(课标全国卷Ⅲ)
文 数
本卷满分150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合A={0,2,4,6,8,10},B={4,8},则∁AB=( ) A.{4,8}
B.{0,2,6}
C.{0,2,6,10}
D.{0,2,4,6,8,10}
2.若z=4+3i,则=( ) A.1
=
B.-1 ,
=
C.+I
D.-i
3.已知向量A.30°
,则∠ABC=( )
C.60°
D.120°
B.45°
4.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃,B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是( )
A.各月的平均最低气温都在0 ℃以上
B.七月的平均温差比一月的平均温差大
D.平均最高气温高于20 ℃的月份有5个
C.三月和十一月的平均最高气温基本相同
5.小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( ) A.
B.
C.
D.
1 / 13
6.若tan θ=-,则cos 2θ=( ) A.-
B.-
C.
D.
7.已知a=,b=,c=2,则( ) A.b A.3 B.4 C.5 D.6 9.在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sin A=( ) A. B. C. D. 10.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为( ) A.18+36 B.54+18 C.90 D.81 11.在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8, AA1=3,则V的最大值是( ) A.4π B. C.6π D. 12.已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为( ) 2 / 13 A. B. C. D. 第Ⅱ卷(非选择题,共90分) 本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分. 13.设x,y满足约束条件14.函数y=sin x-长度得到. 15.已知直线l:x- 则z=2x+3y-5的最小值为 . cos x的图象可由函数y=2sin x的图象至少向右平移 个单位y+6=0与圆x+y=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于 -x-1 2 2 C,D两点.则|CD|= . 16.已知f(x)为偶函数,当x≤0时, f(x)=e是 . 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) 已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,-(2an+1-1)an-2an+1=0. (Ⅰ)求a2,a3; (Ⅱ)求{an}的通项公式. 18.(本小题满分12分) 下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图. -x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程 (Ⅰ)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明; (Ⅱ)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 3 / 13 附注: 参考数据:yi=9.32,tiyi=40.17,=0.55,≈2.646. 参考公式:相关系数r=, 回归方程=+t中斜率和截距最小二乘估计公式分别为:= 19.(本小题满分12分) ,=-. 如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点. (Ⅰ)证明MN∥平面PAB; (Ⅱ)求四面体N-BCM的体积. 20.(本小题满分12分) 4 / 13 已知抛物线C:y=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点. (Ⅰ)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ; (Ⅱ)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程. 21.(本小题满分12分) 设函数f(x)=ln x-x+1. (Ⅰ)讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)证明当x∈(1,+∞)时,1< 请考生在第22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲 如图,☉O中的中点为P,弦PC,PD分别交AB于E,F两点. (Ⅰ)若∠PFB=2∠PCD,求∠PCD的大小; (Ⅱ)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G,证明OG⊥CD. 2 (Ⅲ)设c>1,证明当x∈(0,1)时,1+(c-1)x>c. 5 / 13 23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 (α为参数).