2010年名校精华重组数学试题(3)

数 学

2010年天利名校精粹重组（3）

数 学 试 卷

【2010-5】

一、选择题：本大题共12小题，第小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求

的一项. 1．复数

32i32i 23i23i

B．2

C．-2i

D．2i

（ ）

（ ）

A．0

2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a4a24，S39,则数列{an}的通项公式为

A．ann

B．ann2 C．an2n1

D．an2n1

3．有四个关于三角函数的命题：

p1：xR, sin2p3： x0,,A．p1，p4

x12x+cos= 222p2： x、yR, sin(x-y)=sinx-siny p4： sinx=cosyx+y=

C．p1，p3

1cos2x=sinx 2B．p2，p4

其中假命题的是 （ ） 2D．p2，p4

4．从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法

的种数位 （ ） A．85 B．56 C．49 D．28 5．某程序框图如上（右）图所示，该程序运行后输出的k的值是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．已知yloga(2ax)在区间[0,1]上是增函数，则不等式

loga|x1|loga|x3|的解集为 （ ）

A．{x|x1} B．{x|x1} C．{x|x1且x1} D．{x|x1}

7．袋中装有m个红球和n个白球，mn4，现从中任取两球，若取出的两个球是同色的概率等于取出

的两个球是异色的概率，则满足关系mn40的数组m,n的个数为

A．3

B．4

C．5

1

（ ）

D．6

数 学

【2010-5】

8．在三棱柱

面

ABCA1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平

BB1C1C所成角的大小是



（ ）

A．30 B．45 C．60 D．90

x2y221(a0,b0)2ab9．过双曲线的右顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的

1ABBCB,C2交点分别为．若，则双曲线的离心率是

A．2

B．3

C．5

D．10 （ ）

,•x0(3a)(x1)a•10．已知函数f(x)是（-∞，+∞）上的增函数，则常数a的取值范围是

2,•x0loga(xx1)•

A．（1，+∞）

B．（-∞，3）

C．

（ ）

3•,•3 2D．（1，3）

11．已知全集U{1•,•2•,•3•,••,•9}集合A、B都是U的子集，当AB{1•,•2•,•3}时，我们把这样的（A，

D．36对 D．

（ ） （ ）

B）称为“理想集合对”，那么这样的“理想集合对”一共有 A．36对 B．6！对 C．63对 12．若方程x2+ax+b＝0有不小于2的实根,则a2+b2的最小值为

A．3 B．

1617 C． 5518 5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡相应位置的横线上. 13．已知(xcos1)5的展开式中x的系数与(x254)的展开式中x3的系数相等，则cos . 414．设等差数列{an}的前n项和为Sn，S410，S515，则a4的最大值是 .

3215．在直角坐标平面bOa上的点集S{(b，a)f(x)axbx3x为Ｒ上的单调函数，且a≥1｝所

构成的图形的面积等于 . 16．对于定义在R上的函数f(x),有下述命题: ①若f(x)为奇函数,则f(x-1)的图象关于点A(1,0)对称; ②若对x∈R,有f(x+1)＝f(x-1),则f(x)的图象关于直线x＝1对称; ③若函数f(x-1)的图象关于直线x＝1对称,则f(x)为偶函数; ④函数f(1+x)与函数f(1-x)的图象关于直线x＝1对称. 其中正确命题的序号是______________.

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

2

17．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosBbcosA

（1）求tanAcotB的值； （2）求tan(AB)的最大值．

数 学

【32010-5】

5c．

18．在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考

核，否则被淘汰。已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为

5431、、、，且6543各轮问题能否正确回答互不影响。

（1）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率； （2）求该选手至多进入第三轮考核的概率；

（3）该选手在选拔过程中回答过的问题个数记为X，求随机变量X的分布列和期望。

219．数列an的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意nN，总有an,sn,an成

等差数列。

（1）求数列an的通项公式；

（2）设bn()an，其前n项和是Tn，求证：

20．如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1，ACB90，E是棱CC1上动点，F是AB中点 ，ACBC2，

