不定积分公式大全 含求积分通用方法及例题

不定积分小结

一、不定积分基本公式

xa+11

(1)∫xdx=()+Ca≠−1 (2)∫dx=ln|x|+C

a+1xa

(3)∫adx=+C (4)∫sinxdx=−cosx+C lna

(5)∫cosxdx=sinx+C (6)∫tanxdx=−ln|cosx|+C

(7)∫cotxdx=ln|sinx|+C (8)∫secxdx=ln|secx+tanx|+C (9)∫cscxdx=ln|cscx−cotx|+C (10)∫sec2xdx=tanx+C (11)∫csc2xdx=−cot x+C (12)∫(13)∫(15)∫(17)∫dxdx

1

x

dx1+x2dx

x

ax

=aarctana+C (14)∫x2−a2=2aln|a+x|+C x2+a2=2aln|a−x|+C (16)∫√a2−x2𝑑𝑥√𝑎2−𝑥21

a+x

𝑑𝑥1−𝑥=arcsin𝑎+𝐶 (18)∫2

xax

(19)∫√a2−x2dx=√a2−x2+arcsin+C

22a2

xa

(20)∫√x2±a2dx=√x2±a2±ln|𝑥+√𝑥2±𝑎2|+𝐶

22 二、两个重要的递推公式（由分部积分法可得）

迅(1)𝐷𝑛=∫𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥𝑑𝑥(详情请查阅教材166页) −cos𝑥𝑠𝑖𝑛𝑛−1𝑥𝑛−1

则𝐷𝑛=+𝐷𝑛−2(求三角函数积分)

𝑛𝑛易得𝐷𝑛：n为奇数时，可递推至D1=∫sinxdx=−cosx+C； n为偶数时，可递推至D2=∫sin2xdx=2−𝑑𝑥

(2)𝐼𝑛=∫2(详情请查阅教材173页)

(𝑥+𝑎2)𝑛𝑥12𝑛−1

则𝐼𝑛+1=+𝐼

2𝑛𝑎2(𝑥2+𝑎2)𝑛2𝑛𝑎2𝑛易得𝐼𝑛可递推至𝐼1=∫x2+a2=aarctana+C

dx

1

x

x

sin2x4

捷辑编FDP=arctanx+C

1

a−x

器=arcsin𝑥+𝐶 2𝑥𝑑𝑥√𝑥2±𝑎2=ln|𝑥+√𝑥2±𝑎2|+𝐶

+C；

2

（这是有理函数分解后一种形式的积分的求法，大家可以回顾课本恢复记忆）

三、普遍方法 (一)换元积分法：

第一类换元积分法(凑微分法)

这类方法需要敏锐的观察力，即观察出某个函数的导数，这就要求我们熟悉常见函数的导数。

首先我们来看一下最常见的一类有理函数的例子

x

例1：∫dx

2+x−x√5注意到分母根号下为二次，其导数为一次，而分子正好就是一次，通过凑微分和 配方可以得到解决。 ∫x√5+x−x211−2(−2x+1)+2√5+x−x2dx=∫1d(5+x−x2)11=−∫+∫dx

2222√5+x−x√5+x−x1

=−√5+x−x2+∫2dx

迅√(√21)2−(x−1)2

2212x−12√=−5+x−x+arcsin()+C 221√3x

例2：∫4dx

x+x2+1与例1类似，我们有：

11

(4x3+2x)−xx342dx ∫4dx=∫

x+x2+1x4+x2+11242d(x+)1d(x+x+1)12=∫4−∫2后面套公式就好啦 244x+x2+11√3(x2+2)+(2)

捷辑编FDPdx

器dx

1+sin2xdx1dxd(tanx)

∫=∫=∫ cos2x+2sin2xcos2x1+2tan2x1+2tan2x例3：∫

3

1d(tanx)√2∫=arctan(tanx)+C 22√2(2)2+tan2x

接下来举几个我们可能不太熟悉的例子，不容易凑成微分。

3√x√x例4：∫dx=∫d(x2)

33√a−x2323√3

x(a2)−(x2)2√=2=∫3132√(a2)

3

d(x2)至此可以套用公式了 32(x2)