以坐标原点为极点,以 =2 . x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin(Ⅰ)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程; (Ⅱ)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标. 24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知函数f(x)=|2x-a|+a. (Ⅰ)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集; (Ⅱ)设函数g(x)=|2x-1|.当x∈R时, f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围. 6 / 13 2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅲ) 一、选择题 1.C 由补集定义知∁AB={0,2,6,10},故选C. 2.D 由z=4+3i得|z|=3.A cos∠ABC= =5,=4-3i,则=-i,故选D. =,所以∠ABC=30°,故选A. 4.D 由雷达图易知A、C正确.七月份平均最高气温超过20 ℃,平均最低气温约为13 ℃;一月份平均最高气温约为6 ℃,平均最低气温约为2 ℃,所以七月的平均温差比一月平均温差大,故B正确.由题图知平均最高气温超过20 ℃的月份为六、七、八月,有3个.故选D. 疑难突破 本题需认真审题,采用估算的方法来求解. 5.C 小敏输入密码的所有可能情况如下: (M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5), (I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5), (N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5),共15种. 而能开机的密码只有一种,所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率为. 6.D 解法一:cos 2θ=cosθ-sinθ== =.故选D. , 2 2 解法二:由tan θ=-,可得sin θ=±因而cos 2θ=1-2sinθ=. 2 7.A a==,c=2=,而函数y=在(0,+∞)上单调递增,所以<<,即b 9.D 解法一:过A作AD⊥BC于D,设BC=a,由已知得AD=,∵B=,∴AD=BD,∠BAD=, ∴BD=,DC=a,tan∠DAC==2. 7 / 13 ∴tan∠BAC=tancos∠BAC=解 法 二 : 2 = =,sin∠BAC=过 A 作 ==-3. = .故选D. D, 设 BC=a, 由 已 知 得 AD⊥BC于 AD=,∵B=,∴AD=BD,∴BD=AD=,DC=a,∴AC= = ,∴sin∠BAC= 2 =a,在△ABC中,由正弦定理得 .故选D. 的斜四棱 +2×3×6=54+18 .故选B. 10.B 由三视图可知,该几何体是底面为正方形(边长为3),高为6,侧棱长为3柱.其表面积S=2×3+2×3×3错. 易错警示 学生易因空间想象能力较差而误认为侧棱长为6,或漏算了两底面的面积而致11.B 易得AC=10.设底面△ABC的内切圆的半径为r,则×6×8=×(6+8+10)·r,所以r=2,因为2r=4>3,所以最大球的直径2R=3,即R=.此时球的体积V=πR=π.故选B. 12.A 解法一:设点M(-c,y0),OE的中点为N,则直线AM的斜率k=y= (x+a),令x=0,得点E的纵坐标yE= . . ,从而直线AM的方程为 3 同理,OE的中点N的纵坐标yN=因为2yN=yE,所以 = ,即2a-2c=a+c,所以e==.故选A. 解法二:如图,设OE的中点为N, 由题意知|AF|=a-c,|BF|=a+c,|OF|=c,|OA|=|OB|=a, ∵PF∥y轴,∴=又∵ == , ,即 = , = = , ∴a=3c,故e==. 8 / 13 方法总结 利用点M的坐标为参变量,通过中点坐标公式建立等式,再利用方程的思想求解. 二、填空题 13.答案 -10 解析 可行域如图所示(包括边界),直线2x-y+1=0与x-2y-1=0相交于点(-1,-1),当目标函数线过(-1,-1)时,z取最小值,zmin=-10. 14.答案 解析 函数y=sin x-单位长度得到. 方法总结 本题首先要将函数化为y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的形式再求解,另外要注意图象平移的方向. 15.答案 4 解析 圆心(0,0)到直线x-y+6=0的距离d= = =3,|AB|=2= =4. =2 ,过C作CE⊥BD cos x=2sin 的图象可由函数y=2sin x的图象至少向右平移个 于E,因为直线l的倾斜角为30°,所以|CD|= 解后反思 本题涉及直线和圆的位置关系,要充分利用圆的性质及数形结合的思想方法求解. 16.答案 y=2x 解析 当x>0时,-x<0, f(-x)=e+x,而f(-x)=f(x),所以f(x)=e+x(x>0),点(1,2)在曲线y=f(x)上,易知f '(1)=2,故曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是y-2=f '(1)·(x-1),即y=2x. 易错警示 注意f '(1)的求解方法,易因忽略x的取值范围而直接求f(x)=e错. 三、解答题 17.解析 (Ⅰ)由题意得a2=,a3=.(5分) 9 / 13 -x-1x-1 x-1 -x的导数致(Ⅱ)由-(2an+1-1)an-2an+1=0得2an+1(an+1)=an(an+1). 因为{an}的各项都为正数,所以 =. .(12分) 故{an}是首项为1,公比为的等比数列,因此an= 18.解析 (Ⅰ)由折线图中数据和附注中参考数据得 =4,(ti-)=28, 2 =0.55, (ti-)(yi-)=r≈ tiyi-yi=40.17-4×9.32=2.89, ≈0.99.