AA14．

12n1Tn2。 2 （1）求证：CF平面ABB1；

（2）当E是棱CC1中点时，求证：CF∥平面AEB1；

3

（3）在棱CC1上是否存在点E，使得二面角AEB1B的大小是45，若存在，求CE的长，若不存在，

请说明理由．

C1数 学

【2010-5】

A1EB1CAFB

21．已知椭圆C的一个顶点为A(0,1)，焦点在x轴上，右焦点到直线xy10

的距离为2 （1）求椭圆C的方程；

 （2）过点F（1，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，设FAFB,T(2,0)，若

[2,1],求|TATB|的取值范围。

222．已知函数f(x)xaxlnx， aR.

（1）若函数f(x)在1,2上是减函数，求实数a的取值范围；

（2）令g(x)f(x)x，是否存在实数a，当x(0,e]（e是自然常数）时，函数g(x)的最小值

是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；

（3）当x(0,e]时，证明： ex

4

2225x(x1)lnx 2

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参考答案

【2010-5】

一、选择题

32i32i32i23i32i23i26i2i,选D 1．【答案】D解析：

23i23i1313132．

3．【答案】A

【解析】p1：xR, sin2x12x+cos=是假命题；p2是真命题，如x=y=0时成立；p3是真命题，

222x0,,sinx0，1cos2xsin2xsinxsinx=sinx；p4是假命题，2如x=2,y=2时，sinx=cosy,但x+y2。选A.

4．【答案】C

2解析：由条件可分为两类：一类是甲乙两人只去一个的选法有：C12C742，另一类是甲乙都去的1选法有C22C7=7，所以共有42+7=49，即选C项。

5．【答案】：A

【解析】对于k0,s1,k1，而对于k1,s3,k2，则k2,s38,k3，后面是

k3,s38211,k4，不符合条件时输出的k4．

【命题意图】此题考查了程序语言的概念和基本的应用，通过对程序语言的考查，充分体现了数学程序语言中循环语言的关键． 6．

22112CmCnCmCnmnmn ，又mn40且mn4 7．【答案】A 解：由题意有，即22CmnCmn

5

mn16mn25mn36 ∴mn只能取16,25,36, ∴或或

mn4mn5mn6∴依次对应m,n的数组为10,6，15,10，21,15 故选A； 8．

数 学

【2010-5】

9．

3a0210．【答案】C 由于函数yxx1是增函数，因此由题意得(3a)aloga10，由此解

a1得

3a3. 2思路点拨 在具体分析一个函数的增减性问题时，常常涉及一些基本函数的增减性，这就是要求考生对常见基本函数的增减性要熟悉. 同时，在具体分析分段函数的增减性时，尤其应当注意分段点处的函数值情况，如本题中，容易忽视对a的限制“(3a)aloga10”而出错.

1•,•2•,•3•}，则（11．【答案】D 由题意，AB{UA）

（

UB）={4，5，6，7，8，9}. 这6个元

素各有三种位置供选择，且互不相关，故所有满足条件的情况共36种. 选D.

知识拓展：这是创新型试题中的新背景问题，属中档题，要求考生在深刻、准确理解意的基础上，运用所学的数学知识来解决相关的实际问题. 12．【答案】B 解析:将方程x2+ax+b＝0看作以(a,b)为动点的直线l:xa+b+x2＝0的方程,则a2+b2的几何意

义为l上的点(a,b)到原点O(0,0)的距离的平方,由点到直线的距离d的最小性知a2+b2≥d2＝

(00x2x41)2(x21)22(x≥2), 2x1x1x12令u＝x2+1,易知f(u)u1162(u≥5)在［5,+∞］上单调递增,则f(u)≥f(5)＝, u5

6

16∴a+b的最小值为.故选B.

5二、填空题 13．数 学 22

【2010-5】

2545r4r (x)的通项为C4x()r，∵4r3，∴r=1，

442554R5•,•(xcos1)5的通项为C5)的展开式中x3的系数是C1(xcos)5R， 444∴(x∵

25R2•,•R3，∴(xcos1)5展开式中x2的系数是C35cos5，∴

12co2s•，cos•.

