南城县第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

1． 某公园有P，Q，R三只小船，P船最多可乘3人，Q船最多可乘2人，R船只能乘1人，现有3个大人和2个小孩打算同时分乘若干只小船，规定有小孩的船必须有大人，共有不同的乘船方法为（ ） A．36种 B．18种 C．27种 D．24种 2． 已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下面四个命题： （1）α∥β⇒l⊥m，（2）α⊥β⇒l∥m， （3）l∥m⇒α⊥β，（4）l⊥m⇒α∥β， 其中正确命题是（ ）

A．（1）与（2） B．（1）与（3） C．（2）与（4） D．（3）与（4）

3． 如图，网格纸上的正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）

A．30 B．50 C．75 D．150

4． 一个四边形的斜二侧直观图是一个底角为45°，腰和上底的长均为1的等腰梯形，那么原四边形的面积是（ ） A．2+

B．1+

C．

D．

5． 设函数f(x)loga|x1|在(,1)上单调递增，则f(a2)与f(3)的大小关系是（ ） A．f(a2)f(3) B．f(a2)f(3) C. f(a2)f(3) D．不能确定 6． 已知A={﹣4，2a﹣1，a2}，B={a﹣5，1﹣a，9}，且A∩B={9}，则a的值是（ ） A．a=3

2

B．a=﹣3 C．a=±3 D．a=5或a=±3

7． 函数f(x)x4x5在区间0,m上的最大值为5，最小值为1，则m的取值范围是（ ） A．[2,) B．2,4 C．(,2] D．0,2 8． 已知，[,]，则“||||”是“||||coscos”的（ ）

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A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力. 9． 已知函数f（x）满足：x≥4，则f（x）=A．

B．

C．

D．

；当x＜4时f（x）=f（x+1），则f（2+log23）=（ ）

ax2x,x010．已知f(x)，若不等式f(x2)f(x)对一切xR恒成立，则a的最大值为（ ）

2x, x07911A． B． C． D．

161624

11．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是（ ） A．ann2n1 B．ann(n1)n(n1) C．an D．ann21 2212．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是（ ） A．8πcm2

B．12πcm2 C．16πcm2 D．20πcm2

二、填空题

13．一组数据2，x，4，6，10的平均值是5，则此组数据的标准差是 ．

14．若曲线f（x）=aex+bsinx（a，b∈R）在x=0处与直线y=﹣1相切，则b﹣a= ． 15．已知x，y满足条件

，则函数z=﹣2x+y的最大值是 ．

216．若函数f(x1)x1，则f(2) ．

17．递增数列{an}满足2an=an﹣1+an+1，（n∈N*，n＞1），其前n项和为Sn，a2+a8=6，a4a6=8，则S10= ． 18．已知

a、b、c分别是ABC三内角A、B、C的对应的三边，若csinAacosC，则

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3sinAcos(B3)的取值范围是___________． 4【命题意图】本题考查正弦定理、三角函数的性质，意在考查三角变换能力、逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想．

三、解答题

19．一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，试建立容器的容积V与x的函数关系式，并求出函数的定义域．

20．【徐州市2018届高三上学期期中】已知函数（1）若函数（2）求函数（3）设函数

21．如图，正方形ABCD中，以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连接CF并延长交AB于点E． （Ⅰ）求证：AE=EB；

在区间的极值；

图象上任意一点处的切线为，求在轴上的截距的取值范围．

（

,是自然对数的底数）.