−

例5：∫

311

dx=∫dx，注意到的导数为−3ln2， xx322x+321+2x1

2x至此可以用凑微分法了

xx sinx

例6：∫dx=∫dx

1−xcotxsinx−xcosx注意到sinx−xcosx的导数为x sinx

第二类换元积分法

迅（1）利用三角函数进行代换：sin2x+cos2x=1

tan2x+1=sec2x cot2 x+1=csc2x

换元时必须要注意变量的范围，保证范围的等价性（通过例题体会） 例如以下两个基本积分公式

2

xax

∫√a2−x2dx=√a2−x2+arcsin+C

22a𝑥𝑎2

2222∫√𝑥±𝑎𝑑𝑥=√𝑥±𝑎±ln|𝑥+√𝑥2±𝑎2|+𝐶

22dx

例：∫2 (x+9)3捷辑编FDP器利用tan2x+1=sec2x，令x=3tant，这里x可以取到全体实数，那么 ππ

t取(−,)就可以保证x取到全体实数，因为t的范围直接影响到三角

22函数的正负，所以这一点在涉及到开根号的三角函数表达式时尤为重要。

dx34

则：∫2=∫costdt

(x+9)393至此，∫cos4tdt有多种求法，比如说直接用递推公式，见第五页：

π𝑛

∫𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥利用cosx=sin(−x)和∫𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥𝑑𝑥求得

24

令一种解法：

∫cos4tdt=∫cos2t(1−sin2t)dt=∫cos2tdt−∫cos2tsin2tdt 利用倍角公式可以解出。

（2）倒代换，经常用在分母多项式次数较高的情况下 √a2−x21

例：∫dx，令x=，容易求出原函数

tx4(二)分部积分法

∫μdν=μν−∫νdμ

应用分部积分法时，需要把被积函数看作两个因式μ及dν之积，如何 选取这两者是很关键的，选取不当，将使积分愈化愈繁.积分时应注意 dν比较好积，同时μ的选取应使其倒数比μ简单，两者应兼顾。 例：∫

xearctanx(1+

=e

arctanx

3dx

x2)2=e

x√1+x2−[e

=earctanx

x−1√1+x2迅

则：∫

捷xearctanx(1+

3dxx2)2−∫

=

辑编FDParctanx器x

√1+1

x2−∫

earctanx

(1+

3dx x2)2arctanx

√1+x2−∫

−xearctanx(1+

32)x2dx]

xearctanx

(1+

3dx

x2)2x−1

2√1+x2earctanx+C

这个函数就有多种拆分方法，需要我们多尝试几次才能解出，并且用到了 轮换，应注意。其实∫sin(lnx)dx也用到了轮换，详情请查阅教材165页。

一般情况下，被积函数形如eaxsinbx，eaxcosbx，Pm(x)eax，Pm(x)sinbx， Pm(x)cosbx，Pm(x)(lnx)n，Pm(x)arctanx，⋯就可以尝试分部积分法轻松 求得原函数，其中Pm(x)表示m次多项式。

5

例

xex(1x)2dx

xex(x1)2dx(x1)exexexexdxdx22x1(x1)(x1)exexex1xdxdxdxedx11x x1(x1)2exex1dxdexx11x1xexC1x(三)特殊函数积分法

1、有理函数的不定积分

迅参考教材171页有关有理函数分解定理的说明，比较繁琐，但要掌握。

关键在于将有理函数分解为要求的形式，并会解决分解后的各种函数的积分，其实我们可以将其归结为两种形式：

b

(1)∫dx(其中a,b为常数，m为正整数)

(x−a)mb

当m=1时，∫dx=bln|x−a|+C

(x−a)mbb(x−a)−m+1

当m≠1时，∫dx=+C

(x−a)m−m+1cx+d

(2)∫2dx(其中a,b,c,d为常数，n为正整数)

(x+ax+b)n捷辑编FDPdx

1

x

器对于分子，我们可以将其凑为x2+ax+b的导数和某一常数之和，第一部分容 易求得，第二部分利用第一页的递推公式： 𝑑𝑥

𝐼𝑛=∫2(详情请查阅教材173页)

(𝑥+𝑎2)𝑛1𝑥2𝑛−1

则𝐼𝑛+1=+𝐼

2𝑛𝑎2(𝑥2+𝑎2)𝑛2𝑛𝑎2𝑛易得𝐼𝑛可递推至𝐼1=∫x2+a2=aarctana+C 以下几例用于练习有理式的分解和计算：

6

例1：∫例2：∫例3：∫

dx

x3+1dxdxdx

=∫=∫ 22222x4+1(x+1)−(√2x)(x+1+√2x)(x+1−√2x)dx

(教材175页的方法较为简便) x6+12、三角函数有理式的积分

常用技巧：（1）凑微分 例1：∫sinmx cosnxdx

若m和n都是偶数，利用sin2x+cos2x=1将其化为同名函数。 若m或n为奇数，则拆开一个凑成微分，然后再化为同名函数，之后再利用（二、）中的递推公式。

cosx1

例2：∫3dx=∫d(tanx)

sinx+cos3x1+tan3xdx

利用已经解得的∫3的结果

x+1π

补充一点：∫𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥𝑑𝑥利用cosx=sin(−x)和∫𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥𝑑𝑥求得