22知识拓展：二项式定理的考题，要熟练掌握二项式定理和典型题型，及其一些重要性质，如：

23nnC1nCnCnCn2.

2a3d514．解析：由题意的具体特征，可利用线性规划来解决，约束条件为1，目标函数为

a12d3a4a13d．建立平面直角坐标系a1od，画出可行域易知，当直线a4a13d过可行域内(1,1)点

时截距最大，此时目标函数取最大值a44．

15．解析：（1）当a0时，由f(x)在R上为单调函数，知b0. （2）当a0时，f(x)在R上为单调函数f(x)在R上不变号. 因为f(x)3ax22bx3，

2 由4b36a≤0，得 a≤b.a≤0.

192 如图1，又a≥1，从而满足这一条件的点集Ｓ在直角坐标平面bOa上所围成图形是由曲线ab192，a11)，，(31). 及直线a1所围成的封闭图形，由12解得交点坐标为(3，ab，9 所以点集S所构成的图形的面积为212x1dx4. 09316．解析：依据图象特征判断函数性质,反之亦然.

若f(x)为奇函数,

则f(x-1)＝-f(1-x),故①正确;

由f(x+1)＝f(x-1)可知,f(x)是周期函数,但其图象不一定关于直线x＝1对称,故②错;若g(x)＝f(x-1)的图象关于直线x＝1对称,则有f(x+2)＝f(-x),即f(x+1)＝f(-1-x),

7

【2010-5】 数 学

∴③正确;∵y＝f(x+1)关于直线x＝1对称的函数为y＝f(2-x+1)＝f(3-x),∴④不正确. 综上,正确命题的序号是①③. 三、解答题

17．解析：（1）在△ABC中，由正弦定理及acosBbcosA可得sinAcosBsinBcosA3c 53333sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB 5555即sinAcosB4cosAsinB，则tanAcotB4； （2）由tanAcotB4得tanA4tanB0

tanAtanB3tanB33tan(AB)≤1tanAtanB14tan2BcotB4tanB4

11当且仅当4tanBcotB,tanB,tanA2时，等号成立，故当tanA2,tanB时，

223tan(AB)的最大值为.

418．解：（1）设事件Ai(i1,2,3,4)表示“该选手能正确回答第i轮问题” 。

由已知P(A1)5431，P(A2)，P(A3)，P(A4)。 6543 （1）设事件B表示“该选手进入第三轮被淘汰”，则

P(B)P(A1A2A3)5431(1) …………………3分 6546 （2）设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”，则

P(C)P(A1A1A2A1A2A3) （3）X的可能取值为1,2,3,4。

1515431(1)…………………6分 6656542P(X1)15415431；P(X2)(1)；P(X3)(1)； 665665465431P(X4)

6542∴X的分布列为 X P 1 2 3 4 1 61 61 61 2∴EX111112343。 ………………12分 666219．解：（1）由已知：对于nN，总有

