城区第一中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析(1)

一、选择题

1． 如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数y=x的图象是（ ）

A．① B．② C．③ D．④

2． 设复数z1i（i是虚数单位），则复数

2zz2（ ） A.1i B.1i C. 2i D. 2i

【命题意图】本题考查复数的有关概念，复数的四则运算等基础知识，意在考查学生的基本运算能力．3． 记

,那么

A B C D

4． 在数列{an}中，a1=3，an+1an+2=2an+1+2an（n∈N+），则该数列的前2015项的和是（ ）

A．7049 B．7052 C．14098 D．14101

5． 已知 m、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个互不重合的平面，则下列命题中 正确的是（ A．若 m∥α，n∥α，则 m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则 α∥β C．若m⊥α，n⊥α，则 m∥n D．若 m∥α，m∥β，则 α∥β

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） 6． 已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的方程是（ ） A． =1.23x+4 B． =1.23x﹣0.08 C． =1.23x+0.8 D． =1.23x+0.08 7． 已知函数f（x）满足：x≥4，则f（x）= ；当x＜4时f（x）=f（x+1），则f（2+log23）=（ ）

A．

B．

C．

D．

8． A={x|x＜1}，B={x|x＜﹣2或x＞0}，则A∩B=（ ）

A．（0，1） B．（﹣∞，﹣2）

C．（﹣2，0）

D．（﹣∞，﹣2）∪（0，1）

9． 设等比数列{an}的公比q=2，前n项和为Sn，则=（ ）

A．2

B．4

C．

D．

10．已知x，y满足，且目标函数z=2x+y的最小值为1，则实数a的值是（ A．1 B．

C．

D．

11．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=an+，则S2015的值是（ ）

A．

B．

C．2015 D．

12．若某算法框图如图所示，则输出的结果为（ ）

A．7 B．15 C．31 D．63

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）

二、填空题

13．某公司对140名新员工进行培训，新员工中男员工有80人，女员工有60人，培训结束后用分层抽样的方法调查培训结果. 已知男员工抽取了16人，则女员工应抽取人数为 . 14．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，且满足以下条件： ①f（x）=axg（x）（a＞0，a≠1）； ②g（x）≠0；

③f（x）g'（x）＞f'（x）g（x）； 若

，则a= ．

15．定义：分子为1且分母为正整数的分数叫做单位分数．我们可以把1拆分为无穷多个不同的单位分数之和．例如：1=++，1=+++1=++ 16．

= ．

+++

+

+

，1=++++

+

+

+

++

，…依此方法可得：

*

，其中m，n∈N，则m+n= ．

22

17．若双曲线的方程为4x﹣9y=36，则其实轴长为 ．

18．如图所示，圆C中，弦AB的长度为4，则AB×AC的值为_______．

CA三、解答题

19．已知复数z1满足（z1﹣2）（1+i）=1﹣i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求z2．

B

【命题意图】本题考查平面向量数量积、垂径定理等基础知识，意在考查对概念理解和转化化归的数学思想．

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20．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)|2x1|．

（1）若不等式f(x)2m1(m0)的解集为,2（2）若不等式f(x)2y122,，求实数m的值；

a|2x3|，对任意的实数x,yR恒成立，求实数a的最小值． 2y【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法、三角不等式、基本不等式等基础知识，以及考查等价转化的能力、逻辑思维能力、运算能力．

21．已知函数f（x）=ax2+2x﹣lnx（a∈R）． （Ⅰ）若a=4，求函数f（x）的极值；

（Ⅱ）若f′（x）在（0，1）有唯一的零点x0，求a的取值范围；

（Ⅲ）若a∈（﹣，0），设g（x）=a（1﹣x）2﹣2x﹣1﹣ln（1﹣x），求证：g（x）在（0，1）内有唯一的零点x1，且对（Ⅱ）中的x0，满足x0+x1＞1．

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22．某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人．为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人． （1）求n的值；

（2）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a，b，c，d，e，f，现随机从中抽取2人上台抽奖．求a和b至少有一人上台抽奖的概率．

（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数x，y，并按如图所 示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．

23．[50，60][60，70][70，某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：80][80，90][90，100]． （1）求图中a的值；

（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分．

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24．已知函数

，且

． ，求

的图象在直线

的最小值；

的下方．

（Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）若对于任意，都有（Ⅲ）证明：函数

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城区第一中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】D

