．

∴ 32b32．………………………………………………………5分

y543E21–7–6–5–4–3–2–1–1–2–3–4–5NFO12 M 345678x 2020初三上学期新定义 20

（2）2m2，522m522…………………………………………7分

说明：

yD54321G–7–6–5–4–3–2–1–1–2–3–4–5O1GG234C567G8x12房山.（1）① C， E ； …………2分

②由题意直线y=x+1上满足线段AB的“限距点”的范围 如图28-1所示.

点P在线段MN上（包括端点）…………3分

易求 xM=-1-2 …………4分

xN=1 …………5分

∴点P横坐标xP的取值范围为： 图28-1

-1-2≤xP≤1 （2）

如图28-2，t=-8

2020初三上学期新定义 21

…………6分

图28-2

如图28-3，t=3-2

…………7分

综上所述：-8≤t 图28-3

≤3-2

13密云.(1) A,C ………………………………2分

（2）∵点E（4，3）是⊙O的“随心点” ∴OE=5，即d=5

1 若2

r5， ∴r=10 ………………………………3分

310r5r3 ………………………………4分 若 2，

10 ∴3

r10 ………………………………5分

2020初三上学期新定义 22

(3) 32b1或1b32 ………………7分

14海淀．

（1）解：P1，3； （2）解：直线ON与点M的12倍相关圆的位置关系是相切.

证明：设点M的坐标为（x，0），过M点作MP⊥ON于点P，∴ 点M的12倍相关圆半径为12x.

∴ OM=x .

∵∠MON＝30°，MP⊥ON, ∴ MP＝OM=122x.

∴ 点M的12倍相关圆半径为MP.

∴直线ON与点M的12倍相关圆相切.

（3）① 点C的3倍相关圆的半径是3;

② h的最大值是31010.

yNPOMx