(4分) 因为y与t的相关系数近似为0.99,说明y与t的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.(6分) (Ⅱ)由=≈1.331及(Ⅰ)得==≈0.10, =-=1.331-0.10×4≈0.93. 所以y关于t的回归方程为=0.93+0.10t.(10分) 将2016年对应的t=9代入回归方程得:=0.93+0.10×9=1.83. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.83亿吨.(12分) 思路分析 先根据折线图及参考数据求解相关系数r,再对相关系数r的意义进行阐述,然后根据最小二乘法得出线性回归系数,注意运算的准确性. 19.解析 (Ⅰ)证明:由已知得AM=AD=2, 取BP的中点T,连结AT,TN,由N为PC中点知TN∥BC,TN=BC=2.(3分) 又AD∥BC,故TNAM,故四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT. 因为AT⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,所以MN∥平面PAB.(6分) (Ⅱ)因为PA⊥平面ABCD,N为PC的中点,所以N到平面ABCD的距离为PA.(9分) 取BC的中点E,连结AE. 10 / 13 由AB=AC=3得AE⊥BC,AE=由AM∥BC得M到BC的距离为故S△BCM=×4× =2 . , =. 所以四面体N-BCM的体积VN-BCM=·S△BCM·=20.解析 由题设知F且A ,B ,P ,Q .(12分) .设l1:y=a,l2:y=b,易知ab≠0, ,R . 记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(3分) (Ⅰ)由于F在线段AB上,故1+ab=0. 记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则 k1= = == =-b=k2. 所以AR∥FQ.(5分) (Ⅱ)设l与x轴的交点为D(x1,0),则S△ABF=|b-a||FD|=|b-a|由题设可得2×|b-a| = ,所以x1=0(舍去)或x1=1. ,S△PQF= . 设满足条件的AB的中点为E(x,y). 当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE可得而 =y,所以y=x-1(x≠1). 2 =(x≠1). 当AB与x轴垂直时,E与D重合. 所以,所求轨迹方程为y=x-1.(12分) 易错警示 容易漏掉直线AB与x轴垂直的情形而失分. 21.解析 (Ⅰ)由题设知, f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)=-1,令f '(x)=0,解得x=1. 当0 . x x 2 11 / 13 由(Ⅱ)知1< 疑难突破 在(Ⅲ)中,首先要解方程g'(x)=0,为了判定g(x)的单调性,必须比较极值点x0与区间(0,1)的关系,注意到g(0)=g(1)=0是求解本题的突破点. 22.解析 (Ⅰ)连结PB,BC,则∠BFD=∠PBA+∠BPD,∠PCD=∠PCB+∠BCD. 因为=,所以∠PBA=∠PCB, 又∠BPD=∠BCD,所以∠BFD=∠PCD. 又∠PFB+∠BFD=180°,∠PFB=2∠PCD, 所以3∠PCD=180°,因此∠PCD=60°.(5分) x (Ⅱ)因为∠PCD=∠BFD,所以∠EFD+∠PCD=180°,由此知C,D,F,E四点共圆,其圆心既在CE的垂直平分线上,又在DF的垂直平分线上,故G就是过C,D,F,E四点的圆的圆心,所以G在CD的垂直平分线上.又O也在CD的垂直平分线上,因此OG⊥CD.(10分) 方法总结 三角形和四边形的外接圆的圆心是各边中垂线的交点.因此中点、垂直、圆心是紧紧相连、相互转化、相互作用的. 23.解析 (Ⅰ)C1的普通方程为+y=1. C2的直角坐标方程为x+y-4=0.(5分) (Ⅱ)由题意,可设点P的直角坐标为( cos α,sin α).因为C2是直线,所以|PQ|的最小值 = .(8分) ,此时P的直角坐标为 .(10 2 即为P到C2的距离d(α)的最小值,d(α)= 当且仅当α=2kπ+(k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为分) 思路分析 求圆上一动点到直线上点的距离的最小值时,利用圆的参数方程化为三角函数的最值问题,能极大提高解题效率. 24.解析 (Ⅰ)当a=2时, f(x)=|2x-2|+2. 解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x≤3. 因此f(x)≤6的解集为{x|-1≤x≤3}.(5分) (Ⅱ)当x∈R时, f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x| ≥|2x-a+1-2x|+a 12 / 13 =|1-a|+a, 当x=时等号成立, 所以当x∈R时, f(x)+g(x)≥3等价于|1-a|+a≥3.①(7分) 当a≤1时,①等价于1-a+a≥3,无解. 当a>1时,①等价于a-1+a≥3,解得a≥2. 所以a的取值范围是[2,+∞).(10分) 方法总结 含有绝对值的不等式恒成立问题主要有两种解决方法:一是利用|a±b|≤|a|+|b|;二是利用数形结合的思想方法. （注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注） 注：资料可能无法思考和涵盖全面，最好仔细浏览后下载使用，感谢您的关注！ 13 / 13 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容