【解析】解：幂函数y=x只有④符合． 故选：D．

为增函数，且增加的速度比价缓慢，

【点评】本题考查了幂函数的图象与性质，属于基础题．

2． 【答案】A 【

解

析】

3． 【答案】B 【解析】【解析1】

,

所以【解析2】

，

4． 【答案】B

【解析】解：∵an+1an+2=2an+1+2an（n∈N），∴（an+1﹣2）（an﹣2）=2，当n≥2时，（an﹣2）（an﹣1﹣2）=2，

+

∴

，可得an+1=an﹣1，

因此数列{an}是周期为2的周期数列． a1=3，∴3a2+2=2a2+2×3，解得a2=4， ∴S2015=1007（3+4）+3=7052．

【点评】本题考查了数列的周期性，考查了计算能力，属于中档题．

5． 【答案】C

【解析】解：对于A，若 m∥α，n∥α，则 m与n相交、平行或者异面；故A错误； 对于B，若α⊥γ，β⊥γ，则 α与β可能相交，如墙角；故B错误；

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对于C，若m⊥α，n⊥α，根据线面垂直的性质定理得到 m∥n；故C正确； 对于D，若 m∥α，m∥β，则 α与β可能相交；故D错误； 故选C．

【点评】本题考查了空间线线关系．面面关系的判断；熟练的运用相关的定理是关键．

6． 【答案】D

【解析】解：设回归直线方程为∵样本点的中心为（4，5），

∴5=1.23×4+a

∴a=0.08 ∴回归直线方程为故选D．

=1.23x+0.08

=1.23x+a

【点评】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于基础题．

7． 【答案】A

【解析】解：∵3＜2+log23＜4，所以f（2+log23）=f（3+log23） 且3+log23＞4

∴f（2+log23）=f（3+log23） =

故选A．

8． 【答案】D

【解析】解：∵A=（﹣∞，1），B=（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）， ∴A∩B=（﹣∞，﹣2）∪（0，1）， 故选：D．

【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

9． 【答案】C

【解析】解：由于q=2， ∴

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∴

故选：C．

10．【答案】B

；

【解析】解：由约束条件作出可行域如图，

由图可知A（a，a），

化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，

由图可知，当直线y=﹣2x+z过A（a，a）时直线在y轴上的截距最小，z最小，z的最小值为2a+a=3a=1，解得：a=． 故选：B．

【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

11．【答案】D 【解析】解：∵2Sn=an+当n=2时，2（1+a2）=同理可得猜想验证：2Sn==

=

，

． ．

…+

=

，

，∴

，化为

，解得a1=1．

=0，又a2＞0，解得

，

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因此满足2Sn=an+∴∴Sn=∴S2015=故选：D．

．

．

， ．

【点评】本题考查了猜想分析归纳得出数列的通项公式的方法、递推式的应用，考查了由特殊到一般的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

12．【答案】 D

【解析】解：模拟执行算法框图，可得 A=1，B=1

满足条件A≤5，B=3，A=2 满足条件A≤5，B=7，A=3 满足条件A≤5，B=15，A=4 满足条件A≤5，B=31，A=5 满足条件A≤5，B=63，A=6

不满足条件A≤5，退出循环，输出B的值为63． 故选：D．

【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确得到每次循环A，B的值是解题的关键，属于基础题．

二、填空题

13．【答案】12 【解析】

考点：分层抽样 14．【答案】

【解析】解：由

．

得

，

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所以．

又由f（x）g'（x）＞f'（x）g（x），即f（x）g'（x）﹣f'（x）g（x）＞0，也就是

，说明函数

即故答案为

，故

．

是减函数，

【点评】本题考查了应用导数判断函数的单调性，做题时应认真观察．

15．【答案】 33 ．

【解析】解：∵1=++∵2=1×2， 6=2×3， 30=5×6， 42=6×7， 56=7×8， 72=8×9， 90=9×10， 110=10×11， 132=11×12， ∴1=+++=

+++

﹣+

+=

+， +

+

+

+

+++

+

+

+

+

+

+

+

，

=（1﹣）+++（﹣）+，

=﹣+

∴m=20，n=13， ∴m+n=33， 故答案为：33

【点评】本题考查的知识点是归纳推理，但本题运算强度较大，属于难题．

16．【答案】 2 ． 【解析】解：

=2+lg100﹣2=2+2﹣2=2，

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故答案为：2．

【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．

17．【答案】 6 ．

22

【解析】解：双曲线的方程为4x﹣9y=36，即为： ﹣

=1，

可得a=3， 故答案为：6．

则双曲线的实轴长为2a=6．

【点评】本题考查双曲线的实轴长，注意将双曲线方程化为标准方程，考查运算能力，属于基础题．

18．【答案】8

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：∴z1=2﹣i 设z2=a+2i（a∈R）

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∴z1z2=（2﹣i）（a+2i）=（2a+2）+（4﹣a）i ∵z1z2是实数 ∴4﹣a=0解得a=4 所以z2=4+2i