上是单调减函数,求实数的取值范围；

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（Ⅱ）若EF•FC=，求正方形ABCD的面积．

22．已知函数f（x）=lg（2016+x），g（x）=lg（2016﹣x） （1）判断函数f（x）﹣g（x）的奇偶性，并予以证明． （2）求使f（x）﹣g（x）＜0成立x的集合．

23．已知函数f（x）=

（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间； （2）当

时，求f（x）的最大值，并求此时对应的x的值．

．

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24．啊啊已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的参数方程为

2

（t为参数），圆C的极坐标方程为p+2psin（θ+

2

）+1=r（r＞0）．

（Ⅰ）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程； （Ⅱ）若圆C上的点到直线l的最大距离为3，求r值．

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南城县第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】

【解析】

C

排列、组合及简单计数问题． 【专题】计算题；分类讨论．

【分析】根据题意，分4种情况讨论，①，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘1个大人，R船乘1个大1人，②，P船乘1个大人和1个小孩共2人，Q船乘1个大人和1个小孩，R船乘1个大1人，③，P船乘2个大人和1个小孩共3人，Q船乘1个大人和1个小孩，④，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘2个大人，分别求出每种情况下的乘船方法，进而由分类计数原理计算可得答案． 【解答】解：分4种情况讨论，

①，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘1个大人，R船乘1个大1人，有A33=6种情况，

②，P船乘1个大人和1个小孩共2人，Q船乘1个大人和1个小孩，R船乘1个大1人，有A33×A22=12种情况，

③，P船乘2个大人和1个小孩共3人，Q船乘1个大人和1个小孩，有C32×2=6种情况， ④，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘2个大人，有C31=3种情况， 则共有6+12+6+3=27种乘船方法， 故选C． 组合公式． 2． 【答案】B

【解析】解：∵直线l⊥平面α，α∥β，∴l⊥平面β，又∵直线m⊂平面β，∴l⊥m，故（1）正确； ∵直线l⊥平面α，α⊥β，∴l∥平面β，或l⊂平面β，又∵直线m⊂平面β，∴l与m可能平行也可能相交，还可以异面，故（2）错误；

∵直线l⊥平面α，l∥m，∴m⊥α，∵直线m⊂平面β，∴α⊥β，故（3）正确；

∵直线l⊥平面α，l⊥m，∴m∥α或m⊂α，又∵直线m⊂平面β，则α与β可能平行也可能相交，故（4）错误； 故选B．

【点评】本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟练掌握空间中直线与平面位置关系的判定及性质定理，建立良好的空间想像能力是解答本题的关键．

3． 【答案】B

【点评】本题考查排列、组合公式与分类计数原理的应用，关键是分析得出全部的可能情况与正确运用排列、

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【解析】解：该几何体是四棱锥， 其底面面积S=5×6=30， 高h=5， 则其体积V=故选B．

4． 【答案】A

【解析】解：∵四边形的斜二侧直观图是一个底角为45°，腰和上底的长均为1的等腰梯形， ∴原四边形为直角梯形， 且CD=C'D'=1，AB=O'B=∴直角梯形ABCD的面积为故选：A．

，高AD=20'D'=2，

，

S×h=

30×5=50．

5． 【答案】A 【解析】

试题分析：由fx

loga1x,x,1且fx在,1上单调递增，易得logax1,x1,0a1,1a12.fx在1,上单调递减,fa2f3，故选A.

考点：1、分段函数的解析式；2、对数函数的单调性. 6． 【答案】B

2

∴2a﹣1=9或a=9，

2

【解析】解：∵A={﹣4，2a﹣1，a}，B={a﹣5，1﹣a，9}，且A∩B={9}，

当2a﹣1=9时，a=5，A∩B={4，9}，不符合题意；

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2

当a=9时，a=±3，若a=3，集合B违背互异性；

∴a=﹣3． 故选：B．

【点评】本题考查了交集及其运算，考查了集合中元素的特性，是基础题．

7． 【答案】B 【解析】

试题分析：画出函数图象如下图所示，要取得最小值为，由图可知m需从开始，要取得最大值为，由图可知m的右端点为，故m的取值范围是2,4.

考点：二次函数图象与性质． 8． 【答案】A.

