习题课 正弦定理与余弦定理
一、基础过关
1．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝44°，则此三角形解的情况为________．
π
2．在△ABC中，BC＝1，B＝，当△ABC的面积等于3时，sin C＝________.
3
3．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c＝2，b＝6，B＝120°，则a＝________. 4．若△ABC的内角A、B、C满足6sin A＝4sin B＝3sin C，则cos B＝________.
5．在△ABC中，AB＝2，AC＝6，BC＝1＋3，AD为边BC上的高，则AD的长是________． 6．已知△ABC的面积为23，BC＝5，A＝60°，则△ABC的周长是________．
a2－b2sinA－B7．在△ABC中，求证：2＝.
csin C8．在△ABC中,a,b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin
C.
(1)求A的大小；
(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状． 二、能力提升
9．在△ABC中，若a＝bc，则角A是________．(从“锐角”、“直角”、“钝角”中选择) 10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b＝2，sin B＋cos B＝2，
则角A的大小为________．
11．在△ABC中，已知a＋b＋c＝2c(a＋b)，则角C＝________.
12．已知△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m＝(sin C，sin Bcos A)，n＝
(b,2c)，且m·n＝0. (1)求A的大小；
(2)若a＝23，c＝2，求△ABC的面积S的大小． 三、探究与拓展
4
4
4
2
2
2
2
batan Ctan C13．在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若＋＝6cos C，求＋ abtan Atan B的值． 答案
23911
1．两解 2. 3.2 4. 5.3 6．12
1316
sin Acos B－cos Asin B7．证明 右边＝
sin Csin Asin B＝·cos B－·cos A sin Csin Caa2＋c2－b2bb2＋c2－a2＝·－· c2acc2bca2＋c2－b2b2＋c2－a2a2－b2＝－＝2 22
2c2cc＝左边．
- 1 -
所以a2－b2sinA－Bc2＝sin C. 8．解 (1)由已知，根据正弦定理得2a2
＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c， 即a2
＝b2
＋c2
＋bc.①
由余弦定理得a2
＝b2
＋c2
－2bccos A，
所以cos A＝－1
2，故A＝120°.
(2)由①得sin2
A＝sin2
B＋sin2
C＋sin Bsin C， 又sin B＋sin C＝1，
故sin B＝sin C＝1
2
.
因为0°＜B＜90°，0°＜C＜90°，故B＝C. 所以△ABC是等腰钝角三角形．
9．锐角 10.π
6 11.45°或135°
12．解 (1)∵m·n＝0，
∴(sin C，sin Bcos A)·(b,2c)＝0. ∴bsin C＋2csin Bcos A＝0. ∵
b＝csin Bsin C，∴bc＋2bccos A＝0. ∵b≠0，c≠0，∴1＋2cos A＝0.
∴cos A＝－12π
2.∵0＜A＜π，∴A＝3.
(2)在△ABC中，
∵a2
＝b2
＋c2
－2bccos A，
∴12＝b2
＋4－4bcos 2π3. ∴b2＋2b－8＝0.
∴b＝－4(舍)或b＝2.
∴△ABC的面积S＝12bcsin A＝12×2×2×3
2＝3.
13．解 由b＋aab＝6cos C得
b2＋a2＝6abcos C.
化简整理得2(a2＋b2)＝3c2
，将tan Ctan Ctan A＋tan B切化弦，
得sin Ccos Acos Bcos C·(sin A＋sin B) ＝sin Csin A＋Bcos C·sin Asin B ＝sin Csin Ccos C·sin Asin B ＝sin2Ccos Csin Asin B. - 2 -
根据正、余弦定理得
2sinC＝
cos Csin Asin B2
2
c2
a2＋b2－c2
ab·
2ab
2c2c＝222＝＝4. a＋b－c322
c－c2
tan Ctan C故＋＝4. tan Atan B - 3 -
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