【点评】本题考查复数的除法、乘法运算法则、考查复数为实数的充要条件是虚部为0．

20．【答案】

【解析】（1）由题意，知不等式|2x|2m1(m0)解集为,2由|2x|2m1，得m

2,．

11xm，……………………2分 2213所以，由m2，解得m．……………………4分

22aayy（2）不等式f(x)2y|2x3|等价于|2x1||2x3|2y，

22ay由题意知(|2x1||2x3|)max2y．……………………6分

2

21．【答案】

【解析】满分（14分）．

解法一：（Ⅰ）当a=4时，f（x）=4x2+2x﹣lnx，x∈（0，+∞），

．…（1分）

由x∈（0，+∞），令f′（x）=0，得

．

当x变化时，f′（x），f（x）的变化如下表： x f′（x） ﹣ f（x） ↘ 0 + 极小值 ↗ 第 13 页，共 17 页

故函数f（x）在无极大值．…（4分） （Ⅱ）

单调递减，在单调递增，…（3分）f（x）有极小值，

，

令f′（x）=0，得2ax2+2x﹣1=0，设h（x）=2ax2+2x﹣1．

则f′（x）在（0，1）有唯一的零点x0等价于h（x）在（0，1）有唯一的零点x0 当a=0时，方程的解为

，满足题意；…（5分）

，函数h（x）在（0，1）上单调递增，

当a＞0时，由函数h（x）图象的对称轴

且h（0）=﹣1，h（1）=2a+1＞0，所以满足题意；…（6分） 当a＜0，△=0时，

，此时方程的解为x=1，不符合题意；

当a＜0，△≠0时，由h（0）=﹣1， 只需h（1）=2a+1＞0，得综上，

．…（8分）

．…（7分）

（说明：△=0未讨论扣1分）

（Ⅲ）设t=1﹣x，则t∈（0，1），p（t）=g（1﹣t）=at2+2t﹣3﹣lnt，…（9分）由

，故由（Ⅱ）可知，

，

方程2at2+2t﹣1=0在（0，1）内有唯一的解x0，

且当t∈（0，x0）时，p′（t）＜0，p（t）单调递减；t∈（x0，1）时，p′（t）＞0，p（t）单调递增．…（11分）

又p（1）=a﹣1＜0，所以p（x0）＜0．…（12分） 取t=e﹣3+2a∈（0，1），

则p（e﹣3+2a）=ae﹣6+4a+2e﹣3+2a﹣3﹣lne﹣3+2a=ae﹣6+4a+2e﹣3+2a﹣3+3﹣2a=a（e﹣6+4a﹣2）+2e﹣3+2a＞0， 从而当t∈（0，x0）时，p（t）必存在唯一的零点t1，且0＜t1＜x0， 即0＜1﹣x1＜x0，得x1∈（0，1），且x0+x1＞1，

从而函数g（x）在（0，1）内有唯一的零点x1，满足x0+x1＞1．…（14分） 解法二：（Ⅰ）同解法一；…（4分） （Ⅱ）

令f′（x）=0，由2ax2+2x﹣1=0，得

，

．…（5分）

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设，则m∈（1，+∞），，…（6分）

的图象在（1，+∞）恰有一个交点问题．

问题转化为直线y=a与函数

又当m∈（1，+∞）时，h（m）单调递增，…（7分） 故直线y=a与函数h（m）的图象恰有一个交点，当且仅当（Ⅲ）同解法一．

（说明：第（Ⅲ）问判断零点存在时，利用t→0时，p（t）→+∞进行证明，扣1分）

【点评】本题考查函数与导数等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想，考查运用数学知识分析和解决问题的能力．

22．【答案】

【解析】解：（1）由题意可得

，∴n=160；

．…（8分）

（2）高二代表队6人，从中抽取2人上台抽奖的基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b．f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15种，其中a和b至少有一人上台抽奖的基本事件有9种， ∴a和b至少有一人上台抽奖的概率为

=；

（3）由已知0≤x≤1，0≤y≤1，点（x，y）在如图所示的正方形OABC内，

由条件得到的区域为图中的阴影部分

由2x﹣y﹣1=0，令y=0可得x=，令y=1可得x=1 ∴在x，y∈[0，1]时满足2x﹣y﹣1≤0的区域的面积为∴该代表中奖的概率为

23．【答案】

=．

=

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【解析】解：（1）依题意，

根据频率分布直方图中各个小矩形的面积和等于1得， 10（2a+0.02+0.03+0.04）=1， 解得a=0.005． ∴图中a的值0.005．

（2）这100名学生语文成绩的平均分为： 55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05 =73（分），

【点评】本题考查频率分布估计总体分布，解题的关键是理解频率分布直方图，熟练掌握频率分布直方图的性质，且能根据所给的数据建立恰当的方程求解

24．【答案】

【解析】【知识点】导数的综合运用利用导数研究函数的单调性 【试题解析】（Ⅰ）对所以所以（Ⅱ）由因为所以对于任意设令

当x变化时，

，则 ，解得

与

．

的变化情况如下表：

，

，都有

．

．

求导，得，解得． ，得

，

，

，

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所以当

时，

，都有．

的图象在直线”，

， ．

，即时，

，

， ，解得，得

． ，所以，即．

的图象在直线

的下方．

在

．

上为增函数．

（当且仅当即可．

时等号成立）． 的下方”

．

成立，

因为对于任意所以 ． 所以的最小值为（Ⅲ）证明：“函数等价于“即要证所以只要证由（Ⅱ），得所以只要证明当设所以令由所以所以故函数

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