2𝑛−1

1𝑡𝑎𝑛𝑥

∫𝑡𝑎𝑛𝑛𝑥𝑑𝑥=∫𝑡𝑎𝑛𝑛−2𝑥(−1)𝑑𝑥=−∫𝑡𝑎𝑛𝑛−2𝑥𝑑𝑥 2𝑐𝑜𝑠𝑛−1这就得到了∫𝑡𝑎𝑛𝑛𝑥𝑑𝑥的递推公式，事实上还可以将其看作∫sinmx cosnxdx的特殊形式，只不过m=-n罢了，当然可以用∫sinmx cosnxdx的求解方法。 (2)倍角公式、积化和差 例：∫sin5x sin7xdx (3)分项技巧

迅1sin2x+cos2x11

例1：∫4dx=∫dx=∫dx+∫dx

sinx cos2xsin4x cos2xsin2x cos2xsin4x至此第一项可以继续分项或者利用倍角公式，第二项可以直接套用（二、）中的递推公式或者利用分部积分求解，实际上递推公式也是由分部积分法得到的。

dx1sin[(x+α)−(x+β)]

例2：∫=∫dx=

sin (x+α)sin (x+β)sin (α−β)sin (x+α)sin (x+β)1cos (x+β)cos (x+α)

∫[−]dx，这里利用了三角和公式，

sin (α−β)sin (x+β)sin (x+α)至此可以直接套用基本积分表了。(α≠β)

dx12sinx+cosx

例3：∫3=∫[+]dx

sinx+cos3x3sinx+cosxsin2x−sinxcosx+cos2x2dx2−d(cosx−sinx)=∫+∫ 3√2cos(x−π)3(cosx+sinx)2+14捷辑编FDP器7

ππ2

=ln|sec(x−)+tan(x−)|−arctan(cosx−sinx)+C

4433√2（此题较为复杂，大家需要认真看） （4）配凑法

cosxdx 例 IacosxbsinxsinxIdx2cosxacosxbsinx 则 dx， 假设I1acosxbsinx aI1bI2得到

2

aI1bI2dxxC1---------（1） bI1-aI2得到

bI1-aI2

bcosxasinxdxacosxbsinx1d(acosxbsinx)------（2） acosxbsinxln|acosxbsinx|C2由（1）与（2）解得：

baI12ln|acosxbsinx|xC. 222abababI22ln|acosxbsinx|xC. 222abab

（5）万能公式：(1)令μ=tan2，则sinx=1+μ2 cosx=1+μ2

迅2μ2

tanx= dx=(三角函数次数较低时效果较好)

1−μ21+μ21μ2

√(2)令μ=tanx，则sinx=± cosx=±√

1+μ21+μ2捷辑编FDPx

2μ

1−μ2

n

器1

(注意正负号的判断) dx=(三角函数次数较高时效果较好）

1+μ2dx

例：∫(用第一种变换)

2+sinxdμ

=∫2(转化为容易的有理积分)

μ+μ+13、简单无理函数的积分（1）当被积函数是x与√(ax+b)⁄(cx+d)

的有理式时，采用变换μ

8

=√(ax+b)⁄(cx+d)，就可化为有理函数的积分 例：∫√1+x√x311+x1+x

dx=∫√dx，设t=√代换即可

xxxn

（2）当被积函数是x与√ax2+bx+c的有理式时，通常先将ax2+bx+c 配方，再用三角变换化为三角有理式的积分或直接利用积分公式计算。 例：∫dx

1+√x2+2x+2=∫dx

1+√(x+1)2+1，令x+1=tant即可

附：另类题目：确定A和B，使下式成立

dxAsinxdx

∫=+B∫ (a+bcosx)2a+bcosxa+bcosx解：两边同时求导，化简整理可得：Ab+Ba+(Aa+Bb)cosx=1

Ab+Ba=1

从而有：{

Aa+Bb=0当a2≠b2时，解得A=a2−b2，B=a2−b2 当a2=b2时,无解。

−b

a

迅

捷辑编FDP器