【解析】||||coscos||cos||cos，设f(x)|x|cosx，x[,]， 显然f(x)是偶函数，且在[0,]上单调递增，故f(x)在[,0]上单调递减，∴f()f()||||，故是充分必要条件，故选A. 9． 【答案】A

【解析】解：∵3＜2+log23＜4，所以f（2+log23）=f（3+log23） 且3+log23＞4

∴f（2+log23）=f（3+log23） =

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故选A．

10．【答案】C

【解析】解析：本题考查用图象法解决与函数有关的不等式恒成立问题．

当a0（如图1）、a0（如图2）时，不等式不可能恒成立；当a0时，如图3，直线y2(x2)与函数yax2x图象相切时，a观察图象可得a11．【答案】C 【解析】

试题分析：可采用排除法，令n1和n2，验证选项，只有an考点：数列的通项公式． 12．【答案】B

【解析】解：正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，则2R=

2

，S=4πR=12π

891，切点横坐标为，函数yax2x图象经过点(2,0)时，a，

32161，选C． 2n(n1)，使得a11,a23，故选C． 2=2R，

故选B

二、填空题

13．【答案】 2 ．

【解析】解：∵一组数据2，x，4，6，10的平均值是5， ∴2+x+4+6+10=5×5， 解得x=3， ∴此组数据的方差∴此组数据的标准差S=故答案为：2

．

[（2﹣5）2+（3﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2+（10﹣5）2]=8， =2

．

【点评】本题考查一组数据的标准差的求法，解题时要认真审题，注意数据的平均数和方差公式的求法．

14．【答案】 2 ．

xx

【解析】解：f（x）=ae+bsinx的导数为f′（x）=ae+bcosx，

0

可得曲线y=f（x）在x=0处的切线的斜率为k=ae+bcos0=a+b， 0

由x=0处与直线y=﹣1相切，可得a+b=0，且ae+bsin0=a=﹣1，

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解得a=﹣1，b=1， 则b﹣a=2．

故答案为：2．

15．【答案】 4 ．

【解析】解：由约束条件

作出可行域如图，

化目标函数z=﹣2x+y为y=2x+z，由图可知，当直线y=2x+z过点A（﹣2，0）时， 直线y=2x+z在y轴上的截距最大，即z最大，此时z=﹣2×（﹣2）+0=4． 故答案为：4．

【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

16．【答案】0 【解析】111]

考点：函数的解析式．

17．【答案】 35 ．

【解析】解：∵2an=an﹣1+an+1，（n∈N*，n＞1）， ∴数列{an}为等差数列，

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又a2+a8=6，∴2a5=6，解得：a5=3， 又a4a6=（a5﹣d）（a5+d）=9﹣d2=8， ∴d2=1，解得：d=1或d=﹣1（舍去） ∴an=a5+（n﹣5）×1=3+（n﹣5）=n﹣2． ∴a1=﹣1， ∴S10=10a1+故答案为：35．

【点评】本题考查数列的求和，判断出数列{an}为等差数列，并求得an=2n﹣1是关键，考查理解与运算能力，属于中档题．

18．【答案】(1, 【

=35．

62) 2解

析

】

三、解答题

19．【答案】 在Rt△EOF中，∴∴

，

【解析】解：如图，设所截等腰三角形的底边边长为xcm，

，

依题意函数的定义域为{x|0＜x＜10}

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【点评】本题是一个函数模型的应用，这种题目解题的关键是看清题意，根据实际问题选择合适的函数模型，注意题目中写出解析式以后要标出自变量的取值范围．

20．【答案】（1）

（2）见解析（3）

在区间

上恒成立，化简可得一次函数恒成立，根据一次函

【解析】试题分析：（1）由题意转化为

数性质得不等式，解不等式得实数的取值范围；（2）导函数有一个零点，再根据a的正负讨论导函数符号变化规律，确定极值取法（3）先根据导数得切线斜率再根据点斜式得切线方程，即得切线在x轴上的截距，最后根据a的正负以及基本不等式求截距的取值范围． 试题解析：（1）函数则又