8

2Snana①成立

数 学

2n

【2010-5】

22Sn1an1an1 （n2） ② 22①-②得：2anananan1an1，

anan1(anan1)(anan1)， an,an1均为正数，

， anan1=1 （n2）

an是公差为1的等差数列， 数列2又n=1时，2S1a1a1，解得a11，

1ann(nN).-----------------------------------6分bnan()n,

21n由(1)知，bnn()，

2111111Tn2()23()34()4......(n1)()nn()n1，③

222222111111Tn()22()33()4......(n1)()nn()n1， ④ 222222 ③-④得

1111111Tn()2()3()4......(n1)()nn()n1， 222222211111Tn1()2()3......()n1n()n

2222211()n2n22n(nN)， 12n2n123n2n2n3nn1Tn1Tn2n1(2n)=nn1n10，

22222

Tn是递增数列，

TnT12又121 222n0， 2n2nTn2n2始终成立，

21Tn2得证。 ---------------------------12分 2 9

20．（1）证明：∵三棱柱ABCA1B1C1是直棱柱，∴BB1平面ABC．

又∵CF平面ABC， ∴CFBB1 ．

∵ACB90，ACBC2，F是AB中点，

∴CFAB． ∵BB1ABB， ∴CF平面ABB1．

（2）证明：取AB1的中点G，联结EG，FG． ∵F、G分别是棱AB、AB1中点， ∴FG∥BB1，FG数 学

【2010-5】

C11BB1． 2A1EB11BB1， 2∴FG∥EC，FGEC．

∴四边形FGEC是平行四边形， ∴CF∥EG． 又∵EC∥BB1，EC又∵CF平面AEB1，EG平面AEB1， ∴CF∥平面AEB1．

CGAFB

（3）以C为坐标原点，射线CA,CB,CC1为x,y,z轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，

则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,4)．

z设E(0,0,m)，平面AEB1的法向量n(x,y,z)， 则AB1(2,2,4)，AE(2,0,m)． 且AB1n，AEn．

A1C1EB1AB1n2x2y4z0,于是 AEn2x0ymz0.mzx,2所以

mz4zy.2CAFxBy

取z2，则n(m,m4,2)

10

∵三棱柱ABCA1B1C1是直棱柱， ∴BB1平面ABC． 又∵AC平面ABC， ∴ACBB1 ． ∵ACB90， ∴ACBC． ∵BB1BCB， ∴AC平面ECBB1．

∴CA是平面EBB1的法向量，CA(2,0,0)．

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【2010-5】

二面角AEB1B的大小是45，

CAn2m2则cos45． 2222CAn2m(m4)2解得m5． 2∴在棱CC1上存在点E，使得二面角AEB1B的大小是45， 此时CE5． 221．解：（1）由题意得：|c1|2 c1…………………1分 2

由题意b1,a2

x2y21………………………3分 所以椭圆方程为2 （2）容易验证直线l的斜率不为0。

1，故可设直线l的方程为 xky

x2代入y21中，得(k22)y22ky10.

2设 A(x1,y1),B(x2,y2),

1则y1y22k y1y22. „„„„…………………5分 2k2k2∵FAFB ∴有y1，且0. ，y2

11

(y1y2)4k14k222y1y2k2k2数 学

222【2010-5】

由

[2,1]52121120214k22220k20k2 „„„„7分

277.k2∵TA(x12,y1),TB(x22,y2),TATB(x1x24,y1y2).

2k4(k21),x1x24k(y1y2)22. 又y1y22k2k2故|TATB|2(x1x24)2(y1y2)2

16(k21)24k216(k22)228(k22)8 222222(k2)(k2)(k2)16令t288……………………………………………………8分 k22(k22)212711712.0kt[,]. ∴，即

716k222162k22721722. ∴|TATB|f(t)8t28t168(t)4271169] 而 t[,]， ∴f(t)[4,16232∴|TATB|[2,132].………………………………………………………10分 812x2ax10在1,2上恒成立， 22．解：（1）f(x)2xaxx'

a1h(1)02令 h(x)2xax1，有 得7,……………………… 4分

h(2)0a2得a

7 …………………………………………………………………………… 5分 2 （2）假设存在实数a，使g(x)axlnx（x(0,e]）有最小值3，

1ax1 ……………………………………………6分 xx4

当a0时，g(x)在(0,e]上单调递减，g(x)ming(e)ae13，a（舍去），

eg'(x)a 12

【2010-5】 11

②当0e时，g(x)在(0,)上单调递减，在(,e]上单调递增

aaa

1g(x)ming()1lna3，ae2，满足条件.

a14

③当e时，g(x)在(0,e]上单调递减，g(x)ming(e)ae13，a（舍去），

ae

数 学1 综上，存在实数ae，使得当x(0,e]时g(x)有最小值3. ……………………10分 （3）令F(x)e2xlnx，由（2）知，F(x)min3.令(x)当0xe时，'(x)0，h(x)在(0,e]上单调递增 ∴(x)max(e)2lnx51lnx，'(x)， x2x215153 e2225lnx5e2xlnx, 即e2x2x(x1)lnx.………14分

x22

13