在区间，所以

的导函数在区间

上恒成立，

，

上恒成立，且等号不恒成立，

记（2）由①当所以函数所以函数②当所以函数所以函数综上可知: 当

时，有

在在时，有

在在

，只需， 即，得

；

单调递增，

，

，解得．

，

单调递减，

，没有极小值．

取得极大值

；

单调递减，取得极小值时，函数

在

，

单调递增，

，没有极大值． 取得极大值

，没有极小值；

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当（3）设切点为

时，函数

，

在取得极小值，没有极大值． ，

则曲线在点处的切线方程为当当

时，切线的方程为时，令

，得切线在轴上的截距为

，其在轴上的截距不存在．

，

当

时，

，

当且仅当当

时，

，即或时取等号；

，

当且仅当，即或时取等号.

.

所以切线在轴上的截距范围是

点睛：函数极值问题的常见类型及解题策略

（1）知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号. （2）已知函数求极值.求论.

（3）已知极值求参数.若函数

在点

处取得极值，则

，且在该点左、右两侧的导数值符号相

→求方程

的根→列表检验

在

的根的附近两侧的符号→下结

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反.

21．【答案】

【解析】证明：（Ⅰ）∵以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径半圆交于点F， 且四边形ABCD为正方形，

∴EA为圆D的切线，且EB是圆O的切线，

2

由切割线定理得EA=EF•EC，

故AE=EB．

（Ⅱ）设正方形的边长为a，连结BF， ∵BC为圆O的直径，∴BF⊥EC，

2

在Rt△BCE中，由射影定理得EF•FC=BF=，

∴BF==，解得a=2，

∴正方形ABCD的面积为4．

【点评】本题考查两线段相等的证明，考查正方形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

22．【答案】 2016）；

【解析】解：（1）设h（x）=f（x）﹣g（x）=lg（2016+x）﹣lg（2016﹣x），h（x）的定义域为（﹣2016，h（﹣x）=lg（2016﹣x）﹣lg（2016+x）=﹣h（x）； ∴f（x）﹣g（x）为奇函数； 即lg（2016+x）＜lg（2016﹣x）；

（2）由f（x）﹣g（x）＜0得，f（x）＜g（x）；

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∴；

解得﹣2016＜x＜0；

∴使f（x）﹣g（x）＜0成立x的集合为（﹣2016，0）．

【点评】考查奇函数的定义及判断方法和过程，对数的真数需大于0，以及对数函数的单调性．

23．【答案】

【解析】解：（1）f（x）==sin2x+=

=sin（2x﹣周期T=π，

因为cosx≠0，所以{x|x≠当2x﹣

∈，即

+kπ，k∈Z}…5分

+kπ，x≠

+kπ，k∈Z时函数f（x）单调递减，

sinxcosx﹣ +

sin2x﹣ ）…3分

﹣

+kπ≤x≤

所以函数f（x）的单调递减区间为，，k∈Z…7分 （2）当sin（2x﹣故当x=

，2x﹣

∈，…9分

时取最大值，

）∈（﹣，1），当x=

时函数f（x）取最大值为1…12分

【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数最值的解法，属于基础题．

24．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）根据直线l的参数方程为消去参数，得 x+y﹣

=0，

=0，

直线l的直角坐标方程为x+y﹣

（t为参数），

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2

∵圆C的极坐标方程为p+2psin（θ+2

）+1=r（r＞0）．

∴（x+

2

）+（y+22

）=r（r＞0）．

2

）+（y+

22

）=r（r＞0）．

∴圆C的直角坐标方程为（x+（Ⅱ）∵圆心C（﹣圆心C到直线x+y﹣

，﹣

），半径为r，…（5分）

=2，

=0的距离为d=

又∵圆C上的点到直线l的最大距离为3，即d+r=3， ∴r=3﹣2=1．

【点评】本题重点考查了曲线的参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化等知识．

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